题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
求通项不靠猜，靠把递推式改成「某个新数列是等差/等比」。看三类：
① a_{n+1} = p a_n + q（p≠1）：找不动点 L 满足 L = pL + q，则 a_n − L 是公比 p 的等比数列；
② 分式型（如 a_{n+1} = a_n/(c a_n + d)）：取倒数 b_n = 1/a_n，常化为 b_{n+1} = p b_n + q；
③ a_{n+1} − a_n = f(n)：直接累加，注意求和上限是 n−1 不是 n。
每求出一个通项，必做两件事：代回原递推式验前三项、检查 n=1 是否满足（累加/累乘型尤其容易在起点差一项）。下面四组首项与系数均为自编示意取值。
二、逐题精讲
题1
题1 一阶线性与分式递推（两解互验）
自编四组递推（n ≥ 1）：
① a₁ = 1，a_{n+1} = 2a_n + 3；
② a₁ = 1，a_{n+1} = a_n/(a_n + 2)；
③ a₁ = 2，a_{n+1} = a_n + 2n；
④ a₁ = 3，a_{n+1} = 3a_n − 4。
(1) 分别求四组通项；(2) 每组用「另一种推导」或「前三项回代」独立验证；(3) 指出①与④的不动点各是多少，并说明它怎样决定构造方向。
解析
① 构造等比： 设 a_{n+1} + c = 2(a_n + c)，展开得 a_{n+1} = 2a_n + c，对照 a_{n+1}=2a_n+3 得 c = 3。故 {a_n + 3} 是首项 a₁+3 = 4、公比 2 的等比数列：a_n + 3 = 4·2^{n−1} = 2^{n+1} → a_n = 2^{n+1} − 3。
验证： a₁ = 4−3 = 1 ✓；a₂ = 8−3 = 5 = 2×1+3 ✓；a₃ = 16−3 = 13 = 2×5+3 ✓。另用不动点：L = 2L+3 → L = −3，a_n − (−3) = a_n+3 正是等比 ✓。
② 取倒数： 令 b_n = 1/a_n，则 b_{n+1} = (a_n+2)/a_n = 1 + 2b_n → b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)。
{b_n + 1} 首项 b₁+1 = 2、公比 2 → b_n + 1 = 2^n → b_n = 2^n − 1 → a_n = 1/(2^n − 1)。
验证： a₁ = 1/(2−1)=1 ✓；a₂ = 1/3，而 1/(1+2)=1/3 ✓；a₃ = 1/7，而 (1/3)/(1/3+2) = (1/3)/(7/3) = 1/7 ✓。另可由 b₃ = 1+2b₂ = 1+2×3 = 7 反得 a₃ = 1/7 ✓ 两路一致。
③ 累加： a_n = a₁ + Σ_{k=1}^{n−1} 2k = 2 + 2·(n−1)n/2 = 2 + n(n−1) = n² − n + 2。
验证： a₁ = 1−1+2 = 2 ✓；a₂ = 4−2+2 = 4 = 2+2×1 ✓；a₃ = 9−3+2 = 8 = 4+2×2 ✓。关口：求和到 n−1；若误写到 n 会得 n²+n+2，a₂ 变 8，与递推矛盾。
④ 构造等比： 设 a_{n+1} − c = 3(a_n − c) → a_{n+1} = 3a_n − 2c，对照 −2c = −4 得 c = 2。
{a_n − 2} 首项 3−2 = 1、公比 3 → a_n − 2 = 3^{n−1} → a_n = 3^{n−1} + 2。
验证： a₁ = 1+2 = 3 ✓；a₂ = 3+2 = 5 = 3×3−4 ✓；a₃ = 9+2 = 11 = 3×5−4 ✓；不动点 L = 3L−4 → L = 2，a_n − L = a_n − 2 正是等比 ✓。
(3) 不动点： ① L = −3；④ L = 2。它给出的正是要平移的量：解 L = pL + q，则 a_{n+1} − L = p(a_n − L)，新数列 {a_n − L} 为等比。① 的 L 为负，故写成 a_n + 3；④ 的 L 为正，写成 a_n − 2。不必死记「加 c 还是减 c」，解方程即可。
答案 ① a_n=2^{n+1}−3（L=−3）；② a_n=1/(2^n−1)；③ a_n=n²−n+2；④ a_n=3^{n−1}+2（L=2）。四组前三项回代均成立，①与④由不动点 L=pL+q 决定平移量。
采分点 四组通项各 2 分；每组前三项回代各 1 分；②取倒数后的线性化 1 分；③求和上限 n−1 的说明 1 分；两个不动点及「a_n−L 成等比」各 1 分。
易错点 ①凑常数时符号弄反（写成 a_{n+1}−3=2(a_n−3)）；②取倒数后把 b_{n+1}=1+2b_n 误写成 2+b_n；③累加求和写到 n 而非 n−1；④把 c 解成 −2；任何一组不验 n=1 就收笔。
题2
题2 分式一般型与累加变体（两解互验）
(1) 自编：a₁ = 2，a_{n+1} = 2a_n/(a_n + 1)。用取倒数法求通项，并用「不动点 + 前三项回代」另一路验证。
(2) 自编：b₁ = 1，b_{n+1} = b_n + 3ⁿ（n ≥ 1）。求通项；再用 b₄ 的逐项递推值与公式值对照。
(3) 说明：为什么「取倒数」对 a_{n+1} = a_n/(a_n+2) 有效，却对 a_{n+1} = a_n² + 1 无效？
