题目性质：自编仿真题——按课程标准与联招常见考点范围编写，非真题原文；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、先分清两句话
「求曲线 y=f(x) 在点 P 处的切线」：P 已知在曲线上，切点就是 P，斜率 f′(xP)，只有一条。
「求曲线 y=f(x) 过点 P 的切线」：P 未必在曲线上，切点未知，必须设切点 (a, f(a)) 再令切线通过 P，解出几个 a 就有几条切线。本组题1 专练后者。
二、题1 过点切线：设切点，解出两个 a
题目 已知 f(x) = x³ − 3x，求过点 P(2, 2) 的切线方程。
审题眼 「过」字。先验证 P 是否在曲线上：f(2) = 8 − 6 = 2，P 恰在曲线上——但即便如此，仍可能有另一条切线从别处切过来经过 P，不能只算 P 这一处。
规范作答
设切点为 (a, a³ − 3a)。f′(x) = 3x² − 3，故切线斜率 k = 3a² − 3，切线方程为
y − (a³ − 3a) = (3a² − 3)(x − a)。
令切线过 P(2, 2)，代入得
2 − (a³ − 3a) = (3a² − 3)(2 − a)
→ 2 − a³ + 3a = 6a² − 6 − 3a³ + 3a
→ 2a³ − 6a² + 8 = 0 → a³ − 3a² + 4 = 0。
因式分解：a³ − 3a² + 4 = (a + 1)(a² − 4a + 4) = (a + 1)(a − 2)² = 0，得 a = −1 或 a = 2（二重根）。
① a = 2：切点 (2, 2)，k = 3·4 − 3 = 9，切线 y − 2 = 9(x − 2)，即 y = 9x − 16；
② a = −1：切点 (−1, −1 + 3) = (−1, 2)，k = 3·1 − 3 = 0，切线 y = 2。
答案 y = 9x − 16 与 y = 2，共两条。
验算 y = 9x − 16 过 P：9×2 − 16 = 2 ✓；y = 2 显然过 P，且与曲线在 x = −1 处相切（f(−1)=2，f′(−1)=0，水平切线）✓。另外注意 (a−2)² 是二重根，不产生第三条切线，只说明在 x=2 处切线与曲线的接触性质特殊（此处 f″(2)=12≠0，实际是普通切点，重根来自方程结构）。
采分点 设切点并写出 f′(a)（2分）；写出切线方程（1分）；代入 P 化为三次方程（2分）；因式分解求出全部 a（2分）；分别写出两条切线（2分）；结论句（1分）。
易错点 ① 直接用 f′(2)=9 只写一条（最高发，漏解）；② 把「过」看成「在」；③ 三次方程只试出 a=2 就停，不做因式分解、漏 a=−1；④ 切点坐标算成 (a, 3a²−3)（把导数当函数值）。
三、题2 含参单调性：分类要写全
题目 设 f(x) = ln x − a x（a ∈ R），讨论 f(x) 的单调性。
审题眼 定义域 x > 0 先写；参数 a 的符号决定 f′ 的符号，必须分类。
规范作答
定义域为 (0, +∞)。f′(x) = 1/x − a = (1 − a x)/x。因 x > 0，f′(x) 的符号由分子 1 − a x 决定。
① a ≤ 0：对任意 x > 0，−a x ≥ 0，故 1 − a x ≥ 1 > 0，f′(x) > 0 恒成立，f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增。
② a > 0：令 f′(x) = 0 得 x = 1/a。
当 0 < x < 1/a 时，1 − a x > 0，f′(x) > 0，f(x) 递增；
当 x > 1/a 时，1 − a x < 0，f′(x) < 0，f(x) 递减。
综上：a ≤ 0 时在 (0, +∞) 递增；a > 0 时在 (0, 1/a) 递增、(1/a, +∞) 递减，且在 x = 1/a 处取得极大值 f(1/a) = ln(1/a) − 1 = −ln a − 1。
采分点 定义域（1分，漏写直接扣分）；求导并通分（1分）；指出分母恒正、只看分子（1分）；a ≤ 0 一类（2分）；a > 0 一类并求临界点 1/a（2分）；分区间写单调性（2分）；综上结论（1分）。
易错点 ① 漏定义域，把 x < 0 也纳入讨论；② 忘记讨论 a = 0（它属于 a ≤ 0，不能漏）；③ 直接写「当 a>0 时 x=1/a」却不说明 1/a > 0 一定在定义域内；④ 把「极大值」写成「最大值」——本函数在 a>0 时确有全局最大值（先增后减且端点趋于 ±∞，可判为最大），但需说明，不能顺手改词。
四、题3 闭区间最值：列表比完再下结论
题目 求 f(x) = x³ − 3x + 1 在 [−2, 2] 上的最大值与最小值。
审题眼 闭区间最值 = 所有极值点 + 两个端点一起比，不能只比极值。
规范作答
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)，令 f′(x)=0 得 x = −1、x = 1，均在 [−2, 2] 内。
| x | −2（端点） | −1（极大点） | 1（极小点） | 2（端点） |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | −8 + 6 + 1 = −1 | −1 + 3 + 1 = 3 | 1 − 3 + 1 = −1 | 8 − 6 + 1 = 3 |
比较得：最大值 3（在 x = −1 与 x = 2 处取得），最小值 −1（在 x = −2 与 x = 1 处取得）。
验算 由 f′ 符号：x<−1 时 f′>0（增），−1<x<1 时 f′<0（减），1<x 时 f′>0（增），故 x=−1 为极大、x=1 为极小，与表中数值一致；端点 f(−2)=−1、f(2)=3 与内部极值恰好相等，属命题人特意设置的「端点不可漏」情形。
采分点 求导（1分）；解出全部驻点并判断在区间内（2分）；列出端点+驻点的函数值表（3分，表本身即给分）；比较得出最大最小（2分）；写清取值点（1分）。
易错点 ① 只算 f(−1)、f(1) 就下结论，漏端点（本题两端点恰是答案的一部分，漏了就丢分）；② 把极值当最值；③ 不写取值点 x；④ 计算 f(−2) 时把 (−2)³ 算成 +8。
五、本组小结：导数题书写清单
- □ 见到「过某点的切线」→ 设切点 (a, f(a))，代入该点解 a，解出几个写几条；
- □ 见到含参函数 → 先写定义域，再按参数使导数变号的临界值分类，a=0 单独归到一类里不能漏；
- □ 见到闭区间最值 → 列表把驻点 + 两端点全列出来比，最大值最小值各写清取值点；
- □ 原始公式先行（f′(x)、切线点斜式），再代数；公式本身有分；
- □ 结果回代验算：切线代回该点、最值用单调性复核，30 秒能挡住多数计算错；
- □ 结论句写全：「故所求切线有两条……」「综上，a≤0 时……」。
导数题的分差，常在「少设一个未知量、少分一类、少列一个端点」。把这三处写成固定动作，比多做十道难题更有用。
