联招数学·导数应用（三）：函数零点与方程根的个数

题目性质：自编仿真题——按课程标准与联招常见考点范围编写，非真题原文；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、总纲：把「根的个数」变成「交点个数」

方程 f(x) = k 的实根个数 ⇔ 曲线 y = f(x) 与水平直线 y = k 的交点个数。做法固定三步：① 求导、解 f′(x)=0，列单调表；② 算出所有极大值、极小值及必要的端点/极限趋势（x→±∞ 时 f 的走向）；③ 画草图，让 y=k 从下往上平移，数交点，并把相切（k 恰等于极值）的临界情形单列。临界值必须单独验，不能含在「大于/小于」里。

二、题1 三次函数与 y=k

题目　设 f(x) = x³ − 3x + 1。讨论方程 f(x) = k 的实根个数（k ∈ R）。

规范作答

f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)，驻点 x = −1、x = 1。

且 f(−1) = −1+3+1 = 3，f(1) = 1−3+1 = −1；x→−∞ 时 f(x)→−∞，x→+∞ 时 f(x)→+∞。

用水平线 y=k 平移数交点：

① k > 3：只在右侧递增段穿过一次 → 1 个实根；
② k = 3：与极大点相切 1 处，右侧递增段再穿 1 次 → 2 个实根（一个重根）；
③ −1 < k < 3：三段各穿一次 → 3 个实根；
④ k = −1：与极小点相切 1 处，左侧递增段再穿 1 次 → 2 个实根；
⑤ k < −1：只在左侧递增段穿过一次 → 1 个实根。

验算临界：k=3 时 f(x)−3 = x³−3x−2 = (x+1)²(x−2)，根为 x=−1（二重）与 x=2，共 2 个不同实根 ✓；k=−1 时 f(x)+1 = x³−3x+2 = (x−1)²(x+2)，根为 x=1（二重）与 x=−2 ✓。因式分解与图象结论完全一致。

采分点　求导与驻点（2分）；完整单调表（3分，表本身即给分）；算出极大 3、极小 −1（2分）；写出 x→±∞ 趋势（1分，没有它无法说明两侧各有一支）；五种情形分类（3分）；临界值单独讨论（2分）。

易错点　① 把「k=3」并入「k≥3」，漏掉 2 根的临界情形（最高发）；② 不写 ±∞ 趋势，只凭极值猜；③ 把「不同实根个数」与「根的重数」混答；④ 单调表漏 f′=0 的列。

三、题2 含参零点个数讨论

题目　设 g(x) = ln x − a x + 1（x > 0），讨论 g(x) 的零点个数（a ∈ R）。

审题眼　先写定义域 x>0；零点 ⇔ g 的最大/最小值与 0 比较；a 使导数变号的临界值必须分类。

规范作答

g′(x) = 1/x − a = (1 − a x)/x，x > 0，符号由 1 − a x 决定。

① a ≤ 0：1 − a x > 0 恒成立，g 在 (0,+∞) 递增。又 x→0⁺ 时 ln x→−∞ 故 g→−∞；x→+∞ 时 ln x − a x + 1 → +∞（a<0 时 −a x→+∞；a=0 时 ln x→+∞）。由零点存在定理，恰 1 个零点。
② a > 0：x = 1/a 为唯一驻点；0<x<1/a 时 g′>0，x>1/a 时 g′<0，故 x=1/a 处取全局最大值
g(1/a) = ln(1/a) − 1 + 1 = −ln a。
且 x→0⁺ 时 g→−∞，x→+∞ 时 −a x 主导，g→−∞。

于是：最大值 −ln a < 0（即 a > 1）时曲线全在 x 轴下方 → 0 个零点；
−ln a = 0（即 a = 1）时曲线与 x 轴相切于 x=1 → 1 个零点；
−ln a > 0（即 0 < a < 1）时两端趋于 −∞、中间高于 0 → 两侧各穿一次 → 2 个零点。

验算 a=1：g(x)=ln x − x + 1，即 example-00010 题3 已证的 ln x ≤ x−1，等号仅 x=1，故恰 1 个零点 ✓。

采分点　定义域（1分）；求导通分（1分）；a≤0 一类并写两端极限（2分）；a>0 求最大值 −ln a（2分）；写出两端趋于 −∞（1分，没有它不能判 0 个/2 个）；三类结论（3分）。

易错点　① 漏定义域；② a=0 未单独归入 a≤0；③ 求出最大值就下结论，不写两端极限（0 个与 2 个的分界全靠它）；④ 忘记「相切＝1 个零点」的临界情形。

四、题3 由零点条件反求参数

题目　若函数 h(x) = x³ − 3x + a 恰有两个零点，求 a 的值。

审题眼　「恰有两个零点」对三次函数而言只能是相切情形——水平线 y=0 恰过极大点或极小点。

规范作答

h′(x)=3x²−3，驻点 x=−1、1；极大值 h(−1) = −1+3+a = 2+a，极小值 h(1) = 1−3+a = a−2；x→±∞ 时 h→∓∞（先 −∞ 后 +∞）。

三次函数恰有两个不同零点，当且仅当极大值 = 0 或 极小值 = 0（曲线与 x 轴相切于一个驻点，并在另一支再穿一次）：
① 2 + a = 0 → a = −2；② a − 2 = 0 → a = 2。

验算　a=2 时 h(x)=x³−3x+2=(x−1)²(x+2)，零点 x=1（二重）、x=−2，共 2 个 ✓；a=−2 时 h(x)=x³−3x−2=(x+1)²(x−2)，零点 x=−1（二重）、x=2 ✓。若 −2<a<2 则 3 个零点，a>2 或 a<−2 则 1 个，均不合。

采分点　求出两个极值表达式（2分）；指出「恰两个 ⇔ 某一极值为 0」（2分，本题题眼）；解出 a=±2（2分）；因式分解验算（1分）；说明其余情形个数（1分）。

易错点　① 直接用 Δ 或凭图象猜；② 只解出 a=2 漏 a=−2；③ 把「二重根」算成两个零点；④ 不验算，写成 a∈(−2,2)（那是 3 个零点）。

五、零点题书写清单

• □ 先把方程写成 f(x)=k ⇔ y=f(x) 与 y=k 的交点；
• □ 列完整单调表（含 f′=0 的列），算出全部极值；
• □ 必写 x→±∞ 或端点的趋势，否则无法判定两侧分支；
• □ 分类按极值切：大于极大 / 等于极大 / 两极值之间 / 等于极小 / 小于极小 五档，临界单独列；
• □ 相切＝重根＝不同零点少一个，用因式分解回验；
• □ 含参题先写定义域，再按导数变号的临界参数分类，a=0 归到一类里；
• □ 反求参数题用「恰有两个 ⇔ 某一极值为 0」直接落笔，别绕判别式。

零点个数题，算的部分只有求导和极值；真正给分的是单调表、两端趋势、临界值单独讨论这三件书写功夫。