联招数学·解三角形：正弦定理与「两解」的判定

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

设已知 a、b 与角 A（a 为 A 的对边，b 为另一已知边），由正弦定理 sinB = b·sinA / a。令 h = b·sinA（b 边在垂直于 a 方向上的「高度」）。按 a 与 h 及 b 的大小分三支，就能确定解的个数。

关键提醒：sinB 求出的只是正弦值，B 可能是锐角也可能是它的补角 180°−B；两个候选都要用 A + B < 180° 回验，成立才算一解。下面三题均为自编题，边角数值自拟。

二、题目呈现

题1（自编）

在 △ABC 中，已知 A = 30°，b = 4，a = 3。判断三角形解的个数，并求出所有解中的角 B、角 C 与边 c（结果保留根号或两位小数；sin30°=0.5，√3≈1.732）。

题2（自编）

在 △ABC 中，已知 A = 60°，b = 6，分别就 a = 3、a = 3√3、a = 4、a = 7 四种情形判断解的个数，并说明理由（sin60°=√3/2≈0.866）。

题3（自编）

在 △ABC 中，已知 A = 45°，a = 5，b = 5√2。判断解的个数并求 c；某同学由正弦定理得 sinB = 1 后，又补了一个 B = 180° − 90° = 90° 作为「第二解」，请指出错在哪里。

三、分步解析

题1　h = b·sinA = 4 × 0.5 = 2。比较：h = 2 < a = 3 < b = 4，落在「h < a < b」这一支 → 两解。
由 sinB = b·sinA/a = 2/3 ≈ 0.6667，得 B₁ ≈ 41.81°，B₂ = 180° − 41.81° = 138.19°。回验：A + B₁ = 71.81° < 180° ✓；A + B₂ = 168.19° < 180° ✓，两解都成立。
解一：B₁ ≈ 41.81°，C₁ = 180° − 30° − 41.81° = 108.19°；解二：B₂ ≈ 138.19°，C₂ = 180° − 30° − 138.19° = 11.81°。
由 c = a·sinC/sinA = 3·sinC/0.5 = 6 sinC：c₁ = 6 sin108.19° ≈ 6×0.950 ≈ 5.70；c₂ = 6 sin11.81° ≈ 6×0.2046 ≈ 1.23。
回验：用余弦定理 a² = b² + c² − 2bc cosA 核对解一：16 + 32.49 − 2×4×5.70×0.866 ≈ 48.49 − 39.49 = 9.00 ≈ a²=9 ✓；解二：16 + 1.51 − 2×4×1.23×0.866 ≈ 17.51 − 8.52 = 8.99 ≈ 9 ✓。两解均自洽。

题2　h = b·sin60° = 6 × √3/2 = 3√3 ≈ 5.196；b = 6。
① a = 3 < h → sinB = h/a = 5.196/3 ≈ 1.73 > 1，无解（对边太短，够不到）。
② a = h = 3√3 → sinB = 1，B = 90°，唯一解（直角三角形）；A + B = 150° < 180° ✓。
③ a = 4：h(5.196) > a = 4 → 仍属 a < h，sinB = 5.196/4 ≈ 1.30 > 1，无解。注意这一支最容易错：a=4 比 a=3 大，但仍小于 h，不能想当然以为「变大了就有一解」。
④ a = 7 > b = 6 → sinB = 5.196/7 ≈ 0.742，B₁ ≈ 47.9°，B₂ ≈ 132.1°；但 A + B₂ = 60° + 132.1° = 192.1° > 180°，B₂ 不成立，故唯一解（B ≈ 47.9°）。规则：a ≥ b 时只有一解。
四支结论：无解 / 一解 / 无解 / 一解。

题3　h = b·sin45° = 5√2 × √2/2 = 5，恰好 a = 5 = h → 唯一解。sinB = h/a = 1，B = 90°；C = 180° − 45° − 90° = 45°。由 c = a·sinC/sinA = 5·(√2/2)/(√2/2) = 5（也可看出此时 A = C = 45°，为等腰直角三角形，c = a = 5，b = 5√2 为斜边）。回验：5² + 5² = 50 = (5√2)² ✓。
该同学错在：当 sinB = 1 时，B = 90° 的补角仍是 90°，两个候选重合为同一个角，并不存在「第二解」；他把「180° − B」这个求补角的公式机械套用，没意识到 90° 的补角等于自身。更一般的判定是：补角候选必须满足 A + (180° − B) < 180°，即 A < B 才成立；本题 A = 45° < B = 90° 看似满足，但补角 90° 与原角相同，属同一解，不能重复计数。这一点正是「a = h」支只给一解的原因。

判定口径小结　已知 a、b、A，令 h = b·sinA：
① a < h → 无解（sinB>1）；
② a = h → 一解（B=90°）；
③ h < a < b → 两解（B 与 180°−B 均满足 A+B<180°）；
④ a ≥ b → 一解（补角候选使 A+B ≥ 180°，被排除）。
几何解释：把 A 角与边 b 固定，边 a 是以 C 为圆心、半径 a 的圆与 A 的另一条射线的交点个数——够不到（0）、相切（1）、相交两点（2）、只交一点且另一点在反向（1）。

四、采分点对照

五、高频易错点

• 算出 sinB 就只取锐角，漏掉补角候选，两解答成一解。
• 补角候选不回验 A + B < 180°：a ≥ b 时 180°−B 往往不成立。
• 把 h 记成 b·cosA 或 a·sinB，判定基准错。
• 题2 ③ 见 a 从 3 增到 4 就以为「该有解了」，忽略仍小于 h≈5.196。
• 题3 把 sinB=1 的两个「补角」当成两解：90° 的补角是自身。
• 求 c 时忘记 sinA 在分母，或把 C 与 B 弄混。
• 只给角不给边，或答案不带「两解/一解」的明确个数结论。

六、小结与自查清单

• □ 第一句先算 h = b·sinA，并写出与 a、b 的三方比较。
• □ 按四支表定解数，先写个数再求角。
• □ sinB 求出后列出 B 与 180°−B 两个候选。
• □ 每个候选都用 A + B < 180° 回验，不成立就划掉。
• □ 90° 的补角是自身，别重复计数。
• □ 求 c 用 c = a·sinC/sinA，并回代一组余弦定理验算。
• □ 答案写清「无解 / 一解 / 两解」，两组解分别列全。

SSA 的所有玄学都能收进一张表：先算 h = b·sinA，再按 a 与 h、b 的大小落支。剩下的动作是固定的——列两个 B 候选、用内角和筛、分别求 C 与 c、回代验算。记住「90° 的补角还是 90°」，最后一处重复计数也能避开。本组题目、边角数值均为原创自编仿真内容。