联招物理·毛细上升法测液体表面张力系数

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

毛细管内液柱静止时，表面张力沿管周竖直分量与液柱重力平衡：2πr·σcosθ = ρg·πr²h，化简得 h = 2σcosθ/(ρgr)。三个前提写清：① 管径须用半径 r，不是直径；② h 是管内液面相对外部自由液面的高度差，不是液面到管底的总长度；③ 完全润湿时 cosθ ≈ 1，接触角不为零必须保留 cosθ。

单管法的麻烦在于零点读数：外部液面位置、管插入深度、刻度零线常带来一个固定偏移 δ。两根不同内径的管同时插入同一液体，各自 h = 2σ/(ρg r) + δ（δ 相同），相减即消掉 δ：σ = ρg·Δh / [2(1/r₁ − 1/r₂)]。下面 σ、ρ、r、h 均为自编示意取值。

二、逐题精讲

题1

题1 单管反算与双管差值法（数值题）

自编示意：某液体（示意取 σ = 0.0720 N/m、ρ = 1000 kg/m³），g = 9.80 m/s²，完全润湿 cosθ = 1。
(1) 用内半径 r₁ = 0.250 mm 的毛细管，求理论上升高度 h₁；(2) 实测读得 h₁ = 58.8 mm，反算 σ；(3) 另用 r₂ = 0.400 mm 的管，求 h₂ 与两管高度差 Δh，并用双管差值法由 Δh 反算 σ；(4) 两路结果是否一致？写出闭合关系。

解析

(2) 反算： σ = h₁ρ g r₁ / 2 = 0.0588×1000×9.80×2.50×10⁻⁴ / 2 = 0.0588×2.450/2 = 0.07203 N/m（≈ 0.0720 ✓ 回代成立）。

(3) 第二根管： h₂ = 2σ/(ρ g r₂) = 0.1440 / (1000×9.80×4.00×10⁻⁴) = 0.1440 / 3.920 = 0.03673 m = 36.7 mm。
Δh = h₁ − h₂ = 58.8 − 36.7 = 22.1 mm = 0.0221 m。
1/r₁ = 1/2.50×10⁻⁴ = 4000 m⁻¹；1/r₂ = 1/4.00×10⁻⁴ = 2500 m⁻¹；差 = 1500 m⁻¹。
双管法：σ = ρ g Δh / [2(1/r₁ − 1/r₂)] = 1000×9.80×0.0221 / (2×1500) = 216.6 / 3000 = 0.07219 N/m ≈ 0.0720 ✓（因 h 取三位有效数字产生约 0.3% 舍入差）。

(4) 一致，闭合关系： 由 h_i = 2σ/(ρgr_i) 得 Δh = (2σ/ρg)(1/r₁ − 1/r₂)，把 σ = 0.0720 代入：Δh = (0.1440/9800)×1500 = 1.4694×10⁻⁵×1500 = 0.02204 m = 22.04 mm，与题给 58.8 − 36.7 = 22.1 mm 在有效数字内一致 ✓。也可把反算的 σ 代回第二根管理论高度：2×0.07203/(9800×4.00×10⁻⁴) = 0.03674 m = 36.7 mm ✓ 三处闭合。

双管法为什么更稳： 若两管读数都含同一零点偏移 δ，则 h₁测 = h₁ + δ、h₂测 = h₂ + δ，相减时 δ 抵消，故 Δh 不受零线误差影响；单管法却会把 δ 全额带进 σ。另可顺带注意 σ ∝ h·r：r 用错（拿直径当半径）会使 σ 差 2 倍。

答案　(1) h₁=58.8 mm；(2) σ=0.07203 N/m；(3) h₂=36.7 mm，Δh=22.1 mm，双管法 σ=0.07219 N/m；(4) 两路一致，Δh=(2σ/ρg)(1/r₁−1/r₂)=22.04 mm 在有效数字内闭合，且反算 σ 代回 h₂=36.7 mm ✓。

采分点　四问各 2 分；公式中 r 为半径、cosθ=1 的前提各 1 分；Δh 的闭合关系 1 分；双管消零点偏移 δ 的说明 2 分；「直径当半径差 2 倍」1 分。

易错点　把 r 当成直径代入（σ 差 2 倍）；把 h 写成液面到管底总长度而非内外液面差；忘记 cosθ（非完全润湿时结果偏大）；双管法把 1/r₁−1/r₂ 写成 r₂−r₁；Δh 用两位有效数字硬算导致误差被放大；单管与双管结果略有差异就以为算错，不检查舍入。

