联招物理·凸透镜焦距测量：自准法与共轭法

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

共轭法的巧妙之处：把物与屏固定在距离 L 处，移动透镜会有两个位置能成清晰像，两者相距 d。设两次的物距/像距互换（u₁ = v₂、v₁ = u₂），由 u + v = L、v − u = d 可得 u = (L−d)/2、v = (L+d)/2，代入 1/f = 1/u + 1/v 即得 f = (L² − d²)/(4L)。全程不必知道光心精确位置，只读 L 与 d。

成立条件藏在这个式子里：d 为实数要求 L ≥ 4f（L = 4f 时 d = 0，两次位置重合，只有一个像）。所以实验前要先把物屏距离拉到足够大。下面距离、位置与放大率均为自编示意，全部经公式回代验证。

二、逐题精讲

题1

题1 共轭法求焦距（含推导与回代）

自编示意实验：物与光屏固定相距 L = 80.0 cm。移动凸透镜，找到两个能在屏上成清晰像的位置，两位置间距 d = 40.0 cm。

(1) 由 1/f = 1/u + 1/v 与 u+v = L 推导 f = (L² − d²)/(4L)；(2) 求 f，并求两次成像的物距、像距与放大率；(3) 用透镜公式逐次回代验算；(4) 说明为什么必须满足 L > 4f。

解析

(2) f = (80.0² − 40.0²)/(4×80.0) = (6400 − 1600)/320 = 4800/320 = 15.0 cm。
u₁ = (80.0−40.0)/2 = 20.0 cm，v₁ = (80.0+40.0)/2 = 60.0 cm，放大率 m₁ = v₁/u₁ = 3.0（放大实像）；
第二次 u₂ = 60.0 cm、v₂ = 20.0 cm，m₂ = 1/3 ≈ 0.333（缩小实像）。两次放大率互为倒数，可作快速自检。

(3) 逐次回代：
第一次 1/20.0 + 1/60.0 = 3/60 + 1/60 = 4/60 = 1/15.0 → f = 15.0 cm ✓；
第二次 1/60.0 + 1/20.0 同上 ✓；
再用 f 公式反算：d² = L² − 4Lf = 6400 − 4×80.0×15.0 = 6400 − 4800 = 1600 → d = 40.0 cm ✓ 与题给一致。三路闭合。

(4) 条件：由 d² = L² − 4Lf ≥ 0 得 L ≥ 4f。L = 4f 时 d = 0，两个成像位置重合，只有一个像，无法测 d；L < 4f 时 d² < 0，无实位置能成清晰实像。故须 L > 4f。本题 4f = 60.0 cm < 80.0 cm ✓ 条件满足；若把物屏距缩到 50.0 cm，则无论怎么移动透镜都得不到两个清晰像。写出「由 d² ≥ 0 推出」比只背结论更稳。

答案　(1) 由光路可逆得两次物像距互换，联立得 f=(L²−d²)/(4L)；(2) f=15.0 cm，u₁/v₁=20.0/60.0 cm、m₁=3.0，u₂/v₂=60.0/20.0 cm、m₂=1/3；(3) 两次透镜公式与 d 反算三路一致；(4) d²=L²−4Lf≥0 ⇒ L>4f（本题 4f=60.0 cm）。

采分点　光路可逆与两次互换 2 分；联立求 u、v 2 分；推导 f 公式 2 分；f 数值 1 分；四个物像距各 0.5 分；两放大率 1 分；逐次回代 2 分；d 反算 1 分；L>4f 推导 2 分；本题条件核对 1 分。

易错点　推导时没有写出「两次物像距互换」，直接套公式；把 d 当成「像距之差」而非「透镜两位置之差」；把 f 公式记成 (L²−d²)/(2L)；放大率写成 u/v；忘记 L>4f 条件，或把 4f 算成 2f。

