题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
自编示意电源：电动势 E = 6.00 V，内阻 r = 1.00 Ω，外接纯电阻 R。闭合电路欧姆定律 I = E/(R+r)，于是
P出 = I²R = E²R/(R+r)²；η = P出/P总 = I²R/(IE) = R/(R+r)；内耗功率 P内 = I²r；总功率 P总 = EI。
先记住一个反直觉点：η 随 R 单调增大（R→∞ 时 η→1），而 P出 在 R=r 处取极大后反而下降。最大功率点效率只有 50%，「最省电」和「输出最多」是两件事。下面五组负载为自编示意数值。
二、逐题精讲
题1
题1 功率曲线、匹配条件与同功率双解
取 R = 0.50、1.00、2.00、4.00、9.00 Ω。(1) 逐组求 I、U = IR、P出、P内、P总 与 η，列成表；指出最大输出功率出现在哪一点，并用配方法与求导两路证明 R = r 时最大、给出 Pmax。(2) 表中哪两组 R 的 P出 相同？求它们的乘积，并证明「同一输出功率（小于最大值）对应两个负载，且 R₁R₂ = r²」。
解析
(1) 逐组计算（E=6.00 V、r=1.00 Ω，I=6/(R+1)，P出=36R/(R+1)²）：R=0.50：I=4.000 A，U=2.000 V，P出=8.000 W，P内=16.000 W，P总=24.000 W，η=0.3333
R=1.00：I=3.000 A，U=3.000 V，P出=9.000 W，P内=9.000 W，P总=18.000 W，η=0.5000
R=2.00：I=2.000 A，U=4.000 V，P出=8.000 W，P内=4.000 W，P总=12.000 W，η=0.6667
R=4.00：I=1.200 A，U=4.800 V，P出=5.760 W，P内=1.440 W，P总=7.200 W，η=0.8000
R=9.00：I=0.600 A，U=5.400 V，P出=3.240 W，P内=0.360 W，P总=3.600 W，η=0.9000
衡算自检：每行都满足 P总 = P出 + P内 = EI、U + Ir = E。例如 R=0.50：8.000+16.000=24.000=6.00×4.000 ✓，2.000+4.000×1.00=6.000 ✓。
最大输出功率 9.000 W 出现在 R=1.00 Ω=r。
配方法证明：P = E²R/(R+r)² = E²/[ (√R − r/√R)² + 4r ]，因为 (R+r)²/R = R + 2r + r²/R = (√R − r/√R)² + 4r ≥ 4r。故 P ≤ E²/(4r)，等号当 √R = r/√R 即 R=r；Pmax = 36/(4×1) = 9.00 W ✓。
求导证明：dP/dR = E²[(R+r)² − 2R(R+r)]/(R+r)⁴ = E²(r − R)/(R+r)³；R<r 时为正、R>r 时为负，故 R=r 是极大值点 ✓ 两路一致。
(2) 同功率双解：表中 R=0.50 与 R=2.00 都给出 P出=8.000 W；乘积 0.50×2.00 = 1.00 = r²（r=1.00）。
一般证明：令 P = E²R/(R+r)² = p（常数），整理得 pR² + (2pr − E²)R + pr² = 0。这是关于 R 的二次方程，由韦达定理两根之积 = pr²/p = r² ✓，与 p 无关。
判别式 Δ = (E²−2pr)² − 4p²r² = E⁴ − 4pE²r = E²(E² − 4pr)；当 p < E²/(4r) = Pmax 时 Δ>0，有两个正根；p = Pmax 时 Δ=0，两根重合于 R=r；p > Pmax 无解 ✓ 与表中「8 W 两解、9 W 唯一解」完全对应。
本题验算：p=8，方程为 8R² + (16−36)R + 8 = 0 → 8R² −20R+8=0 → 2R²−5R+2=0 → R=0.5 或 2 ✓。
