题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
先把四个公式挂在同一个 S 上：S = ½bc sinA、S = abc/(4R)、S = rs（s 为半周长）、a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。它们不是四个孤立结论，而是同一块面积的四种算法；任给一组条件，至少能找到两条路算出同一个 S，这就是回代验算的抓手。
易混点先说清：s 是半周长（(a+b+c)/2），不是面积 S；海伦公式 S=√(s(s−a)(s−b)(s−c)) 里的 s 与 S=rs 里的 s 是同一个量。R 是外接圆半径、r 是内切圆半径，一般 R ≥ 2r（欧拉不等式，本题数据也会满足）。下面边长与角度均为自编，全部做过精确值与近似值互验。
二、题目呈现
题1（解答题）
自编三角形三边 a=5, b=6, c=7。
(1) 求半周长 s 与面积 S（用海伦公式，保留根号）；
(2) 由 S=abc/(4R) 求外接圆半径 R，由 S=rs 求内切圆半径 r；
(3) 验证 R ≥ 2r 成立。
题2（解答题·双向回验）
对题1 的三角形：
(1) 用余弦定理求 cosA 与 sinA，再由 2R=a/sinA 求 R；
(2) 与题1 (2) 的 R 比较是否一致；
(3) 用 S=½bc sinA 再算一次面积，与海伦公式结果核对。
题3（解答题）
另给自编条件：A=60°，b=4，c=5。
(1) 由余弦定理求 a（保留根号），并求 S=½bc sinA；
(2) 由 S=abc/(4R) 求 R；
(3) 用 2R=a/sinA 回代验证，并求 s 与 r（保留根号或两位小数）。
三、分步解析
题1 (1) s = (5+6+7)/2 = 9。海伦公式：S = √(9×(9−5)×(9−6)×(9−7)) = √(9×4×3×2) = √216 = 6√6 ≈ 14.697。回代：9×4×3×2=216，√216=6√6 ✓（6√6=6×2.44949=14.6969）。
题1 (2) abc = 5×6×7 = 210。由 S=abc/(4R) 得 R = abc/(4S) = 210/(4×6√6) = 210/(24√6) = 8.75/√6 = 35√6/24 ≈ 3.572。由 S=rs 得 r = S/s = 6√6/9 = 2√6/3 ≈ 1.633。回代：rs = (2√6/3)×9 = 6√6 = S ✓；abc/(4R) = 210/(4×35√6/24) = 210×24/(140√6) = 36/√6 = 6√6 = S ✓，两式都还原同一面积。
题1 (3) R ≈ 3.572，2r ≈ 3.266，故 R ≥ 2r 成立。精确比较：R − 2r = 35√6/24 − 4√6/3 = 35√6/24 − 32√6/24 = 3√6/24 = √6/8 > 0 ✓。回代：R/(2r) = (35√6/24)/(4√6/3) = (35/24)×(3/4) = 105/96 = 1.094 > 1 ✓。
题2 (1) cosA = (b²+c²−a²)/(2bc) = (36+49−25)/(2×6×7) = 60/84 = 5/7。sinA = √(1−25/49) = √(24/49) = 2√6/7。由 2R = a/sinA 得 R = a/(2 sinA) = 5/(2×2√6/7) = 5×7/(4√6) = 35/(4√6) = 35√6/24 ≈ 3.572。
题2 (2) 与题1 (2) 的 R = 35√6/24 完全一致 ✓。数值核对：210/(4×6√6)=35√6/24 与 5/(2 sinA) 两条独立路径汇合。再用 c 边复核：cosC=(a²+b²−c²)/(2ab)=(25+36−49)/60=12/60=1/5，sinC=√(24/25)=2√6/5，c/sinC=7/(2√6/5)=35/(2√6)=35√6/12=2R，故 R=35√6/24 ✓。
题2 (3) S = ½bc sinA = ½×6×7×(2√6/7) = 3×7×2√6/7 = 6√6，与题1 海伦公式结果 6√6 一致 ✓。三条路径（海伦、½bc sinA、rs）都给出同一面积，公式体系闭环。
