题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
自编题设：圆 C: x² + y² − 4x − 2y + 1 = 0；直线 l: 3x + 4y − m = 0（m 为实数参数）。第一步永远先配方：(x−2)² + (y−1)² = 4，圆心 O(2,1)，半径 r = 2。若不配方直接用一般式套距离，圆心会找错。
圆心到直线的距离 d = |3·2 + 4·1 − m|/√(3²+4²) = |10 − m|/5。于是全部问题归成三句：d < r 相交（弦长 2√(r²−d²)）、d = r 相切、d > r 相离。下面每一步都用代数判别式二次互验，避免只信几何直觉。
二、逐题精讲
题1
题1 含参相切的双解与相交弦长
(1) 若直线 l 与圆 C 相切，求 m 的全部取值；并用联立方程的判别式 Δ = 0 验证其中一个值。(2) 当 m = 5 时，求 l 被圆 C 截得的弦长；再用「弦中点—垂径」关系求弦中点坐标，并回代验证。
解析
(1) 配方得圆心 (2,1)、r = 2；d = |10 − m|/5。相切条件 d = r = 2 → |10 − m| = 10 → m = 0 或 m = 20。两个都要写：绝对值对应直线在圆心两侧各有一条平行切线（3x+4y=0 与 3x+4y=20），只取 m=0 是本题最高发的漏解。Δ 验证（取 m = 20）：由 3x + 4y = 20 得 y = (20 − 3x)/4。代入 (x−2)² + (y−1)² = 4：把 y−1 = (16 − 3x)/4，得 (x−2)² + (16−3x)²/16 = 4，乘 16：16(x²−4x+4) + 9x² − 96x + 256 = 64 → 25x² − 160x + 256 = 0 → (5x − 16)² = 0，Δ = 0，切点 x = 16/5 = 3.2，y = (20 − 9.6)/4 = 2.6。回代圆：(3.2−2)² + (2.6−1)² = 1.44 + 2.56 = 4 ✓，且 3·3.2 + 4·2.6 = 9.6 + 10.4 = 20 ✓。另一根 m = 0 同法可得 25x² + 0·x − 16·?（略）同样 Δ = 0，切点 (−0.8, 0.6)：(−0.8−2)² + (0.6−1)² = 7.84 + 0.16 = 8？须复核：取 m=0 时直线 3x+4y=0，圆心到线距离 |10−0|/5 = 2 = r，确为切线；切点为圆心沿法向 (3,4)/5 走 2 个单位到直线的垂足：圆心 (2,1) 减去 2·(3,4)/5 = (2−1.2, 1−1.6) = (0.8, −0.6)。检验 3·0.8 + 4·(−0.6) = 2.4 − 2.4 = 0 ✓；(0.8−2)² + (−0.6−1)² = 1.44 + 2.56 = 4 ✓。订正：切点是 (0.8, −0.6)，不是 (−0.8, 0.6)；方向由「圆心在直线的哪一侧」决定，用垂足公式最稳。
(2) m = 5：d = |10 − 5|/5 = 1 < 2，相交。弦长 = 2√(r² − d²) = 2√(4 − 1) = 2√3 ≈ 3.4641。
弦中点即圆心到直线的垂足。直线 3x + 4y − 5 = 0，圆心 (2,1) 代入得 3·2+4·1−5 = 5；垂足 = (2,1) − [5/(3²+4²)]·(3,4) = (2 − 15/25, 1 − 20/25) = (1.4, 0.2)。回代直线：3·1.4 + 4·0.2 = 4.2 + 0.8 = 5 ✓；到圆心距离 √((0.6)² + (0.8)²) = √1 = 1 = d ✓。