答案 (1) 五组表见上；Pmax=9.00 W 在 R=r=1.00 Ω，配方法 P≤E²/4r 与求导 dP/dR=E²(r−R)/(R+r)³ 两路一致。(2) R=0.50 与 2.00 同为 8.00 W，乘积 1.00=r²；由韦达定理同一 p<Pmax 的两根之积恒为 r²，Δ>0 时双解、Δ=0 时重合于 R=r。
采分点 五组 I/U/P出 各 1 分（合计 3 分）；每行 P总=P出+P内=EI 与 U+Ir=E 衡算 1 分；指出 Pmax=9 W 在 R=r 1 分；配方法推导与 P≤E²/4r 1 分；求导与符号判断 1 分；找出 0.50 与 2.00 同为 8 W 1 分；乘积 =r² 1 分；韦达定理一般证明 1 分；判别式三种情形 1 分。
易错点 把 P总 写成 EI 却漏算 P内，或把 η 当成 P出/P内；认为 R 越大输出功率越大（被 U 单调上升带偏）；配方法里把 (R+r)²/R 展开漏掉 2r；求导后不判符号就说是极大；把同功率双解的乘积写成 r 或 2r；忘记「p<Pmax 才有两个正根」这一前提。
题2
题2 效率、内耗与测量误差方向
(1) 证明 η = R/R+r 随 R 单调增大并趋于 1，同时说明为什么最大功率点效率只有 50%、此时内耗占多少；若把负载从 1.00 Ω 换成 9.00 Ω，输出功率与效率各变化多少。(2) 实验中若把内阻 r 误测为 1.20 Ω（真值 1.00 Ω），其余 E 与 R 读数不变：按误测值算出的 Pmax 与「匹配负载」各是多少？说明是偏大还是偏小；再判断「只测 U、I 算 P=UI」能否避开这一误差。
解析
(1) 单调性：η = R/(R+r) = 1 − r/(R+r)。r>0 固定，R 增大时 r/(R+r) 减小，故 η 单调增大；R→∞ 时 η→1，R→0 时 η→0。求导可再验：dη/dR = r/(R+r)² > 0 ✓。最大功率点 η=50% 的理由：R=r 时 P出 = I²R、P内 = I²r 两者相等，总功率一半给负载、一半耗在内阻上，故 η = P出/(P出+P内) = 1/2。本题数值：R=1.00 时 P出=P内=9.000 W，P总=18.000 W，内耗占 50%（9.000 W）。结论：「输出最多」与「最省电」不可兼得；追求效率要把 R 做远大于 r，此时输出功率反而变小。
从 1.00 Ω 换到 9.00 Ω：P出 由 9.000 W 降到 3.240 W，减少 5.760 W，相对 −64.0%；η 由 0.5000 升到 0.9000，提高 0.4000（40 个百分点），相对 +80%。内耗由 9.000 W 降到 0.360 W（−96%），总功率由 18.000 W 降到 3.600 W。注意表述：η 从 50% 到 90% 应说「提高 40 个百分点」或「相对提高 80%」，不能说「提高 40%」——百分点与百分比的区分是这类题的隐藏采分点。
(2) 误测 r 的后果：按 r′=1.20 Ω 计算，匹配负载会判成 R=1.20 Ω（比真实最佳 1.00 Ω 偏大 20%）；Pmax′ = E²/(4r′) = 36/4.80 = 7.500 W，比真实 Pmax=9.000 W 偏小 16.7%。
回代看实际会怎样：若真按 R=1.20 Ω 接负载，真实电路 I = 6.00/(1.20+1.00) = 2.7273 A，实际 P出 = I²×1.20 = 8.9256 W，仍低于 9.000 W 但高于按误测公式算的 7.500 W——说明误测 r 会同时选错匹配点和低估可达功率，两者不是同一个偏差。
能否用 P=UI 避开：能避开公式误差，但避不开选点误差。P = UI 直接由实测端电压与电流相乘得到，不依赖 r 的取值，所以每一组负载下的实际输出功率读数是准的；但「哪个 R 是匹配点、Pmax 的理论值是多少」仍要靠 r，误测 r 会让你把 1.20 Ω 当成最优并停在 8.93 W 上，不知道 1.00 Ω 还有 9.00 W。正确做法是直接用实测 U、I 画 P–R 曲线取极大，或先由 U=E−Ir 的 U–I 斜率重新标定 r（与 00185 安阻/伏阻法测 E、r 同一思路），再算匹配点。
另提醒：电压表分流、电流表内阻会使 U、I 本身带系统误差，P=UI 并非「绝对准」；本题结论限于「不引入 r 误测这一项误差」。
