题目性质：自编仿真题——按课程标准与联招常见考点范围编写，非真题原文；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、建模四步
① 画出示意图，把建筑物、观测点、航线标成点线；② 把文字角翻成三角形内角：仰角/俯角是与水平线的夹角、方位角从正北顺时针量、方向角（如「北偏东 30°」）要换算成内角；③ 列出已知边角，判该用正弦还是余弦定理；④ 算出结果并回场景验合理性（高度为正、距离量级对、角度和不超过 180°）。
二、题1 测高：两次仰角
题目 为测一座塔的高度，在地面上取 A、B 两点，A、B 与塔底 D 在同一直线上，AB = 30 m。在 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30°，在 B 处（更靠近塔）测得仰角为 45°。求塔高 CD（结果保留根号）。
审题眼 A、B、D 共线且 B 更靠近塔 → AD = AB + BD；仰角是与水平线夹角，故 △ACD、△BCD 都是直角三角形（D 为直角）。
规范作答
设塔高 CD = h，BD = x，则 AD = 30 + x。
在 Rt△BCD 中：tan45° = h/x = 1 → x = h。
在 Rt△ACD 中：tan30° = h/(30 + x) = 1/√3 → 30 + x = √3 h。
代入 x = h：30 + h = √3 h → 30 = (√3 − 1)h → h = 30/(√3 − 1) = 30(√3+1)/[(√3−1)(√3+1)] = 30(√3+1)/2 = 15(√3 + 1) m。
验算 h = 15(√3+1) ≈ 15×2.732 ≈ 40.98 m，x = h ≈ 40.98 m，AD = 70.98 m；tan30° = 40.98/70.98 ≈ 0.577 ≈ 1/√3 ✓；tan45° = 40.98/40.98 = 1 ✓。高度为正、且比两次观测距离都小，合理。
另法（正弦定理，用于互验） 在 △ABC 中，∠A = 30°，∠CBD = 45° 故 ∠ABC = 180° − 45° = 135°，∠ACB = 180° − 30° − 135° = 15°。由正弦定理 BC/sin30° = AB/sin15° 得 BC = 30·sin30°/sin15° = 15/sin15°；又 h = BC·sin45° = 15·(√2/2)/sin15°。由 sin15° = (√6−√2)/4 得 h = (15√2/2)·4/(√6−√2) = 30√2/(√6−√2) = 30√2(√6+√2)/4 = 15(√3+1) ✓ 两法一致。
采分点 画示意图并设 h、x（1分）；写出 AD=30+x（1分，共线关系是题眼）；两个正切方程（各2分）；解方程并有理化（2分）；结果 15(√3+1) m（1分）；验算（1分）。
易错点 ① 把 AD 写成 30 − x（没判断 B 更靠近塔）；② 仰角当成与竖直方向的夹角（正切变余切）；③ 结果不有理化；④ 忘记写单位与「保留根号」的要求。
三、题2 不可达距离：基线法
题目 为测河对岸两点 P、Q 之间的距离（P、Q 均不可到达），在近岸取 A、B 两点，AB = 100 m。测得 ∠PAB = 60°、∠PBA = 30°、∠QAB = 30°、∠QBA = 75°。求 PQ（结果精确到 1 m，√2≈1.414、√3≈1.732、√6≈2.449）。
审题眼 两组角分别在 △PAB 与 △QAB 里，先各自用正弦定理求出 AP、AQ，再在 △APQ 里用余弦定理求 PQ。∠PAQ = ∠PAB − ∠QAB = 60° − 30° = 30°（两点在同一侧）。
规范作答
第一步：求 AP（在 △PAB 中） ∠APB = 180° − 60° − 30° = 90°。
AP/sin∠PBA = AB/sin∠APB → AP = AB·sin30°/sin90° = 100 × 0.5/1 = 50 m。
第二步：求 AQ（在 △QAB 中） ∠AQB = 180° − 30° − 75° = 75°。
AQ/sin∠QBA = AB/sin∠AQB → AQ = 100·sin75°/sin75° = 100 m。（△QAB 中 ∠QBA = ∠AQB = 75°，为等腰三角形，故 AQ = AB = 100 m，可直接看出。）
第三步：求 PQ（在 △APQ 中，∠PAQ = 30°）
PQ² = AP² + AQ² − 2·AP·AQ·cos30° = 50² + 100² − 2×50×100×(√3/2) = 2500 + 10000 − 5000√3 = 12500 − 5000√3。
