联招物理·光栅衍射法测光波波长与光栅常数

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

光栅方程只有一行：d sinθ = kλ（垂直入射，d 为光栅常数，k 为级次）。它给出三件常用结论：① 由已知 d 与测得的 θ 求 λ；② 由 sinθ ≤ 1 得最高级次 k_max = ⌊d/λ⌋；③ 同一 λ 的 ±k 级在零级两侧对称，取两侧角位置之差的一半作 θ，可抵消刻度盘零点/偏心误差——这正是「读 +k 与 −k 两处」而不是只读一侧的原因。

两个前提要写清：入射须垂直光栅面（否则方程要加入射角项），θ 是衍射角不是屏上位移，屏距 L 换算用 x = L·tanθ 而非 L·θ 或 L·sinθ。下面 d、λ、L 均为自编示意取值。

二、逐题精讲

题1

题1 各级衍射角、最高级次与反算波长（数值题）

自编示意：每毫米 500 线的光栅（d = 1/500 mm = 2000 nm），单色示意波长 λ = 600.0 nm，垂直入射；屏距 L = 1.000 m。
(1) 求 k = 1、2、3 级衍射角 θ（用 arcsin，保留两位小数）；(2) 求最高可见级次 k_max，并说明 k = 4 为何不存在；(3) 求 ±1 级在屏上的间距；(4) 若分光计读得 +1 级 θ₊ = 17.50°、−1 级 |θ₋| = 17.30°（零点偏心），取对称值反算 λ，并与真值比较。

解析

(2) 由 sinθ ≤ 1 得 k ≤ d/λ = 2000/600.0 = 3.333…，故 k_max = 3。k = 4 时 sinθ = 4×0.300 = 1.200 > 1，无实数角，故不存在；注意 d/λ 非整数时向下取整，不能四舍五入成 3 之外的值。

(3) x₁ = L·tanθ₁ = 1.000 × tan 17.46° = 1.000 × 0.3145 = 0.3145 m；±1 级对称分居零级两侧，间距 2x₁ = 0.6291 m。若误用 x ≈ L·sinθ 会得 0.3000 m、误用 L·θ（弧度）得 0.3047 m，都偏小——这正是「用 tan 而非 sin/θ」的判分点。

(4) 对称消偏心： θ = (θ₊ + |θ₋|)/2 = (17.50° + 17.30°)/2 = 17.40°；
λ_测 = d·sinθ / k = 2000 × sin 17.40° = 2000 × 0.29904 = 598.1 nm（k=1）。
相对真值 600.0 nm 偏小 (598.1−600.0)/600.0 ≈ −0.32%。
为什么必须取两侧： 若存在零点偏心 e，单侧读数为 θ+e 与 θ−e，平均后 e 抵消；只用 +1 级 17.50° 会算得 λ = 2000×sin17.50° = 601.5 nm（偏大 +0.25%），只用 −1 级 17.30° 得 594.7 nm（偏小 −0.88%），两者都带系统偏差，而平均把偏差压到只剩读数不对称的残余。

答案　(1) θ₁=17.46°、θ₂=36.87°、θ₃=64.16°；(2) k_max=3，k=4 时 sinθ=1.2>1；(3) 间距 2Ltanθ₁≈0.6291 m；(4) 对称角 17.40°，λ测≈598.1 nm，偏小约 0.32%；单侧读数分别得 601.5/594.7 nm，均带偏心。

采分点　三级角度各 1 分；k_max 与 k=4 的理由各 1 分；屏上间距及「用 tan」说明各 1 分；对称平均 2 分；λ测数值与相对偏差各 1 分；单侧两种结果对比 1 分。

易错点　把 sinθ 直接当 θ（弧度或度数）代入；把 d/λ=3.33 四舍五入成 k_max=4；用 x=L·sinθ 或 L·θ 代替 L·tanθ；只读 +1 级不做对称；把 ±1 级间距写成 x₁（漏乘 2）；偏心题里把两角相减而非相加取半。

题2

题2 白光同级光谱、级次重叠与条件辨析

自编示意：仍用 d = 2000 nm 的光栅，改用示意白光（波长范围 400.0 ~ 700.0 nm）垂直入射。
(1) 求 k = 1 与 k = 2 级中紫端（400.0 nm）与红端（700.0 nm）的衍射角；(2) 判断一级与二级光谱是否发生重叠，写出判据；(3) 说明「入射不垂直」「把光栅刻线数当成 d」「用单侧读数」三种情形各带来什么后果。

