联招物理·实验题：单摆测重力加速度与摆长、角度修正

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

把 T = 2π√(L/g) 两边平方得 T² = (4π²/g)·L：以 T² 为纵轴、L 为横轴，斜率 k = 4π²/g，于是 g = 4π²/k。这一步线性化有两个好处：不必逐组算 g 再平均，且截距能直接暴露摆长是否量错零点。

本实验的摆长 L 是悬点到球心的距离：L = 线长 ℓ + 球半径 r。若只用线长当摆长，真实关系是 T² = (4π²/g)(ℓ + r) = kℓ + kr：斜率不变、截距为正，所以用斜率求出的 g 仍然正确，这是常被考到的一条。下表为自编示意数据，每组测 30 个全振动的时间 t（单位 s），摆长 ℓ 已按线长记录。

二、逐题精讲

题1

题1 由 T²–ℓ 图求 g，并由截距反推球半径

自编示意数据（测 30 个全振动）：

ℓ / m：0.400　0.600　0.800　1.000　1.200
t / s：38.08　46.64　53.86　60.21　65.96

(1) 计算各组的 T = t/30 与 T²，用首尾两组求斜率 k 并算出 g（取 4π² = 39.4784）。(2) 用最小二乘思想求拟合截距 b，并从 b 反推被漏加的小球半径 r；说明若直接把「逐组 g = 4π²ℓ/T²」取平均，结果会偏大还是偏小，为什么。

解析

首尾斜率 k = (4.83414 − 1.61121)/(1.200 − 0.400) = 3.22293/0.800 = 4.02866 s²/m；g = 4π²/k = 39.4784/4.02866 = 9.7994 m/s² ≈ 9.80 m/s² ✓。中间组校验：ℓ=1.000 处 T²/ℓ = 4.02805，与 k 相差不到 0.02%，说明数据线性良好。

(2) 截距。 设 T² = kℓ + b。五组 ℓ 与 T² 均值：ℓ̄ = (0.4+0.6+0.8+1.0+1.2)/5 = 0.800；T̄² = (1.61121+2.41700+3.22322+4.02805+4.83414)/5 = 16.11362/5 = 3.222724。最小二乘斜率 k = Σ(ℓᵢ−ℓ̄)(Tᵢ²−T̄²)/Σ(ℓᵢ−ℓ̄)²：分子 = (−0.4)(−1.611514)+(−0.2)(−0.805724)+0+(0.2)(0.805326)+(0.4)(1.611416) = 0.644606+0.161145+0.161065+0.644566 = 1.611382；分母 = 0.16+0.04+0+0.04+0.16 = 0.40；k = 4.028455 s²/m，g = 39.4784/4.028455 = 9.7999 m/s²。
b = T̄² − kℓ̄ = 3.222724 − 4.028455×0.800 = 3.222724 − 3.222764 = −0.00004 s²，在读数精度内可视为 0。由 b = k·r 得 r = b/k ≈ 0，说明本组数据的 ℓ 已经就是摆长（含球心修正），并没有漏加半径。若另有一组数据得到 b = +0.0403 s²，则 r = 0.0403/4.0285 ≈ 0.0100 m = 1.00 cm，正是漏加的球半径。

逐组平均的偏向。 若误用 gᵢ = 4π²ℓ/T² 且 ℓ 少记 r，则 T² = k(ℓ+r)，gᵢ = 4π²ℓ/[k(ℓ+r)] = g·ℓ/(ℓ+r) < g，即逐组结果一律偏小，且短摆长偏得更厉害（0.400 m 处少约 2.4%，1.200 m 处少约 0.8%）。取平均不会消掉这个系统偏差，而斜率法因截距吸收了 r，g 不受影响——这正是必须作 T²–ℓ 图而不要逐组算 g 的原因。

答案　(1) k≈4.02866 s²/m，g≈9.80 m/s²。(2) 最小二乘 k≈4.02846、b≈0（本组 ℓ 已含球心修正），故 r≈0；若 b=+0.0403 s² 则 r≈1.00 cm。逐组 4π²ℓ/T² 取平均会系统偏小，短摆长偏得更多；斜率法不受影响。

采分点　五组 T 与 T² 计算准确 2 分；首尾斜率 4.02866 与 g≈9.80 各 1 分；均值与最小二乘斜率 1 分；截距 b≈0 与 r=b/k 关系 1 分；指出本组未漏加半径 1 分；给出 b=0.0403→r=1.00 cm 的换算 1 分；逐组平均偏小及短摆长更偏的理由 2 分；说明斜率法不受影响 1 分。

