题目性质：自编仿真题——按课程标准与联招常见考点范围编写，非真题原文；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、三件工具
余弦定理 a² = b² + c² − 2bc cosA（及其变形 cosA = (b²+c²−a²)/(2bc)）；面积 S = ½bc sinA；基本不等式 b+c ≥ 2√(bc)，等号当且仅当 b = c。判形状时别只看最大角：cosA < 0 ⇔ A 为钝角 ⇔ a² > b² + c²（a 为最大边）。
二、题1 两边夹角：先余弦后面积
题目 在 △ABC 中，b = 3，c = 5，A = 60°。求 a、△ABC 的面积 S 及 sinB。
审题眼 两边及夹角 → 余弦定理；面积用 S = ½bc sinA（夹角正是 A，不用再求）。
规范作答
a² = b² + c² − 2bc cosA = 9 + 25 − 2×3×5×(1/2) = 34 − 15 = 19 → a = √19。
S = ½ b c sinA = ½ × 3 × 5 × (√3/2) = 15√3 / 4。
由正弦定理 b/sinB = a/sinA 得 sinB = b sinA / a = 3 × (√3/2)/√19 = 3√3 / (2√19) = 3√57 / 38（有理化后）。
验算 ① 由 a²=19、b²=9、c²=25，最大边为 c=5：cosC = (a²+b²−c²)/(2ab) = (19+9−25)/(2·√19·3) = 3/(6√19) > 0，C 为锐角；三角形三内角皆锐，合理。② 用面积反算 sinB：S = ½ a c sinB → sinB = 2S/(ac) = (15√3/2)/(5√19) = 3√3/(2√19) ✓ 两法一致。③ 三边关系：3 + √19 ≈ 7.36 > 5 ✓。
采分点 写出余弦定理（1分）；a=√19（2分）；面积公式与结果（2分）；正弦定理求 sinB（2分）；验算或结果化简（1分）。
易错点 ① 余弦定理漏掉系数 2 或把 cos60° 写成 √3/2（应为 1/2）；② 面积误用 ½ab sinA（夹角 A 的邻边是 b、c，不是 a、b）；③ 求 sinB 时用错对应边；④ 结果不化简、不验三边关系。
三、题2 已知三边求角并判形状
题目 在 △ABC 中，a = 7，b = 5，c = 3。求最大角，并判断三角形形状。
审题眼 最大边是 a=7 → 最大角为 A；三边已知 → 余弦定理求 cosA。
规范作答
cosA = (b² + c² − a²)/(2bc) = (25 + 9 − 49)/(2×5×3) = (−15)/30 = −1/2。
因 A ∈ (0, π) 且 cosA = −1/2，故 A = 120°。
最大角为 120° > 90°，故 △ABC 为钝角三角形。
另法（面积互验） S = ½bc sinA = ½×5×3×(√3/2) = 15√3/4。用海伦公式：p = (7+5+3)/2 = 15/2，S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)) = √[(15/2)(1/2)(5/2)(9/2)] = √(675/16) = 15√3/4 ✓ 一致。
验算 由 A=120°，B+C=60°；由正弦定理 sinB = b sinA/a = 5×(√3/2)/7 = 5√3/14 ≈ 0.619 → B ≈ 38.2°，C ≈ 21.8°，三角和为 180° ✓；最大边对最大角 ✓。
采分点 指出最大边与最大角（1分）；写出 cosA 公式（2分）；算出 −1/2（1分）；A=120°（1分）；判钝角（1分）；验算或另法（1分）。
易错点 ① 把最大角找错（找成 C）；② cosA 分子写成 a²−b²−c²（符号反，得 +1/2 误判锐角）；③ 得到 cosA<0 却不敢判钝角；④ 忘记 A∈(0,π) 时 cosA=−1/2 唯一对应 120°。
四、题3 周长一定时的面积最值
题目 若 △ABC 的周长为定值 2p = 12，求面积 S 的最大值，并指出取等条件。
审题眼 「周长定值求面积最大」→ 等边三角形。可用海伦公式 + 基本不等式严格证明，别只写结论。
规范作答（海伦公式 + 基本不等式）
设半周长 p = 6，由海伦公式
S² = p(p−a)(p−b)(p−c) = 6·(6−a)(6−b)(6−c)。
令 x = 6−a，y = 6−b，z = 6−c，则 x+y+z = 18 − (a+b+c) = 18 − 12 = 6，且 x,y,z > 0。
由三元基本不等式 xyz ≤ [(x+y+z)/3]³ = (6/3)³ = 8，等号当且仅当 x = y = z = 2，即 a = b = c = 4。
故 S² ≤ 6 × 8 = 48，S ≤ √48 = 4√3，当且仅当 a = b = c = 4（等边三角形）时取到。
验算 边长 4 的等边三角形面积 = (√3/4)×4² = 4√3 ✓；周长 3×4=12 ✓。另取不等边例子 a=5,b=4,c=3：p=6，S²=6·1·2·3=36，S=6 < 4√3≈6.93 ✓ 确实更小。
采分点 写出海伦公式（2分）；设 x,y,z 并算出 x+y+z=6（2分）；三元基本不等式及等号条件（3分，本题核心）；最大值 4√3（1分）；取等条件 a=b=c=4（1分）；验算（1分）。
易错点 ① 直接写「等边时最大」不给证明（结论对但过程分全丢）；② 忘记验证等号条件能否达到（本题 a=b=c=4 满足三角形条件，必须写）；③ 把 p 当成周长（p 是半周长，本题 p=6 不是 12）；④ 海伦公式里 (p−a)(p−b)(p−c) 漏乘 p。
五、余弦定理题书写清单
- □ 先判条件：两边夹角／三边 → 余弦定理；两角一边／SSA → 正弦定理；
- □ 面积看准夹角：S = ½bc sinA，两边必须是该角的邻边；
- □ 三边求角用变形式 cosA = (b²+c²−a²)/(2bc)，先找最大边定最大角；
- □ 判形状：cosA<0 ⇔ a²>b²+c² ⇔ 钝角；不要只凭直觉；
- □ 周长定值求最值：海伦公式 + (x+y+z)/3 ≥ ∛(xyz)，等号条件必须写出并验证可实现；
- □ 用两种方法互验：正弦定理反算、海伦公式、等边面积公式任选其一；
- □ 结果化简、带单位，结论句写全「当且仅当……时取得」。
余弦定理题的计算不难，给分点全在公式选对、夹角认准、等号条件验到。把这三件写成固定动作，综合题也不乱。
