联招物理·电位差计补偿法测电动势与内阻

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

补偿法的全部秘密在一句：平衡时检流计指零，被测电池回路中没有电流。所以工作回路只在电阻丝上建立均匀的电位梯度 k（V/cm），被测电池不输出电流，平衡长度 L 对应的 kL 就是它的开路电动势，不掺入内阻压降。这与伏安法「一边取电流一边测端电压」根本不同。

三步固定：标准化（用已知标准电池 Es 平衡于长度 Ls，得 k = Es/Ls）→ 测 E（未知电池平衡长度 Lx，E = kLx）→ 测 r（外接已知负载 R，读带载平衡长度 Lr 得端电压 U = kLr，由 I = U/R、r = (E−U)/I 反推）。关键前提：工作电流在三次测量中保持不变，故测量顺序中途不得改动工作回路变阻器；工作电源电动势必须大于被测电动势，否则长端也无法平衡。下面数据为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1 标准化、测 E 与测 r（数值题）

自编示意实验：标准电池 Es = 1.0180 V，平衡长度 Ls = 50.90 cm；换接未知电池，平衡长度 Lx = 75.00 cm；再在该电池两端接 R = 9.50 Ω 的负载，重新平衡得 Lr = 71.25 cm。三次测量间工作回路未作调整，电阻丝均匀，接触电阻与检流计灵敏度影响忽略。
求：(1) 电位梯度 k；(2) 未知电池电动势 E；(3) 带载端电压 U、回路电流 I 与内阻 r；(4) 用 E = U + Ir 回代验证。

解析

(2) 测 E： E = k·Lx = 0.02000 × 75.00 = 1.5000 V。此值不掺内阻压降，因为平衡时被测回路电流为零。

(3) 带载： U = k·Lr = 0.02000 × 71.25 = 1.4250 V；
I = U / R = 1.4250 / 9.50 = 0.1500 A；
内阻压降 E − U = 1.5000 − 1.4250 = 0.0750 V，故 r = (E − U)/I = 0.0750 / 0.1500 = 0.500 Ω。
也可一步式 r = R(E/U − 1) = 9.50 × (1.5000/1.4250 − 1) = 9.50 × (1/19) ≈ 0.500 Ω ✓。

(4) 回代： U + I r = 1.4250 + 0.1500 × 0.500 = 1.4250 + 0.0750 = 1.5000 V = E ✓。另可反算 Lr：U = E·R/(R+r) = 1.5000×9.50/10.00 = 1.4250 V，Lr = U/k = 71.25 cm，与题给一致，三处闭合。

为什么这样测比伏安法干净： 测 E 那一步被测电池不输出电流，电压表内阻不再分流；测 r 那一步的电流由 U 与已知负载 R 算出，不依赖电流表读数，故两种表内阻引起的系统误差都不进入结果。

答案　(1) k = 0.02000 V/cm；(2) E = 1.5000 V；(3) U = 1.4250 V，I = 0.1500 A，r = 0.500 Ω；(4) U+Ir = 1.5000 V = E ✓。

采分点　k 的定义与数值 2 分；E = kLx 2 分；U、I 各 1 分；r 的两种算法各 1 分；回代闭合 1 分；说明「平衡时被测回路无电流、不引入表内阻误差」2 分。

易错点　把 Ls、Lx、Lr 混用，拿 Lx 去除 Es；误以为带载时平衡长度对应电动势（其实对应端电压）；把 I 算成 E/R 而非 U/R；忘记三次测量间工作电流须不变，中途调变阻器导致 k 失效；把 r 写成 (E−U)/E·R 一类量纲不对的式子。

题2

题2 偏差方向判定与条件辨析

(1) 若实验者把负载电阻误记为 10.00 Ω（实际仍为 9.50 Ω），按题1 的 U、E 重算 r，结果是多少？相对真值偏大还是偏小？
(2) 下列三种情形各会导致什么后果：① 工作电源电动势低于被测电池电动势；② 标准化后中途调小了工作回路变阻器；③ 把标准电池 Es 实际值 1.0200 V 误按 1.0180 V 计算。
(3) 为什么标准化要用标准电池而不能用普通电压表直接读工作电流？

解析

(2) ① 无法平衡：工作回路在电阻丝全长上的最大补偿电压 k·L总 小于被测 E，检流计始终单向偏转，找不到零点；必须换更高电动势的工作电源或降低工作电流分配比。
② k 变大，全部结果系统性偏大：调小工作回路变阻器使工作电流增大，电位梯度 k 上升，而标准化得到的旧 k 已失效；仍用旧 k 去乘 Lx、Lr，会把 E、U 一并高估。故标准化后严禁再动工作回路，若动了须重新标准化。
③ E 与 U 同比例偏小：按 1.0180 算得 k_used = 0.02000，真实应为 1.0200/50.90 ≈ 0.020039 V/cm，比值 1.0180/1.0200 ≈ 0.99804，故 E、U 均偏小约 0.196%；但 r = (E−U)/(U/R) = R(E/U − 1) 中 E/U 的比值不变，所以 r 几乎不受影响——这是补偿法一个值得记住的性质：整体标定误差对 r 的比值型结果抵消。

(3) 普通电压表测的是自身两端电压，且接入即分流、内阻有限，无法给出电阻丝上「每厘米多少伏」的绝对梯度；用电压表读工作电流还要知道电阻丝单位长度电阻与温度状态，误差链更长。标准电池提供的是已知且稳定的电动势，与一段可精确读出的平衡长度相配，直接把长度标定成电压，属于比较法/零示法，平衡时又不从标准电池取电流，故不损伤其电动势值。

答案　(1) r′ ≈ 0.5263 Ω，偏大约 +5.3%（R 记大→I 偏小→r 偏大）。(2) ① 全程无法平衡；② k 变大，仍用旧 k 使 E、U 系统性偏大，须重新标准化；③ E、U 各偏小约 0.196%，r 因 E/U 比值不变基本不受影响。(3) 标准电池＋平衡长度给出绝对电位梯度，零示不取电流，电压表分流且无法标定梯度。

采分点　(1) 数值与方向各 1 分；(2) 三情形各 2 分（现象 1 分＋原因 1 分）；(3) 零示不取电流 1 分、绝对梯度 1 分、电压表分流 1 分；指出 r 的比值抵消 1 分。

易错点　把「R 记大」的方向判成 r 偏小；②只答「结果不准」而不指出 k 已变且须重新标准化；③误以为 r 也同比例偏小，忽略 E/U 的比值抵消；把①答成「换更灵敏检流计即可」（灵敏度只影响零点分辨，不改变补偿电压上限）。

三、规律小结与对照表

补偿法把「测电压」变成了「量长度」：先用标准电池把电阻丝标成一把电压尺，再用平衡长度读数。三条纪律要记牢——标准化后不动工作回路、带载平衡长度读的是端电压而非电动势、电流由 U/R 算而非 E/R。最后一定做一次 U + I r = E 的回代，闭合了才算数。本文电池参数、电阻与长度均为自编示意数值，不代表任何真实器件规格。

四、自测清单

• □ 先算 k = Es/Ls，写清单位 V/cm；
• □ 标准化后不再调工作回路变阻器，动了就重新标准化；
• □ 开路平衡长度 → E；带载平衡长度 → U，两者不混；
• □ I = U/R（不是 E/R），r = (E−U)/I 或 R(E/U−1)；
• □ 做一次 U+Ir=E 回代，并反算 Lr 与题给比对；
• □ 偏差题先判「哪个量被改了、沿哪条式子传导」，再定方向。