解析
(1) 取倒数： 令 c_n = 1/a_n，则 c_{n+1} = (a_n+1)/(2a_n) = 1/2 + (1/2)c_n → c_{n+1} − 1 = (1/2)(c_n − 1)。{c_n − 1} 首项 c₁ − 1 = 1/2 − 1 = −1/2、公比 1/2 → c_n − 1 = (−1/2)(1/2)^{n−1} = −(1/2)^n → c_n = 1 − 2^{−n} = (2^n − 1)/2^n → a_n = 2^n/(2^n − 1)。
另路（不动点）： 解 L = 2L/(L+1) → L(L+1)=2L → L² − L = 0 → L = 0 或 L = 1。取非零不动点 L=1，考察 a_n − 1：a_{n+1} − 1 = (2a_n − a_n − 1)/(a_n+1) = (a_n−1)/(a_n+1)；再对 1/(a_n−1) 线性化亦可，结论同式。
前三项回代： a₁ = 2/1 = 2 ✓；a₂ = 4/3，而 2×2/(2+1) = 4/3 ✓；a₃ = 8/7，而 2×(4/3)/(4/3+1) = (8/3)/(7/3) = 8/7 ✓。且 a_n → 1（趋于不动点 L=1），与「a_n>1 且递减」定性一致 ✓ 两路互验。
(2) 累加： b_n = b₁ + Σ_{k=1}^{n−1} 3^k = 1 + (3(3^{n−1} − 1)/(3−1)) = 1 + (3^n − 3)/2 = (3^n − 1)/2。
逐项对照： b₂ = 1+3 = 4，公式 (9−1)/2 = 4 ✓；b₃ = 4+9 = 13，公式 (27−1)/2 = 13 ✓；b₄ = 13+27 = 40，公式 (81−1)/2 = 40 ✓。等比数列求和上限同样是 n−1，写成 n 会在 n=1 处多出一项。
(3) 有效性判据： 取倒数之所以奏效，是因为 a_{n+1} = a_n/(c a_n + d) 这类分式一次型取倒数后得 1/a_{n+1} = c + (d/a_n) = d·(1/a_n) + c，即关于 1/a_n 的一阶线性式，可继续用构造等比求解。
而 a_{n+1} = a_n² + 1 取倒数得 1/a_{n+1} = 1/(a_n²+1) = 1/((1/c_n)²+1) = c_n²/(1+c_n²)，仍是 c_n 的非线性（二次有理）式，没有化成线性递推，故取倒数无效。判据一句话：变换后是否变成「新数列的一阶线性递推」；不是，就换别的手法（本题不展开）。这也说明「找不变量」比「背套路」更可靠。
答案 (1) a_n=2^n/(2^n−1)，前三项 2、4/3、8/7 回代成立，不动点 L=1 且 a_n→1；(2) b_n=(3^n−1)/2，b₂/b₃/b₄ = 4/13/40 与逐项递推一致；(3) 分式一次型取倒数后是 1/a_n 的一阶线性式，a_n²+1 取倒数仍为二次有理式，未线性化故无效。
采分点 (1) 取倒数线性化与通项各 2 分、不动点 1 分、前三项回代 1 分、极限方向 1 分；(2) 求和式与通项各 1 分、b₄ 对照 1 分；(3) 「是否化为一阶线性」判据 2 分、二次有理式说明 1 分。
易错点 (1) 把 c_{n+1} 算成 1 + c_n/2（系数错位）；不动点解漏掉 L=1；(2) 等比求和上限写成 n；(3) 只答「因为有平方」而不点明「变换后是否线性」这一判据；任何一问不验 n=1。
三、规律小结与对照表
| 递推型 | 自编示例 | 变换手法 | 通项 | 不动点/关口 |
|---|---|---|---|---|
| a(n+1)=p a+q | a(n+1)=2a+3 | 凑 a+3 成等比 | 2^{n+1}−3 | L=−3，a_n−L 成等比 |
| 分式一次型 | a(n+1)=a/(a+2) | 取倒数 b=1/a | 1/(2^n−1) | b(n+1)=1+2b |
| 差式累加 | a(n+1)=a+2n | Σ 至 n−1 | n²−n+2 | 上限 n−1，非 n |
| p a+q（正不动点） | a(n+1)=3a−4 | 凑 a−2 成等比 | 3^{n−1}+2 | L=2 |
| 分式一般型 | a(n+1)=2a/(a+1) | 取倒数＋线性化 | 2^n/(2^n−1) | L=1，a_n→1 |
| 等比差累加 | b(n+1)=b+3ⁿ | 等比求和 | (3^n−1)/2 | 验 b₄=40 |
| 非线性（无效） | a(n+1)=a²+1 | 取倒数仍非线性 | — | 变换后须为一阶线性 |
求通项只做一件事：找一个能变成等差/等比的新数列。一阶线性解 L = pL+q 取 a_n−L；分式一次型取倒数；差式累加记得上限是 n−1。每求出一式，必代回原递推验前三项、并单独验 n=1——绝大多数错都出在起点与求和上限。「取倒数为什么对、什么时候不对」也别背，看变换后是不是一阶线性即可。本文四组首项与系数均为自编示意取值，与任何真实题目无关。
四、自测清单
- □ 先判递推型：一阶线性 / 分式一次 / 差式 / 非线性；
- □ 一阶线性的不动点由 L=pL+q 解出，平移量不必死记；
- □ 取倒数后必须化成一阶线性，否则换手法；
- □ 累加/等比求和的上限是 n−1，逐项写出再化简；
- □ 通项必代回原递推验 a₁、a₂、a₃，尤其单独验 n=1；
- □ 有不动点时顺便看单调与极限方向，作定性互验。