解析

(2) 结论：一级与二级不重叠，二级与三级重叠。 判据是拿第 k 级的红端角与第 (k+1) 级的紫端角比较：若 (k+1) 级紫端角小于 k 级红端角，两级才交叠。
一级占 [11.54°, 20.49°]，二级占 [23.58°, 44.43°]：二级紫端 23.58° 大于一级红端 20.49°，中间还留一段空隙，故不重叠。
再看二级与三级：三级紫端 sinθ = 3×400/2000 = 0.600 → 36.87°，而二级红端 44.43°，36.87° < 44.43°，故重叠，交叠区在 36.87°~44.43° 之间。
答题须把比较对象写对，不能凭「级次多了肯定重叠」的印象直接判一级二级重叠——这恰是本题最想拦下的一处。
（等价的代数判据：k 级红端 sinθ = k·700/d，(k+1) 级紫端 sinθ = (k+1)·400/d；重叠条件 (k+1)·400 < k·700，即 400k + 400 < 700k → k > 400/300 ≈ 1.33，故 k ≥ 2 起与下一级重叠 ✓ 与角度计算一致。）

(3) ① 入射不垂直：方程变为 d(sinθ ± sin i) = kλ（符号依入射方向），仍按 d sinθ = kλ 处理会给出系统性偏大或偏小的 λ，且 ±k 级不再对称，对称消偏心失效；须先调分光计使入射垂直。
② 把刻线数当成 d：「每毫米 500 线」是线密度，d 是其倒数 1/500 mm = 2000 nm；直接拿 500 代入会使 d 小 10⁶ 量级、λ 算得完全失真，且量纲不对（须带长度单位）。
③ 只用单侧读数：零点/刻度盘偏心 e 无法抵消，θ 带固定偏差；由 λ = d sinθ/k 可知 λ 同向偏差，且± 两侧分别偏大与偏小（见题1 第 4 问 601.5 / 594.7 nm）。

答案　(1) 一级 11.54°/20.49°（紫/红），二级 23.58°/44.43°；(2) 一级与二级不重叠（23.58°>20.49°），二级与三级重叠（三级紫端 36.87°<二级红端 44.43°）；代数判据 (k+1)·400<k·700 → k≥2；(3) 入射不垂直使方程加 sin i 且 ±k 不对称；线密度须取倒数得 d；单侧读数无法消偏心，λ 带系统偏差。

采分点　四个角度各 1 分；(2) 两级比较与正确结论各 1 分、代数判据 1 分、指出「一级与二级不重叠」防印象判断 1 分；(3) 三情形各 2 分（现象＋原因）。

易错点　凭「级次多必重叠」直接答一级二级重叠；把比较对象搞反（拿 k+1 级红端比 k 级紫端）；把线密度 500 当 d 代入；把 sinθ≤1 的最高级次判据误用于白光（白光不同波长 k_max 不同：红端 d/700≈2.86→2，紫端 d/400=5）；忽略入射垂直这一前提。

三、规律小结与对照表

光栅题收尾记三句：d 是线密度的倒数、θ 由 arcsin 得而屏上位移用 tan、±k 级取平均消偏心。白光情形别凭印象判重叠，老老实实比较「k 级红端」与「(k+1) 级紫端」；不同波长的 k_max 还各不相同。最后把反算的 λ 代回 d sinθ = kλ 看是否回到原角度，闭合了才算数。本文光栅常数、波长与屏距均为自编示意取值，不代表任何真实器件规格。

四、自测清单

• □ 先把「每毫米 N 线」取倒数换算成 d，并统一长度单位；
• □ 用 sinθ=kλ/d 与 arcsin 求角，别把 sinθ 当角度；
• □ k_max=⌊d/λ⌋ 向下取整，白光按各波长分别判；
• □ 屏上位移 x=L·tanθ，±1 级间距记得乘 2；
• □ 读 +k 与 −k 两处取平均，写明消掉的是零点/偏心；
• □ 重叠判据用「k 级红端 vs (k+1) 级紫端」，并把结果代回原式验算。