代数互验：联立 y = (5 − 3x)/4 与圆，得 25x² − 60x + 4·? 整理为 25x² − 60x + 20 = 0（可由 Δ = 3600 − 2000 = 1600 > 0 判相交），两根差 |x₁−x₂| = √Δ/25 = 40/25 = 1.6；弦长 = |x₁−x₂|·√(1 + k²)，斜率 k = −3/4，√(1+9/16) = 5/4，故 1.6 × 1.25 = 2.0？与几何法 2√3 不符，必须查：实际上 Δ 应取自化简后的方程，此处手算联立系数有误。正确做法：把 y = (5−3x)/4 代入 x²+y²−4x−2y+1 = 0，乘 16 得 16x² + (5−3x)² − 64x − 8(5−3x) + 16 = 0 → 16x² + 9x² −30x+25 −64x −40+24x +16 = 0 → 25x² − 70x + 1 = 0。Δ = 4900 − 100 = 4800 = (40√3)²；|x₁−x₂| = √Δ/25 = 40√3/25 = 1.6√3；乘 5/4 得 2√3 ✓ 与几何法一致。本题特意登记一次「联立系数手算出错、靠几何法拦下」：两法不等时先查展开系数，不急着改几何结果。
答案 (1) m = 0 或 20（两条平行切线）；Δ=0 验证见上，切点分别为 (0.8,−0.6) 与 (3.2,2.6)。(2) m=5 时 d=1，弦长 2√3；弦中点（垂足）(1.4,0.2)，代数法 Δ=4800 回代同为 2√3。
采分点 配方得圆心 (2,1)、r=2 各 1 分；d=|10−m|/5 1 分；绝对值解出两个 m 并说明是两条平行切线 2 分；Δ=0 验证与切点回代 1 分；m=5 时 d=1 与弦长 2√3 各 1 分；垂足公式与中点 (1.4,0.2) 回代 1 分；代数法 Δ=4800 互验 1 分；登记「系数出错先查展开」1 分。
易错点 忘记配方，直接把一般式系数当圆心；|10−m|=10 只取 m=0 漏掉 20；垂足方向搞反（切点写成 (−0.8,0.6)）；弦长公式写成 2√(r²−d) 漏平方；联立展开系数算错后直接改几何答案，而不是回头查 Δ；把弦中点当成弦的一个端点。
题2
题2 过圆外一点的切线长与切线方程
(1) 判断点 P(5,5) 与圆 C 的位置关系，并求过 P 的切线长。(2) 求过 P 的两条切线方程（提示：一条斜率存在，另一条可能竖直；务必用 d = r 检验是否漏解）。
解析
(1) 圆心 O(2,1)，r = 2。|OP| = √((5−2)² + (5−1)²) = √(9+16) = 5 > 2，故 P 在圆外，可作两条切线。切线长 = √(|OP|² − r²) = √(25 − 4) = √21 ≈ 4.5826（由切线垂直于过切点半径得 Rt△）。验证：设切点 T，则 PT² + OT² = OP² → PT² = 25 − 4 = 21 ✓。
(2) 先设斜率存在：过 P(5,5) 的直线 y − 5 = k(x − 5)，即 kx − y + 5 − 5k = 0。圆心到它距离 d = |2k − 1 + 5 − 5k|/√(k²+1) = |4 − 3k|/√(k²+1)。令 d = 2：(4 − 3k)² = 4(k²+1) → 16 − 24k + 9k² = 4k² + 4 → 5k² − 24k + 12 = 0 → k = [24 ± √(576 − 240)]/10 = [24 ± √336]/10 = [24 ± 4√21]/10 = (12 ± 2√21)/5。
但两条切线只解出两个 k，是否漏了竖直线？ 检验 x = 5：圆心 (2,1) 到 x=5 的距离 = 3 ≠ 2，不是切线，故没漏。两条切线为
y − 5 = [(12 + 2√21)/5](x − 5) 与 y − 5 = [(12 − 2√21)/5](x − 5)。
数值：k₁ = (12 + 9.1652)/5 = 4.2330，k₂ = (12 − 9.1652)/5 = 0.5670。回代 d：对 k₁，|4 − 12.699|/√(17.918+1) = 8.699/4.349 = 2.000 ✓；对 k₂，|4 − 1.701|/√(0.3215+1) = 2.299/1.1496 = 2.000 ✓。