代入 √3≈1.732：PQ² ≈ 12500 − 8660 = 3840 → PQ ≈ √3840 ≈ 62 m（61.97，精确到 1 m）。
验算 PQ 应小于 AP + AQ = 150 m 且大于 |AQ − AP| = 50 m，62 m 落在区间内 ✓；∠PAQ=30° 较小，故 PQ 略大于 AQ−AP=50 m，合理。另用近似校验：√(12500−5000×1.732)=√3840≈61.97 ✓。
采分点 画示意图、拆成三个三角形（2分）；求 ∠APB=90° 与 AP=50 m（2分）；求 ∠AQB=75° 与 AQ=100 m（2分）；∠PAQ = 60°−30° = 30°（2分，本题题眼）；余弦定理代入（2分）；结果≈62 m 与精确度（1分）；三角不等式验算（1分）。
易错点 ① 把 ∠PAQ 写成 60°+30°=90°（没判断 P、Q 在 AB 同侧）；② 两次正弦定理用错对应角（分子分母搞反）；③ 忘记先求 AP/AQ 就直接对 PQ 用余弦定理；④ 结果不按「精确到 1 m」取整。
四、题3 方位角与航行
题目 一艘船从港口 O 出发，先沿北偏东 30°方向航行 20 海里到 A，再沿南偏东 60°方向航行 20 海里到 B。求：
(1) ∠OAB 的大小；
(2) OB 的距离；
(3) B 相对 O 的方位（用方向角表示）。
审题眼 方向角换算：北偏东 30°＝从正北向东转 30°；南偏东 60°＝从正南向东转 60°。两条航向恰好互相垂直（30° + 60° = 90°，可画南北平行线用内错角验证）。
(1) 规范作答 过 A 作南北方向平行线：OA 与「A 点正南方向」的夹角为 30°（内错角），AB 与「A 点正南方向」的夹角为 60°，两者分居南北线两侧，故
∠OAB = 180° − (30° + 60°)？需仔细核对：OA 方向是从 O 看 A 为北偏东 30°，则从 A 看 O 为南偏西 30°；AB 从 A 看 B 为南偏东 60°。以 A 点正南方向为基准，AO 在其西侧 30°，AB 在其东侧 60°，故 ∠OAB = 30° + 60° = 90°。
(2) 规范作答 △OAB 中 OA = AB = 20 海里，∠OAB = 90°，为等腰直角三角形：
OB = √(20² + 20²) = 20√2 ≈ 28.3 海里；且 ∠AOB = 45°。
(3) 规范作答 OA 相对正北偏东 30°，而 OB 相对 OA 再向东偏 45°（因 ∠AOB=45° 且 B 在 A 的东南侧），故 OB 相对正北偏东 30° + 45° = 75°，即 B 在 O 的北偏东 75°（等价于东偏北 15°）方向。
验算 用坐标法：取 O 为原点、x 向东、y 向北。A = (20 sin30°, 20 cos30°) = (10, 10√3)。AB 方向南偏东 60° 即与正东夹角 30° 向下：位移 = (20 cos30°, −20 sin30°) = (10√3, −10)。故 B = (10+10√3, 10√3−10) ≈ (27.32, 7.32)。|OB| = √(27.32²+7.32²) = √(746.4+53.6) = √800 = 20√2 ≈ 28.28 ✓；tan(偏东角相对正北) = x/y = 27.32/7.32 ≈ 3.73 → 角度 ≈ 75° ✓ 与几何法一致。
采分点 (1) 方向角换算与 ∠OAB=90°（3分，本题核心）；(2) 勾股/余弦定理与 OB=20√2（2分）；(3) 北偏东 75°（2分）；坐标法验算（2分）；单位与结论（1分）。
易错点 ① 把两个方向角直接相加当内角或误算成 180°−90°；② 忘记「从 A 看 O」要反向（南偏西 30°）；③ 方位角从正北顺时针量与「北偏东」混用；④ 不验算，把 75° 写成 15°（那是相对正东的角）。
五、实际应用题清单
- □ 先画示意图，标出所有点、水平线、南北线；
- □ 角的定义逐个翻：仰角/俯角对水平线、方位角从正北顺时针、方向角「北偏东 α」；
- □ 「从 A 看 O」要把方向整体反向（北偏东 ↔ 南偏西）；
- □ 共线问题先判谁更靠近（AD = AB + BD 还是 AB − BD）；
- □ 不可达距离：先各用正弦定理求两条「可达边」，再用余弦定理求目标边；
- □ 两角相减得夹角时，先判断两点在基线同侧还是异侧；
- □ 用坐标法给方位角题做独立验算，最不容易出错；
- □ 结果按题目要求保留根号或取近似，带单位；用三角不等式或量级回验。
应用题真正考的是翻译：把「北偏东」「仰角」「更靠近塔」这些话翻成三角形里的边和角。图画对了，剩下的只是正弦余弦。
