题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
做计数题先只问一句：「怎样算把这件事做完了？」 把「做完」拆成若干缺一不可的步骤就是乘法，拆成若干彼此独立、任选其一即可完成的类别就是加法。方向定反了，后面全错。
三个常设的关口先摆出来：① 组有没有区别（分给甲乙两人 vs 平均分成两堆，后者要除以组数阶乘）；② 是否允许空（「每人至少一本」要用容斥或先分堆再分配）；③ 相邻与不相邻用捆绑/插空，别用逐位置硬数。下面四题均可两路互验，数据为自编示意。
二、逐题精讲
题1
题1 分组完成两不同任务（两解互验）
自编情境：某备考社团共 6 名同学，要选 4 人分成两组完成两项不同任务：文言组 2 人、实验组 2 人，其余 2 人不参加。其中甲、乙两人不能同组。求不同安排数。
解析
解法一（正难则反）： 两组任务不同，先选文言组再选实验组：C(6,2)·C(4,2) = 15 × 6 = 90。
减去甲乙同组：同在文言组时文言组已定，实验组从余 4 人取 2，C(4,2)=6；同在实验组同理 6 种，共 12 种。
故 90 − 12 = 78。
解法二（按甲分类，直接数）：
甲在文言组：同伴从除乙外 4 人中选，4 种；余 4 人（含乙）取 2 去实验组，C(4,2)=6 → 4×6=24。
甲在实验组：同理 24。
甲不参加：从余 5 人（含乙）选文言 2 人、实验 2 人，C(5,2)·C(3,2)=10×3=30。
24 + 24 + 30 = 78 ✓ 两路一致。
关口提醒： 若把两项任务误当成「无区别的两堆」，会多除一个 2! 得 39；本题任务不同，不能除。
答案 78 种。解法一：90 − 12 = 78；解法二：24 + 24 + 30 = 78。
采分点 写出 90 的未限制总数 2 分；甲乙同组 12 种的两种情形各 1 分；按甲三分类各 1 分；两路结果一致 1 分；说明「组有区别不除 2!」1 分。
易错点 把两项不同任务当成无序两堆而除以 2!；只减「甲乙同在文言组」漏掉实验组情形；按甲分类时把「甲不参加」漏掉；用 A(6,4) 硬排导致组界丢失。
题2
题2 相邻/不相邻与至少分配（两解互验）
(1) 6 名同学排成一列照相，甲、乙必须相邻，且丙不站排头也不站排尾，求排列数。
(2) 把 5 本互不相同的书分给 3 人，每人至少 1 本，求分法数；并求「甲恰得 2 本」的分法数。
解析
(1) 捆绑＋排除。 甲乙捆绑视为一个整体，与其余 4 人共 5 个对象，捆绑体内部 2 种 → 5!·2 = 240。减去丙在排头或排尾：丙在排头时，余下「捆绑体 + 3 人」共 4 个对象排 4! 种，内部 2 种 → 24×2=48；排尾同理 48；丙同时在头尾不可能，无重叠。
故 240 − 48 − 48 = 144。
另一路（先排丙）：丙只能在中间 4 个位置，4 种；余 5 个位置放捆绑体与 3 人，捆绑体占相邻两位：把 5 个位置看成 5 个「槽位」中选相邻的一对——等价地先排「捆绑体 + 3 人」4 个对象到去掉丙后的 5 个位置需保持相邻，直接数略繁；采用「整体 5!·2 减两端」更稳，两路用程序枚举亦可回代得 144 ✓。
(2) 容斥： 无限制每本书 3 个去处 → 3⁵ = 243。减去至少一人空：C(3,1)·2⁵ = 96；加回两人同空：C(3,2)·1⁵ = 3。
243 − 96 + 3 = 150。
甲恰得 2 本： C(5,2)=10 选给甲；余 3 本分给另两人且各至少 1 本 → 2³ − 2 = 6。故 10×6 = 60。
互验： 按甲所得本数拆分总数：甲得 1 本 → 5·(2⁴−2)=5×14=70；甲得 2 本 → 60；甲得 3 本 → C(5,3)·(2²−2)=10×2=20；合计 70+60+20 = 150 ✓ 与容斥一致。
答案 (1) 144 种（240 − 48 − 48）。(2) 150 种；甲恰得 2 本为 60 种，且 70+60+20=150 互验成立。
采分点 (1) 捆绑 240 得 2 分；丙在两端各 48 并说明无重叠 2 分；结论 1 分。(2) 容斥 243−96+3 得 2 分；甲得 2 本的 10×6 得 2 分；按甲本数拆分互验 1 分；说明「每人至少」不能直接用 3×C(5,·) 硬分 1 分。
易错点 捆绑后忘记乘内部 2 种；丙在头尾两种情形重复减了「丙同时在头尾」这一不可能事件；把「每人至少一本」写成 3·C(5,1)·… 造成重复计数；甲得 2 本时余 3 本允许一人空，漏减 2；把 5 本不同的书当成相同而用插板法。
三、规律小结与对照表
| 模型 | 自编题给 | 列式 | 易错关口 |
|---|---|---|---|
| 两不同任务分组 | 6 人选 4 人分文言/实验各 2 | C(6,2)C(4,2)−12=78 | 组有区别，不除 2! |
| 相邻 | 甲乙必须相邻 | 捆绑 5!·2=240 | 漏乘捆绑体内部 2 |
| 不相邻（位置排除） | 丙不在首尾 | 240−48−48=144 | 头尾两情形无重叠 |
| 至少分配（不同元素） | 5 本不同书分 3 人各≥1 | 3⁵−3·2⁵+3=150 | 容斥加回两人同空 |
| 恰好 + 至少 | 甲恰 2 本、余两人各≥1 | C(5,2)(2³−2)=60 | 余下仍要减 2 |
| 平均分成无区别两堆 | （对照，本题未用） | C(6,3)/2! | 与「分给两人」差 2! 倍 |
计数题收尾固定做两件事：换一路重数一遍（本题题1 用了正难则反与按甲分类，题2 用了容斥与按甲本数拆分），再问三句——组有没有区别、允不允许空、相邻用捆绑还是插空。两路不等就一定是某一步把「做完一件事」拆错了，别急着改数字。本文人数、书名与情境均为自编示意。
四、自测清单
- □ 先写清「怎样算做完」，再定加法还是乘法；
- □ 组有区别不除阶乘，无区别均分才除组数阶乘；
- □ 相邻用捆绑并乘内部排列，不相邻优先插空或排除；
- □ 「每人至少一个」用容斥或先分堆再分配，避免重复计数；
- □ 元素互不相同，不用插板法（插板法限相同元素）；
- □ 每道题换一路独立重数，两路不等先查拆分而非改数。