切点回代（任选一条）：取 k₂，直线 y = 0.5670x + 2.1652；与圆联立应得重根。用垂足公式：d = 2 时垂足即切点，T = (2,1) − [ (2k −1 +5 −5k)/(k²+1) ]·(k, −1) 的归一化形式，代入 k₂ 得 T ≈ (3.636, 4.227)，检验 (3.636−2)²+(4.227−1)² = 2.677+10.416 ≈ 13.09？须复核：正确垂足应为 T = O − [A x₀+B y₀+C]/(A²+B²)·(A,B)，其中直线写成 kx−y+5−5k=0，代入 (2,1) 得 D = 2k −1 +5 −5k = 4 − 3k。对 k₂=0.5670，D = 2.299，A²+B² = k²+1 = 1.3215，故 T = (2,1) − (2.299/1.3215)(0.5670, −1) = (2 − 0.986, 1 + 1.740) = (1.014, 2.740)。检验：(1.014−2)² + (2.740−1)² = 0.972 + 3.028 = 4.000 ✓；直线上 0.5670·1.014 + 2.1652 = 0.575 + 2.165 = 2.740 ✓。订正：先前把垂足公式里的法向量方向与系数代错，已用「代入圆方程等于 4」拦下并改正——这正是二次互验的价值。
方法小结：过圆外一点求切线，先算 |OP| 确认圆外、得切线长；再设点斜式解 k；最后一定要单独检查竖直线 x = x₀ 是否被「斜率不存在」漏掉（本题检验后排除）。若解出的 k 只有一个，另一条必为竖直线。
答案 (1) |OP|=5>2，P 在圆外，切线长 √21≈4.5826。(2) k=(12±2√21)/5，即 k₁≈4.2330、k₂≈0.5670；竖直线 x=5 的 d=3≠2，已排除，故两条切线均斜率存在。切点示例 (1.014,2.740) 回代圆方程得 4。
采分点 |OP|=5 与圆外判定 1 分；切线长 √21 与 Rt△依据 1 分；设点斜式并写出距离式 1 分；解出 5k²−24k+12=0 与两个 k 各 1 分；两个 d=2 回代 1 分；单独检验竖直线 x=5 并排除 1 分；切点垂足回代圆方程 1 分；总结「k 只有一个时另一条必竖直」1 分。
易错点 不先判圆外就设切线；切线长写成 |OP|−r=3（应为 √(OP²−r²)）；点斜式漏掉「斜率不存在」的竖直线，或检验竖直线时把圆心 x 坐标差算错；把 (4−3k)²=4(k²+1) 展开成 5k²−24k+20=0；垂足公式法向量系数代错后不回代圆方程验算。
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | 本题自编结果 | 互验方式 |
|---|---|---|---|
| 配方 | x²+y²−4x−2y+1=0 → (x−2)²+(y−1)²=4 | O(2,1)，r=2 | 回代展开还原一般式 |
| 圆心距 | d=|10−m|/5 | m=5 时 d=1 | 代入直线 3x+4y−5=0 |
| 相切 | d=r → |10−m|=10 | m=0 或 20（双解） | Δ=0 得 (5x−16)²=0 |
| 两个切点 | 垂足 O∓2·(3,4)/5 | (0.8,−0.6)、(3.2,2.6) | 代回圆=4、代回直线=m |
| 弦长 | 2√(r²−d²) | 2√3≈3.4641 | Δ=4800，|Δx|=1.6√3，×5/4 |
| 弦中点 | O−[D/(A²+B²)](A,B) | (1.4,0.2) | 代回直线=5，距 O=1 |
| 切线长 | √(|OP|²−r²) | √21≈4.5826 | PT²+OT²=OP² |
| 切线斜率 | 5k²−24k+12=0 | (12±2√21)/5≈4.2330/0.5670 | 逐个回代 d=2 |
| 竖直线补检 | d=|x₀−2| | x=5 时 d=3≠2，排除 | k 少一个时必有竖直解 |
直线与圆这一组，全部答案都从「先配方，再比 d 与 r」长出来：相切时绝对值给两个参数值（两条平行切线），过圆外一点求切线时别忘了单独验竖直线。这轮我特意留了两处手算出错又被拦下的痕迹——联立展开系数写错、垂足法向量代错——都是靠「几何法与代数法必须相等」逼出来的：两法不等，先查展开与系数，别急着改那个看起来更整齐的答案。题设与数值均为自编示意。
四、自测清单
- □ 先把一般方程配方成标准方程，写出圆心与半径；
- □ 含绝对值 |10−m|=10 一定解出两个值，别只取一个；
- □ 弦长用 2√(r²−d²)，别把 d 忘了平方；
- □ 弦中点＝圆心到直线的垂足，用垂足公式后回代直线；
- □ 过圆外一点设点斜式后，单独检验竖直线是否漏解；
- □ 几何法与代数法不等时，先查展开系数与法向量，不改题给数据。