题2

题2 误差方向与条件辨析

(1) 若 h₁ 读数偏低 1.0 mm（实际 58.8 mm，读成 57.8 mm），单管法算出的 σ 是多少？相对误差多大、方向如何？若管半径标称值偏大 2%（实际更小），σ 又偏大还是偏小？
(2) 说明三种情形各带来什么后果：① 液体不润湿管壁（θ > 90°）；② 毛细管内径沿高度不均匀；③ 两管插入同一液体但各自零点偏移不同（δ₁ ≠ δ₂）。
(3) 为什么单管法要用读数显微镜测内外液面差，而不能只量管内液柱长度？

解析

(2) ① θ > 90° 时 cosθ < 0，公式给出 h < 0，即管内液面下降（毛细下降），而非上升；此时若仍按 cosθ=1 处理，会把「下降量」当「上升量」，σ 的正负与量级全错。实验须先确认润湿性，或独立测 θ 并保留 cosθ。
② 内径不均匀使 h = 2σ/(ρgr) 中的 r 不再是常数：液面停在某一局部半径处，读数对应的是该处半径而非标称平均半径；双管差值法的 (1/r₁ − 1/r₂) 也随之失真。应选用内径均匀、经标定的毛细管，或在液面所在位置实测内径。
③ δ₁ ≠ δ₂ 时双管法的抵消前提被破坏：Δh测 = (h₁+δ₁) − (h₂+δ₂) = Δh真 + (δ₁−δ₂)，残留偏差 (δ₁−δ₂) 直接进入 σ，且因除以 (1/r₁−1/r₂) 被放大。故两管须共用同一外液面基准、同一次调零，最好固定在同一支架上同次读数。

(3) 公式里的 h 是管内凹液面最低点相对外部自由液面的高度差，不是管内液柱本身的长度：管插入液面以下的那一截液柱并不参与「表面张力竖直分量 vs 液柱重力」的平衡关系（其重力由外部液体静压支撑）。只量管内液柱长度，会把插入深度一并计入，且插入深度随操作变化，带来不可控的系统偏差；此外管内液面是弯月面，须以读数显微镜对准凹液面最低点并同时读出外部平液面位置，两者相减才得 h。这也正是双管法要共用同一外液面基准的原因。

答案　(1) h 偏低 1.0 mm → σ=0.07081 N/m，约 −1.7%（偏小）；r 标称偏大 2% → σ 偏大约 +2%。(2) ① θ>90° 为毛细下降，cosθ<0，按 cosθ=1 处理全错；② 内径不均使 r 非常数、局部半径决定 h，双管差值失真；③ δ₁≠δ₂ 使抵消失效，残留 (δ₁−δ₂) 被放大，须同基准同次调零。(3) h 须是内外液面差，插入段不参与平衡，且弯月面须对准最低点。

采分点　(1) 两个数值与两个方向各 1 分、相对误差与 1/58.8 互验 1 分；(2) 三情形各 2 分（现象＋原因）；(3) 「内外液面差」1 分、插入段不参与平衡 1 分、弯月面最低点 1 分。

易错点　把 h 偏低判成 σ 偏大；把 r 偏大判成 σ 偏小；θ>90° 时仍写 h>0；以为双管法在任何零点偏差下都能抵消；把「液柱长度」当 h；忽略弯月面读数应取凹液面最低点。

三、规律小结与对照表

毛细法收尾记三句：r 是半径、h 是内外液面差、Δh 用两根管消零点。误差方向分开记——h 读低拉低 σ，r 标高抬高 σ；接触角一旦不为零，cosθ 必须留在式子里，θ>90° 更是直接变成毛细下降。双管法能抵消的前提是「两管共用同一外液面基准、同一次调零」，δ₁≠δ₂ 就失效。最后把反算的 σ 代回 h₁、h₂ 各验一次，闭合了才算数。本文表面张力、密度、管径与高度均为自编示意取值，不代表任何真实液体参数。

四、自测清单

• □ 写清 h = 2σcosθ/(ρgr)，检查 r 是半径、cosθ 是否可取 1；
• □ h 取内外液面差（弯月面最低点对外平液面），不量液柱总长；
• □ 单管反算 σ=hρgr/2，并代回原高度闭合；
• □ 双管法用 Δh 与 (1/r₁−1/r₂)，写明 δ 相同才抵消；
• □ 误差题分判 h 与 r 两个方向，并用相对误差互验；
• □ 非完全润湿保留 cosθ，θ>90° 改判毛细下降。