题3 (1) a² = b²+c²−2bc cosA = 16+25−2×4×5×½ = 41−20 = 21，故 a = √21 ≈ 4.583。S = ½bc sinA = ½×4×5×(√3/2) = 5√3 ≈ 8.660。回代：用海伦公式核对，s=(√21+9)/2≈6.7915，S=√(s(s−a)(s−b)(s−c))≈√(6.7915×2.2085×2.7915×1.7915)≈√75.0=8.660 ✓（精确值 5√3，√75=5√3 ✓）。
题3 (2) abc = √21×4×5 = 20√21。R = abc/(4S) = 20√21/(4×5√3) = 20√21/(20√3) = √21/√3 = √7 ≈ 2.646。回代：S = abc/(4R) = 20√21/(4√7) = 5√21/√7 = 5√3 ✓。
题3 (3) 2R = 2√7 ≈ 5.292；a/sinA = √21/(√3/2) = 2√21/√3 = 2√7 ≈ 5.292，两者一致 ✓。半周长 s = (a+b+c)/2 = (√21+9)/2 ≈ 6.7915；r = S/s = 5√3 / ((√21+9)/2) = 10√3/(√21+9) ≈ 8.660/6.7915 ≈ 1.275。再核对：rs = 1.275×6.7915 ≈ 8.660 = S ✓；R ≥ 2r：2.646 ≥ 2.550 ✓。
四、采分点对照
| 题号 | 答案 | 采分点构成 |
|---|---|---|
| 题1 (1) | s=9，S=6√6≈14.697 | 半周长 1 分；海伦公式代入 1 分；根号化简 1 分；近似值 1 分 |
| 题1 (2) | R=35√6/24≈3.572；r=2√6/3≈1.633 | 两个公式各 1 分；两个结果各 1 分；双向回代 S 1 分 |
| 题1 (3) | R≥2r 成立 | 数值比较 1 分；精确差 √6/8>0 1 分；比值核对 1 分 |
| 题2 (1) | cosA=5/7，sinA=2√6/7，R=35√6/24 | 余弦定理 1 分；同角平方关系 1 分；由 2R 求 R 1 分 |
| 题2 (2) | 与题1 一致 | 两条路径对比 1 分；用 c 边再复核 1 分 |
| 题2 (3) | S=6√6 | 公式代入 1 分；与海伦结果一致 1 分；写出三路闭环 1 分 |
| 题3 (1) | a=√21，S=5√3≈8.660 | 余弦定理 1 分；面积 1 分；海伦回代 1 分 |
| 题3 (2) | R=√7≈2.646 | 由 S=abc/(4R) 变形 1 分；化简 1 分；回代 S 1 分 |
| 题3 (3) | 2R=a/sinA=2√7；r≈1.275 | 比值互验 1 分；s 1 分；r 1 分；rs=S 与 R≥2r 各 1 分 |
五、高频易错点
- 把半周长 s 与面积 S 混用：海伦公式里的 s 与 S=rs 里的 s 是同一个量。
- 用 S=abc/(4R) 求 R 时忘记乘 4，或把 R 与 2R 写反。
- 由 cosA 求 sinA 时漏掉 A 为三角形内角、sinA 取正这一前提。
- 两组数据分别算完就收工，不做 S=rs、2R=a/sinA 的回代，错了也看不出。
- 近似值过早取整，导致后面回代对不上（本题保留根号到最后一步）。
六、小结与自查清单
| 公式 | 已知 → 求 | 题1 结果 | 题3 结果 |
|---|---|---|---|
| 海伦 / ½bc sinA | 三边或两边夹角 → S | 6√6 | 5√3 |
| S = abc/(4R) | S、三边 → R | 35√6/24 | √7 |
| S = rs | S、s → r | 2√6/3 | ≈1.275 |
| a/sinA = 2R | 边与对角 → 2R | 35√6/12 | 2√7 |
- □ 先算半周长 s，把海伦公式与 S=rs 挂到同一个 s 上。
- □ R 至少算两条路（abc/4S 与 a/(2sinA)），看是否汇合。
- □ 近似值留到最后，中间一律带根号。
- □ 每求一次 R 或 r，都反代回 S 或 2R 验一遍。
- □ 收尾核对 R ≥ 2r，作为整体合理性的快速检查。
这组公式看着多，其实只是同一块面积的四种算法：海伦给 S，S=abc/(4R) 给外接圆，S=rs 给内切圆，a/sinA=2R 把边角与外接圆扣上。养成「每求一个量都从另一条路反代」的习惯，根号化简对不对、4 有没有漏，当场就露出来。本组边长、角度与数值均为原创自编仿真内容，全部经精确值与近似值互验。