题2

题2 自准法、1/u–1/v 图与误差方向

承接题1。(1) 简述自准法的操作与读数，写出它给出的 f；(2) 由下表示意数据作 1/v–1/u 图，写出线性关系并求 f：

(3) 说明 L 读数偏大、d 读数偏小分别使 f 偏大还是偏小，并解释共轭法为什么比「逐次测 u、v」更准。

解析

(2) 线性化：由 1/u + 1/v = 1/f 得 1/v = 1/f − 1/u，即 1/v 对 1/u 是斜率为 −1、纵截距为 1/f 的直线。
把表中数据取倒数（单位 cm⁻¹）：

任意两点检验斜率：(0.0333−0.0167)/(0.0500−0.0333) 取绝对值 ≈ 1 ✓（取 (0.0167, 0.0500) 与 (0.0500, 0.0167)：Δ(1/v)/Δ(1/u) = −0.0333/0.0333 = −1）；截距 = 1/v + 1/u = 0.0167 + 0.0500 = 0.0667 cm⁻¹，故 f = 1/0.0667 ≈ 15.0 cm ✓ 与共轭法一致。中间点 u=v=30.0 cm 时 1/u=1/v=1/30，正是 2f 位置（u=v=2f=30.0 cm），可作独立校验。

(3) 误差方向，用 f = (L² − d²)/(4L) = L/4 − d²/(4L) 判断：
L 读数偏大：对 L 求增量，∂f/∂L = 1/4 + d²/(4L²) > 0，故 f 偏大。
d 读数偏小：∂f/∂d = −d/(2L) < 0，d 减小使 f 增大，故 f 也偏大。可用数值验：L=80.0、d=39.0 时 f = (6400−1521)/320 = 15.25 cm > 15.0 ✓；L=81.0、d=40.0 时 f = (6561−1600)/324 ≈ 15.31 cm > 15.0 ✓。
为什么更准：① 只需测 L（物屏固定距离）与 d（透镜两位置差），二者都是可直接量出的长度，不必确定透镜光心的精确位置，避开了逐次测 u、v 时的主要系统误差；② 两次成像互为共轭，放大率互为倒数，可自检；③ 用差值 d 而非绝对位置，刻度尺零点偏差被抵消一部分。写出「避开光心定位」这一句是采分核心。

答案　(1) 透镜后加平面镜，移到像与物等大倒立清晰，物距即 f=15.0 cm；(2) 1/v = 1/f − 1/u，斜率 −1、截距 0.0667 cm⁻¹ ⇒ f≈15.0 cm；(3) L 偏大与 d 偏小均使 f 偏大；共轭法只测 L、d，不需确定光心位置且可自检。

采分点　自准法三层判据各 1 分；f 读数 1 分；线性化公式 2 分；倒数表 1 分；斜率与截距各 1 分；f 数值 1 分；u=v=2f 校验 1 分；两项误差方向各 1 分；偏导数或数值验算 2 分；「避开光心定位」2 分；自检/零点理由 1 分。

易错点　自准法把平面镜放在透镜前侧；把「等大倒立」写成「等大正立」；线性化写成 1/v = 1/u + 1/f 导致斜率 +1；截距取成 f 而非 1/f；把 d 偏小判成 f 偏小（负号漏掉）；只答「更方便」不写避开光心定位。

三、规律小结与对照表

共轭法的价值不在公式本身，而在它把「测光心到物的距离」换成了「测两位置之差」：L 与 d 都是尺上直接读的长度，光心定位这一最大误差源被绕开了。算完用透镜公式逐次回代、用 u=v=2f 校验一次，再看 L>4f 是否满足，三步齐全就稳。本文距离、位置与放大率均为自编示意数据，全部经公式回代验证。

四、自测清单

• 推导先写「光路可逆 → 两次物像距互换」，别直接套公式
• 把 d 理解为透镜两位置之差，不是像距之差
• 算完用 1/u+1/v=1/f 逐次回代，并用 d²=L²−4Lf 反算
• 先查 L>4f；L=4f 时只有一个像，d=0
• 1/v–1/u 图斜率是 −1、截距是 1/f，别取成 f
• 误差题用偏导或代一组邻近数值判方向，别凭直觉