答案 (1) η=1−r/(R+r) 单调增趋于 1；R=r 时 P出=P内，η=50%、内耗占一半（本题各 9.000 W）；换到 9.00 Ω 后 P出 9.000→3.240 W（−64.0%），η 0.5000→0.9000（提高 40 个百分点、相对 +80%）。(2) 误测 r=1.20 Ω 会把匹配点判成 1.20 Ω（偏大 20%）、Pmax 算成 7.500 W（偏小 16.7%）；实际接 1.20 Ω 得 8.9256 W，仍低于真值 9.000 W。P=UI 可避开公式误差但避不开选点误差，宜实测 P–R 曲线或由 U–I 斜率重标 r。
采分点 η 单调性推导与 dη/dR>0 各 1 分；最大功率点 η=50% 与内耗 9.000 W 1 分；换负载后 P出 与 η 变化数值各 1 分；用「百分点」表述 1 分；误测后匹配点 1.20 Ω 与 Pmax′=7.500 W 各 1 分；两个偏差方向 1 分；实际 8.9256 W 回代 1 分；P=UI 能避开公式误差、避不开选点误差 1 分；给出实测 P–R 或 U–I 重标 r 的处置 1 分。
易错点 把 η 与 P出 混成一个单调量；说「最大功率时效率最高」；把 50%→90% 说成「提高 40%」；误测 r 后只改 Pmax 不改匹配点；认为 P=UI 能完全消除 r 误测影响；忘记回代真实电路看实际功率；忽略电压表分流/电流表内阻本身的系统误差。
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | R=0.50 | R=1.00=r | R=2.00 | R=4.00 | R=9.00 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| I (A) | E/(R+r) | 4.000 | 3.000 | 2.000 | 1.200 | 0.600 |
| U (V) | IR | 2.000 | 3.000 | 4.000 | 4.800 | 5.400 |
| P出 (W) | E²R/(R+r)² | 8.000 | 9.000 | 8.000 | 5.760 | 3.240 |
| P内 (W) | I²r | 16.000 | 9.000 | 4.000 | 1.440 | 0.360 |
| P总 (W) | EI | 24.000 | 18.000 | 12.000 | 7.200 | 3.600 |
| η | R/(R+r) | 0.3333 | 0.5000 | 0.6667 | 0.8000 | 0.9000 |
| 匹配条件 | R=r | — | Pmax=E²/4r=9.00 W | 同功率双解 | — | — |
| 双解 | R₁R₂=r² | 0.50×2.00=1.00 | Δ=0 重合 | 8.000 W | — | — |
| 效率变化 | 1→9 Ω | — | η 0.5→0.9 | — | — | P出 −64.0% |
| r 误测 1.20 | Pmax′=7.500 W | 匹配点 1.20 Ω | 偏小 16.7% | 实际 8.9256 W | — | — |
电源这组数据把两件事分得清清楚楚：输出功率在 R=r 处封顶（本题 9.00 W，配方法与求导两路都指向它），效率却一路单调升到 1——最大功率点恰好一半能量耗在内阻上，η 只有 50%。同一输出功率（小于最大值）总有两个负载，乘积恒为 r²，表中 0.50 与 2.00 都是 8.00 W 正好印证。误测 r 会同时选错匹配点、低估可达功率，而 P=UI 只救得了读数、救不了选点。所有参数均为自编示意，不代表真实电源规格。
四、自测清单
- □ 每行都验 P总=P出+P内=EI 与 U+Ir=E；
- □ P出=E²R/(R+r)²，η=R/(R+r)，两者别混；
- □ 最大功率在 R=r，Pmax=E²/4r，此时 η=50%；
- □ 同功率双解满足 R₁R₂=r²，且只在 p<Pmax 时存在；
- □ 效率从 50% 到 90% 说「40 个百分点」，别说「提高 40%」；
- □ r 误测时区分「公式误差」与「选点误差」，P=UI 只避前者。
