题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
导数的三层要分开：定义是瞬时变化率 f′(x₀)=limΔx→0[f(x₀+Δx)−f(x₀)]/Δx；运算是公式与法则；几何意义是切线斜率。后面所有单调性、极值、最值题，都建立在这三层不出错的前提上。
六道小题按「定义 → 四则 → 复合 → 切线」递进，全部为自编题。做题时养成一个习惯：求出导函数后随手回代一个点验算，比整题做完再检查便宜得多。
二、题目呈现
题1 用定义求导（自编）
用导数定义求 f(x) = x² − 3x 在 x = 2 处的导数 f′(2)。
题2 四则运算（自编）
设 f(x) = (x² + 1)·ex，求 f′(x)。
题3 商法则（自编）
设 g(x) = (2x − 1)/(x + 1)（x ≠ −1），求 g′(x)，并求 g′(0)。
题4 复合求导（自编）
设 h(x) = ln(2x² + 1)，求 h′(x)；再设 u(x) = sin(3x − π/6)，求 u′(x)。
题5 复合与乘积叠加（自编）
设 p(x) = x·√(1 + x²)，求 p′(x)。
题6 切线方程（自编）
已知曲线 y = x³ − 3x + 1。求：(a) 在点 (2, 3) 处的切线方程；(b) 过点 (2, 3) 作曲线切线，求所有切线方程。
三、分步解析
题1 按定义：f(2+Δx) = (2+Δx)² − 3(2+Δx) = 4 + 4Δx + Δx² − 6 − 3Δx = −2 + Δx + Δx²；f(2) = 4 − 6 = −2。故 [f(2+Δx) − f(2)]/Δx = (Δx + Δx²)/Δx = 1 + Δx → Δx→0 时极限为 1，即 f′(2) = 1。验算：f′(x) = 2x − 3，f′(2) = 1 ✓。
题2 乘积法则 (uv)′ = u′v + uv′：u = x²+1，u′ = 2x；v = ex，v′ = ex。故 f′(x) = 2x·ex + (x²+1)·ex = (x² + 2x + 1)ex = (x+1)²ex。回代验算：x=0 时 f(0)=1，f′(0)=1；用定义近似 [f(0.001)−f(0)]/0.001 ≈ (1.000001·1.0010005 − 1)/0.001 ≈ 1.0015 → 1，一致 ✓。
题3 商法则 (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²：u = 2x−1，u′ = 2；v = x+1，v′ = 1。分子 = 2(x+1) − (2x−1)·1 = 2x + 2 − 2x + 1 = 3。故 g′(x) = 3/(x+1)²，g′(0) = 3。验算：把 g(x) 改写为 2 − 3/(x+1)，求导得 3/(x+1)² ✓（改写后更快，可作为考场上省时的第二法）。
题4 复合函数链式法则：h(x) = ln w，w = 2x²+1，w′ = 4x，故 h′(x) = w′/w = 4x/(2x²+1)。u(x) = sin z，z = 3x − π/6，z′ = 3，故 u′(x) = cos z · z′ = 3cos(3x − π/6)。验算：x=0 时 h′(0)=0，而 h(x) 是偶函数，导函数在 0 处应为 0 ✓；u′(0) = 3cos(−π/6) = 3·(√3/2) = 3√3/2，与 sin(3x) 在 0 附近斜率 3 经相位平移后的值一致 ✓。
题5 p(x) = x·(1+x²)1/2。乘积＋复合：p′(x) = 1·(1+x²)1/2 + x·[½(1+x²)−1/2·2x] = √(1+x²) + x²/√(1+x²) = (1 + 2x²)/√(1+x²)。验算：x=1 时 p(1)=√2，p′(1)=3/√2 ≈ 2.121；用差分 [p(1.001)−p(1)]/0.001 ≈ 2.122 ✓。
题6 (a) 先核点是否在曲线上：2³ − 3·2 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3 ✓，故 (2,3) 是切点。f′(x) = 3x² − 3，f′(2) = 9。切线：y − 3 = 9(x − 2) → y = 9x − 15。验：x=2 时 y=3 ✓。
