题目性质：自编仿真题——按课程标准与联招常见考点范围编写，非真题原文；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、选定理的两条判据
正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R：适合已知两角一边，或已知两边及其中一边的对角（后者要防两解）。
余弦定理 a² = b² + c² − 2bc·cosA：适合已知三边或两边及夹角。
边角互化：由正弦定理 a=2R sinA 等，把式子里的「边」全换成「角的正弦」或反过来，常用来判断三角形形状。面积 S = ½ab sinC = ½bc sinA = ½ca sinB。
二、题1 正弦定理求边，并用「大边对大角」验
题目 在 △ABC 中，已知 A = 30°，B = 45°，a = 2。求 b、c 与 C。
审题眼 两角一边 → 正弦定理；先由内角和求 C，再一口气算 b、c。
规范作答
C = 180° − A − B = 180° − 30° − 45° = 105°。
由正弦定理 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2/sin30° = 2/(1/2) = 4。
b = 4 sin45° = 4 × (√2/2) = 2√2；
sin105° = sin(60°+45°) = sin60°cos45° + cos60°sin45° = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2)/4；
c = 4 sin105° = √6 + √2。
验根（必写） 角的大小 A=30° < B=45° < C=105°，对应边应为 a < b < c：a=2，b=2√2≈2.83，c=√6+√2≈2.45+1.41=3.86，确有 2 < 2.83 < 3.86 ✓ 与「大边对大角」一致。另三角形两边之和大于第三边：2 + 2.83 > 3.86 ✓。
采分点 求 C（1分）；写出正弦定理并算出比值 2R=4（2分）；b 值（1分）；sin105° 的和角公式展开（2分）；c 值（1分）；「大边对大角」验算（1分，常被漏）。
易错点 ① 把 2R 当成 a·sinA（应为 a/sinA）；② sin105° 展开符号写错或误用 sin(60°−45°)；③ 忘记先求 C 就想算 c；④ 不验解，符号错看不出来。
三、题2 边角互化判断三角形形状
题目 在 △ABC 中，若 a cosA = b cosB，试判断 △ABC 的形状。
审题眼 「边 × 角的余弦」混合式 → 用正弦定理把边换成角的正弦，别急着用余弦定理展开（那样会绕进边长代数）。
规范作答（边化角）
由正弦定理 a = 2R sinA、b = 2R sinB，代入得
2R sinA cosA = 2R sinB cosB → sin2A = sin2B。
因 A、B ∈ (0, π)，故 2A、2B ∈ (0, 2π)。由 sin2A = sin2B 得两类情形：
① 2A = 2B → A = B，即 a = b，△ABC 为等腰三角形；
② 2A + 2B = π（正弦相等的两角互补）→ A + B = π/2，故 C = π/2，△ABC 为直角三角形。
综上，△ABC 为等腰三角形或直角三角形（两者可同时成立，即等腰直角三角形，也包含在内）。
验算 等腰情形取 A=B=50°：a cosA 与 b cosB 因 a=b、cosA=cosB 相等 ✓；直角情形取 C=90°、A=30°、B=60°：a=2R·½=R，b=2R·(√3/2)=√3R，a cosA = R·(√3/2)=√3R/2，b cosB = √3R·(1/2)=√3R/2 ✓ 相等。
采分点 写出边化角的替换（2分）；化为 sin2A = sin2B（2分）；分两类讨论（各2分，本题最大区分点）；结论写「等腰或直角」（1分）；验算或说明两者可兼有（1分）。
易错点 ① 由 sin2A=sin2B 直接约掉得 A=B，漏掉互补的直角情形（最高发）；② 边角互化时忘了共同的 2R 可直接约去；③ 结论只写一种；④ 忽略 2A、2B 的范围，多解乱判。
四、题3 两解情形与面积
题目 在 △ABC 中，a = 2√3，b = 2，A = 60°。求 B、C 及 △ABC 的面积。
审题眼 两边及其中一边的对角（SSA） → 正弦定理求 sinB 后，必须讨论 B 是锐角还是钝角，并用「a > b ⇔ A > B」筛掉不合法的解。
规范作答
由正弦定理 a/sinA = b/sinB 得 sinB = b sinA / a = 2 × (√3/2) / (2√3) = √3/(2√3) = 1/2。
故 B = 30° 或 B = 150°。
筛解：因 a = 2√3 ≈ 3.46 > b = 2，由大边对大角必有 A > B；而 A = 60°，B = 150° 时 A > B 不成立（且 60°+150° > 180°），故舍去 B = 150°。取 B = 30°。
C = 180° − 60° − 30° = 90°。
面积 S = ½ a b sinC = ½ × 2√3 × 2 × sin90° = 2√3。
验算 C=90° 为直角三角形，斜边应为 c；由勾股 c² = a² + b² = 12 + 4 = 16 → c = 4；再由正弦定理 c/sinC = 4/1 = 4，而 a/sinA = 2√3/(√3/2) = 4 ✓ 一致。另 S = ½ × 两直角边 = ½ × 2√3 × 2 = 2√3 ✓。
采分点 写出正弦定理并求 sinB=1/2（2分）；列出 B 的两个候选（1分）；用大边对大角/内角和筛去 150°（2分，本题题眼）；求 C（1分）；面积公式与结果（2分）；验算（1分）。
易错点 ① SSA 题只取锐角解、不写筛解过程（答案碰巧对但过程分丢）；② 忘记「a>b ⇔ A>B」这条筛解判据；③ 面积误用 ½ab·sinA（夹角应为 C，不是 A）；④ 把 150° 也保留，算出负的 C。
五、解三角形书写清单
- □ 先判条件类型：两角一边／SSA → 正弦定理；三边／两边夹角 → 余弦定理；
- □ 已知两角先求第三角；和角公式（如 sin105°）展开要写全；
- □ 边角混合式优先用正弦定理边化角，约去公共 2R；
- □ 遇到 sin2A = sin2B 之类，必须分「相等」与「互补」两类，别直接约；
- □ SSA 题必写筛解：用大边对大角或内角和排除不合法解；
- □ 面积公式看准夹角：S = ½ab sinC，两边必须是夹角 C 的邻边；
- □ 收尾验算：大边对大角顺序、两边和大于第三边、或与勾股/正弦比值互验；
- □ 结果带单位与角度符号，结论句写全。
解三角形的分差，多在「漏一个解」和「多留一个不该留的解」。把筛解当成固定步骤写出来，比算得更快更值分。