易错点　把 30 个周期的时间直接当 T 代入；用 t²–ℓ 而非 T²–ℓ（差 900 倍）；把截距b直接当半径而忘了除以 k；见 b≈0 就断言「实验没有误差」，正确说法是「未发现摆长零点偏差」；认为逐组取平均能抵消系统误差。

题2

题2 大摆角、计时起点与秒表误差的方向和量级

(1) 小角度近似下 T₀ = 2π√(L/g)。若摆角取 θ₀ = 15°，有限振幅修正为 T ≈ T₀(1 + θ₀²/16)（θ₀ 用弧度）。求周期的相对增量，并推出由 g = 4π²L/T² 算出的 g 相对偏差（说明偏大还是偏小）。(2) 另外三种操作各使 g 偏大、偏小还是基本不变：① 秒表在摆球过最低点时启动、却在第 30 次到达端点时停止；② 把线长当摆长但改用斜率法处理；③ 每次只在一个周期内计时、共测 30 次取平均。

解析

(2) ① 偏小（且严重）：从最低点到端点只隔 T/4，若把「第 30 次到达端点」当成 30 个全振动，实际只累计约 30T − 3T/4 或 29T + T/4 一类非整数周期（取决于端点计法），计时数 t 偏小、T=t/30 偏小，则 g = 4π²L/T² 偏大——须辨明方向。严格算：若在过最低点启动（计为第 0 次），之后每次「到达同一侧端点」间隔 T，第 30 次到达端点时刻为 T/4 + 29T = 29.25T（把 T/4 当作第一次端点）。以 30 个周期去除得 T′ = 29.25T/30 = 0.975T，偏小 2.5%，g′ = g/0.975² = 1.0518g，偏大约 5.2%。要点：计时起止必须对应同一相位（同为过最低点、同方向），端点与最低点混用会丢掉或多吃四分之一周期。
② 基本不变：如题1 所述，T² = k(ℓ + r) 只改变截距，斜率 k 不变，故斜率法求得的 g 不受漏加半径影响；但若逐组算 g 则系统偏小。
③ 离散度变大、期望基本不变，但通常仍偏小：单次计一个周期，人的反应时间（约 0.1–0.2 s）在 2 s 的周期里占 5–10%，30 次取平均只能把随机误差降到 1/√30，不能消除启动/停止的系统性迟滞；而测 30 个连续周期时反应时间只落在首尾各一次，相对影响降到约 0.3%。所以「测多周期」优于「多测单周期」，这也是题1 数据设计为 30T 的原因。

答案　(1) θ₀=0.261799 rad，周期偏大 0.428%，g 偏小约 0.86%（精确 −0.851%）。(2) ① 端点与最低点混用使 T′=0.975T，g 偏大约 5.2%；② 斜率法基本不变；③ 单周期多次取平均随机误差按 1/√30 降，但反应迟滞的系统影响远大于 30 连续周期法，期望仍易偏小、离散度大。

采分点　θ₀ 化弧度 1 分；ε=θ²/16=0.428% 1 分；推出 g 偏小 −2ε≈−0.86% 1 分；给出精确 (1+ε)² 验算 1 分；① 指出相位不一致并算出 0.975T 与 +5.2% 2 分；② 斜率不变、截距吸收 r 1 分；③ 区分随机误差 1/√30 与系统迟滞、说明测 30 连续周期更优 2 分。

易错点　把 15° 直接平方而不化弧度（得 14 倍错误）；只算周期偏大就答 g 偏大，漏掉 g∝1/T² 的平方关系；① 只说「计时不准」不算出 0.975T 与 +5.2%；② 答成「偏小」，把斜率法与逐组法混为一谈；③ 认为测 30 次单周期与测 30 个连续周期等价。

三、规律小结与对照表

单摆这组题真正考的是「线性化之后，什么进斜率、什么进截距」：摆长零点误差只动截距， slope 求出的 g 不受影响；大摆角、相位错、反应迟滞则都直接改 T，于是 g 按 1/T² 放大成两倍的相对偏差。把五组 T² 摆出来先看直不直，再由截距反查球半径，比逐组算 g 平均可靠得多。所有摆长、时间与修正系数均为自编示意数值，不代表真实测量记录或仪器参数。

四、自测清单

• □ 先把 30T 除以 30 得 T，再平方，别把 t² 直接对 ℓ；
• □ 斜率 k 与 g=4π²/k 分开写，单位 s²/m 别丢；
• □ 截距 b 除以 k 才是半径，b≈0 只说明未发现零点偏差；
• □ 摆角一律化弧度再代入 θ²/16，别用角度数；
• □ 记牢 g∝1/T²，周期偏大 ε 则 g 偏小约 2ε；
• □ 计时起止取同一相位（同过最低点、同方向），端点不混用。