题6 (b) 「过点」不等于「在点」，切点未必是 (2,3)。设切点为 (a, a³ − 3a + 1)，斜率 k = 3a² − 3。切线过 (2,3) 的条件：3 − (a³ − 3a + 1) = (3a² − 3)(2 − a) → 2 + 3a − a³ = 6a² − 6 − 3a³ + 3a → 整理得 2a³ − 6a² + 8 = 0 → a³ − 3a² + 4 = 0 → 因式分解 (a + 1)(a − 2)² = 0，得 a = −1 或 a = 2。a=2 即 (a) 的 y = 9x − 15；a=−1 时切点 (−1, 3)，斜率 k = 3·1 − 3 = 0，切线为 y = 3。故共有两条：y = 9x − 15 与 y = 3。回代：y=3 在 x=−1 处与曲线相切（f(−1)=−1+3+1=3，f′(−1)=0）且过 (2,3) ✓。
四、采分点对照
| 题号 | 答案 | 采分点 |
|---|---|---|
| 题1 | 1 | 写出差商 2 分；化简含 Δx 项 1 分；取极限 1 分；公式法回代验 1 分 |
| 题2 | (x+1)²e^x | 乘积法则公式 1 分；两项导数各 1 分；合并化简 1 分 |
| 题3 | 3/(x+1)²，g′(0)=3 | 商法则 2 分；分子化简 1 分；代值 1 分；改写验算 1 分 |
| 题4 | 4x/(2x²+1)；3cos(3x−π/6) | 链式法则各 2 分；内层导数各 1 分 |
| 题5 | (1+2x²)/√(1+x²) | 乘积法则 1 分；根式复合导数 2 分；通分合并 1 分 |
| 题6(a) | y=9x−15 | 核点在曲线上 1 分；f′(2)=9 1 分；点斜式与化简 1 分 |
| 题6(b) | y=9x−15 与 y=3 | 设切点 a 2 分；列出过 (2,3) 条件 2 分；解出 a=−1,2 2 分；两条切线各 1 分 |
五、高频易错点
- 复合求导漏乘内层导数：把 [ln(2x²+1)]′ 写成 1/(2x²+1)，少乘 4x。
- 商法则分子写成 u′v + uv′（加号）或把 v² 写成 v，符号与分母两头错。
- 把「在点 (2,3) 的切线」与「过点 (2,3) 的切线」当成同一问，漏掉 a=−1 那条水平切线。
- 「过点」题不设切点参数 a，直接拿 f′(2) 当斜率，一条切线交卷。
- (a−2)² 的重根被当成增根丢掉，导致只剩 y=3 一条。
- 求出导函数不回代验算，切线方程常数项算错也看不出来。
六、小结与自查清单
| 求导类型 | 公式 | 最易漏的一步 |
|---|---|---|
| 乘积 | (uv)′=u′v+uv′ | 两项都不能少 |
| 商 | (u/v)′=(u′v−uv′)/v² | 分子是减号、分母要平方 |
| 复合 | [f(g(x))]′=f′(g)·g′(x) | 内层导数 g′(x) |
| 对数复合 | (ln w)′=w′/w | w′ 必须算出 |
| 切线（在点） | y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀) | 先核点是否在曲线上 |
| 切线（过点） | 设切点 a，令切线过给定点 | 「过」≠「在」，可能多解 |
- □ 求导前先判结构：乘积、商、复合，还是叠加，逐层拆。
- □ 复合函数一律写出「外层导数 × 内层导数」两步，不跳步。
- □ 商法则写完立刻检查分子符号与分母平方。
- □ 切线题先问一句：给的是切点还是「过一点」。
- □ 结果回代一个点或用一个点作差商近似，30 秒挡住大部分计算错。
- □ 含参或过点问题解出多个根时，逐个回代确认是否都成立。
导数的分数，一半是「算对导函数」，一半是「看清题问的是哪一种」。六道题里最贵的坑是题6(b)：一个「过」字让切点从已知变成未知，答案从一条变两条。把设切点参数 a 变成条件反射，这类题就稳了。本组题目、函数式与数值均为原创自编仿真内容。
