联招数学·导数应用（二）：恒成立求参与不等式证明

题目性质：自编仿真题——按课程标准与联招常见考点范围编写，非真题原文；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、一句话总纲

「f(x) ≥ 0 对任意 x∈D 恒成立」 ⇔ f(x) 在 D 上的最小值 ≥ 0；「存在 x 使 f(x) ≥ 0」 ⇔ 最大值 ≥ 0。含参时两条路：能分离参数就分离（把 a 单独留在一边，另一边求最值），不能分离就构造新函数直接研究单调性。等号能否取到、端点是否包含在 D 内，必须写清。

二、题1 分离参数法

题目　若不等式 x² − a x + 1 ≥ 0 对任意 x ∈ (0, 2] 恒成立，求实数 a 的取值范围。

审题眼　x > 0，可两边除以 x分离 a；区间是左开右闭，端点要不要取到必须交代。

规范作答

因 x ∈ (0, 2]，x > 0，原不等式等价于 a ≤ (x² + 1)/x = x + 1/x 对任意 x ∈ (0, 2] 恒成立。
设 h(x) = x + 1/x，则条件等价于 a ≤ h(x)_min。

h′(x) = 1 − 1/x² = (x² − 1)/x²。当 0 < x < 1 时 h′ < 0（递减），当 1 < x ≤ 2 时 h′ > 0（递增），故 h(x) 在 x = 1 处取得最小值 h(1) = 1 + 1 = 2。

所以 a ≤ 2。

验算与端点讨论　① x=1 属于 (0,2]，最小值能取到，故 a=2 时不等式为 x² −2x +1 = (x−1)² ≥ 0，恒成立 ✓；② 若 a > 2，取 x=1 即得 2 − a < 0，不成立 ✓；③ x→0⁺ 时 h(x)→+∞，不构成约束；右端点 x=2 时 h(2)=2.5 > 2，也不构成约束。

采分点　由 x>0 说明可除、完成分离（2分）；写出「a ≤ h(x)_min」这一转化（2分，本题最关键一步）；求导并判单调区间（2分）；求出最小值 2（1分）；结论 a ≤ 2 并说明等号可取（2分）。

易错点　① 分离时不等号方向弄反（除以正数不变号，但很多同学下意识反过来）；② 写成 a ≥ h_min（把「恒成立」与「存在」搞混）；③ 只求极值不验证它是不是区间内最小值；④ 忘记说明 x=1 在区间内、等号成立。

三、题2 不能分离时：构造新函数

题目　设 f(x) = e^x − a x − 1。若 f(x) ≥ 0 对任意 x ∈ R 恒成立，求 a 的取值范围。

审题眼　x 可取 0 与负值，无法把 a 干净地除到一边（除 x 要变号、x=0 还除不得）。改走构造法，直接研究 f 的最小值，并对 a 分类。

规范作答

f′(x) = e^x − a，且 f(0) = 1 − 0 − 1 = 0。注意到 f(0)=0 是本题题眼：既然要求 f(x) ≥ 0 恒成立，x=0 必须是最小值点（或之一），否则 0 附近必出现负值。

① a ≤ 0：e^x > 0 ≥ a，故 f′(x) = e^x − a > 0 恒成立，f 在 R 上单调递增。于是 x < 0 时 f(x) < f(0) = 0，不满足。
② a > 0：令 f′(x)=0 得 x = ln a。x < ln a 时 f′<0（递减），x > ln a 时 f′>0（递增），故 f 在 x = ln a 处取得全局最小值 f(ln a) = a − a ln a − 1 = a(1 − ln a) − 1。
要求 f(ln a) ≥ 0，即 a(1 − ln a) ≥ 1。设 φ(a) = a(1 − ln a) − 1（a>0），φ′(a) = (1 − ln a) + a·(−1/a) = −ln a。
当 0 < a < 1 时 φ′ > 0（递增），a > 1 时 φ′ < 0（递减），故 φ(a) 在 a = 1 取最大值 φ(1) = 1·(1−0) −1 = 0。因此 φ(a) ≥ 0 仅当 a = 1。

综上，a = 1（此时 f(x)=e^x − x − 1 ≥ 0，即题3 的经典不等式）。

采分点　写出 f(0)=0 并指出 x=0 须为最小值点（2分，最值思路的题眼）；对 a 分类（2分）；a>0 时求极小点 ln a 与最小值表达式（2分）；构造 φ(a) 并求其最大值 0（2分）；结论 a=1（1分）；验证（1分）。

易错点　① 强行分离参数、忽略 x=0 与除 x 变号；② 漏掉 a ≤ 0 一类（此时 f 单调递增，左侧必为负）；③ 求出 f(ln a) 后直接令其 =0 而不论证「只有 a=1 能满足 ≥0」；④ 忘记 f(0)=0 这个免费条件，绕远路。

四、题3 用导数证明不等式（含变式）

题目　(1) 证明：对任意 x ∈ R，e^x ≥ x + 1。
(2) 利用 (1) 的结论证明：当 x > 0 时，ln x ≤ x − 1。

(1) 规范作答

构造 g(x) = e^x − x − 1。g′(x) = e^x − 1。
x < 0 时 e^x < 1，g′ < 0（递减）；x > 0 时 e^x > 1，g′ > 0（递增）。故 g(x) 在 x = 0 处取得全局最小值 g(0) = 1 − 0 − 1 = 0。
因此 g(x) ≥ 0，即 e^x ≥ x + 1，等号当且仅当 x = 0 时成立。

(2) 规范作答（换元迁移）

在 (1) 中令 x = ln t（t > 0），得 e^{ln t} ≥ ln t + 1，即 t ≥ ln t + 1，整理得 ln t ≤ t − 1。把 t 改写为 x，即 ln x ≤ x − 1（x > 0），等号当且仅当 x = 1 时成立。

另法（构造法，用于互验）：设 u(x) = ln x − x + 1（x>0），u′(x) = 1/x − 1 = (1−x)/x。0<x<1 时 u′>0，x>1 时 u′<0，故 u 在 x=1 取最大值 u(1)=0，即 u(x) ≤ 0，得 ln x ≤ x − 1 ✓ 两法一致。

采分点　(1) 构造 g 并求导（2分）；分区间判单调（2分）；指出 x=0 为最小值点并算出 g(0)=0（2分）；写出结论与等号条件（1分）；(2) 正确换元 t = e^x 方向的替换（1分）；整理与等号条件（1分）。

易错点　① 只证了 x ≥ 0 一侧（必须两侧单调都写）；② 不写「全局最小」，只说「x=0 时等于 0」；③ 漏等号成立条件；④ (2) 换元方向写反（令 x = e^t 而不是 t = e^x，需保持一致）。

五、恒成立／证明题书写清单

• □ 先把文字翻成最值：∀ 恒成立 ⇔ 最小值 ≥ 0；∃ 成立 ⇔ 最大值 ≥ 0；
• □ 含参先看能否分离参数；除以变量前确认符号，含 0 的区间不要硬除；
• □ 不能分离就构造新函数，求导 → 判单调 → 求最值，参数按使导数变号的临界值分类；
• □ 善用免费条件：f(0)=0、端点值、特殊点代入，常直接指出最小值点；
• □ 端点开闭与等号能否取到必须写：a ≤ 2 与 a < 2 只差一字，分就差在这里；
• □ 证明不等式收尾写「等号当且仅当 x = …」；
• □ 用换元或第二构造法回验一遍，30 秒能查出单调区间判反。

恒成立与不等式证明，看着是两类题，其实都是「把不等式变成一个函数的最小值问题」。会转化，压轴题的第一问就稳了。