联招数学·线性回归与相关系数：最小二乘、样本中心点与外推风险

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

给一组 (x, y) 数据求回归直线，最快的自验不是把公式再背一遍，而是记住两件事：直线一定过 (x̄, ȳ)，以及 r 与 b̂ 同号。前者能立刻验出 â 算错，后者能验出斜率方向反了。

公式按这个顺序用：先算 x̄、ȳ → 再算 Sxy = Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ) 与 Sxx = Σ(xᵢ−x̄)² → b̂ = Sxy / Sxx → â = ȳ − b̂x̄ → 得 ŷ = b̂x + â。相关系数 r = Sxy / √(Sxx·Syy)，其中 Syy = Σ(yᵢ−ȳ)²，取值在 [−1, 1]。下面五组数据为自编示意，x 表示「自编示意的练习周次」，y 表示「自编示意的周测得分增量」，单位与数值均为虚构。

二、逐题精讲

题1

题1 求回归直线并双路回验

自编示意数据（n = 5）：
x：1　2　3　4　5
y：3　5　8　9　12

(1) 计算 x̄、ȳ、Sxy、Sxx，求 b̂、â，写出回归直线 ŷ = b̂x + â。(2) 用「直线过样本中心点」与「逐点残差之和」两路回验；再计算 Syy 与相关系数 r，说明 r 的符号与 b̂ 是否一致、|r| 说明了什么。

解析

(2) 回验一路（中心点）：把 x = 3 代入得 ŷ = 2.2×3 + 0.8 = 7.4 = ȳ ✓，直线过 (3, 7.4)。
回验二路（残差和）：逐点 ŷ 为 3.0、5.2、7.4、9.6、11.8；残差 y−ŷ 为 0、−0.2、0.6、−0.6、0.2，Σ残差 = 0 ✓（最小二乘的正规方程必然给出这一性质，残差和为零是 â 算对的硬检验）。
Syy = 19.36 + 5.76 + 0.36 + 2.56 + 21.16 = 49.20；
r = 22.0 / √(10×49.20) = 22.0/√492 = 22.0/22.1811 ≈ 0.9918。r > 0 与 b̂ > 0 一致 ✓；|r| 很接近 1，说明这五点在该样本范围内线性趋势很强，但 r 只描述线性关联强度，不证明因果，也不保证样本外仍成立。

易错提醒：b̂ 的分子是离差积之和，不是 Σxᵢyᵢ；若误用 Σxᵢyᵢ/Σxᵢ² 会得到 133/55 ≈ 2.418，与 2.2 不符，残差和也不再为 0，立刻暴露。

答案　(1) x̄=3，ȳ=7.4，Sxy=22.0，Sxx=10，b̂=2.2，â=0.8，ŷ=2.2x+0.8。(2) 过 (3,7.4)；残差 0、−0.2、0.6、−0.6、0.2，和为 0；Syy=49.20，r≈0.9918，与 b̂ 同为正，|r| 接近 1 表示样本内线性趋势强。

采分点　x̄、ȳ 各 1 分；Sxy=22.0 与 Sxx=10 各 1 分；b̂=2.2 1 分；â=0.8 1 分；回归直线写法 1 分；中心点回验 1 分；残差和为 0 的验算 1 分；Syy=49.20 与 r≈0.9918 各 1 分；点明 r 不证因果 1 分。

易错点　把 b̂ 误写成 Σxy/Σx²；先算 â 再算 b̂ 导致顺序错；â 用 x̄ 之外的某个 x 代入；漏验残差和；把 |r| 接近 1 说成「x 导致 y」；把 r 当成斜率。

题2

题2 内插、外推与相关系数误用辨析

(1) 用题1 的回归直线：① 估计 x = 2.5 时的 y；② 有人据此断言「x = 20 时 y 必为 44.8」，请指出问题并写出严谨表述。(2) 判断下列说法是否正确并说明理由：①「r≈0.9918，所以练习周次增加是得分增量的原因」；②「把五组数据的 x、y 对调重新回归，新斜率等于 1/2.2」；③「若给每个 y 都加 3，b̂ 不变、â 增加 3」；④「若给每个 x 都乘 2，b̂ 变为原来的一半」。

解析

(2) ① 错。r 只度量线性关联强度与方向，不提供因果方向，也不排除第三个变量（如基础水平、题目难度）同时影响两者；只能说「在该样本中两者呈强正线性关联」。② 错。y 对 x 回归的斜率是 Sxy/Sxx = 2.2，x 对 y 回归的斜率是 Sxy/Syy = 22.0/49.20 ≈ 0.4472，二者乘积 = r² ≈ 0.9837，不是 1；只有 |r| = 1（完全共线）时两斜率才互为倒数。③ 对。y 整体平移 3：ȳ 增 3、离差 (y−ȳ) 全不变 → Sxy、Sxx、b̂ 均不变；â′ = (ȳ+3) − b̂x̄ = â + 3 = 3.8。④ 对。x 乘 2：x̄ 乘 2、(x−x̄) 乘 2 → Sxx 乘 4、Sxy 乘 2 → b̂′ = 2Sxy/4Sxx = b̂/2 = 1.1；â′ = ȳ − b̂′(2x̄) = ȳ − (b̂/2)(2x̄) = ȳ − b̂x̄ = â，截距不变（可顺带写出）。

数值互验：r² = 22.0²/(10×49.20) = 484/492 = 0.98374；2.2 × 0.44715 = 0.98374 ✓；b̂′ = 1.1 代回 x′ = 2x 时 ŷ = 1.1x′ + 0.8 = 2.2x + 0.8，与原直线完全一致 ✓。

答案　(1) ① 6.3（内插）。② 44.8 只是「若线性趋势延续」的模型值，属样本外外推，不能断言「必为」。(2) ①错（r 不证因果）②错（对调后斜率 = Sxy/Syy≈0.4472，两斜率乘积 = r²≈0.9837≠1）③对（b̂ 不变，â→3.8）④对（b̂→1.1，â 仍 0.8）。

采分点　内插值 6.3 1 分；外推计算 44.8 1 分；指出「超出样本范围」1 分；改写成条件式估计 1 分；四句判断各 1 分；② 能算出 0.4472 与 r² 1 分；③ 说明离差不变 1 分；④ 说明截距不变并回代 1 分。

易错点　把外推值当确定预测；把 r 高说成因果；把 x、y 对调后的斜率当成互为倒数；③ 误以为平移会改变斜率；④ 只改斜率却忘了截距不变；忽略 r² 与两斜率乘积这一现成自验。

三、规律小结与对照表

线性回归的账要算得闭合：x̄、ȳ → Sxy、Sxx → b̂、â，然后用中心点和残差和为零各验一次，再用 r 的符号验方向。三道自验都过，答案基本不会错。最后一关在公式之外：r 再高也不证明因果，样本之外的 x 再代入也只是模型值。本例五组数据、周次与得分增量均为自编示意，不代表真实观测或统计结论。

四、自测清单

• □ 先算 x̄、ȳ，再算离差，不直接套 Σxy/Σx²；
• □ b̂ = Sxy/Sxx，â = ȳ − b̂x̄，顺序不颠倒；
• □ 把 (x̄, ȳ) 代回直线，应得 ȳ；
• □ 逐点算残差，其和必须为 0；
• □ r = Sxy/√(Sxx·Syy)，符号与 b̂ 一致，|r|≤1；
• □ 记住两回归斜率乘积 = r²，不是 1；
• □ 平移 y 只改 â、缩放 x 改 b̂ 而不改 â；
• □ 内插可作估计，外推必须写明「若趋势延续」且不作确定断言。