联招数学·数列求和：等差最值、裂项与错位相减

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

三组自编数列：

(一) 等差 a₁ = 20，d = −2，求 S_n 的最大值及对应 n。
(二) 裂项：求 T_n = Σ_k=1ⁿ 1/[k(k+1)]，并算 T₉₉。
(三) 错位相减：求 U_n = Σ_k=1ⁿ k·2^k，并算 U₅。

三型各配一条回代互验：等差用「S_n=n(a₁+a_n)/2」逐项加一遍；裂项用「前几项手工通分」对照公式；错位相减用「直接逐项相加」对照闭式。不等就先查相减后剩了几项，别急着改答案。

二、逐题精讲

题1

题1 等差 Sn 最值与裂项相消

(1) 对等差数列 a₁=20、d=−2，写出 a_n 与 S_n，求 S_n 最大值及取到的 n；用「正项加到哪一项为止」与「二次函数对称轴」两路互验。(2) 推导 T_n = Σ 1/[k(k+1)] 的闭式，算 T₉₉；再用前三项手工通分验证闭式，并说明裂项后「剩下哪几项」。

解析

第一路：看正项。 a_n > 0 ⇔ 22 − 2n > 0 ⇔ n < 11，故 a₁…a₁₀ 为正、a₁₁ = 0、a₁₂ = −2 起为负。S_n 在加到第 10 项时最大；因 a₁₁=0，S₁₁ = S₁₀ 同为最大。
第二路：二次函数。 S_n = −n² + 21n，开口向下，对称轴 n = 21/2 = 10.5；n 须为整数，故最近的两个整数 10 与 11 同取最大。S₁₀ = 10×11 = 110，S₁₁ = 11×10 = 110 ✓ 两路一致。
逐项回代：20+18+16+14+12+10+8+6+4+2 = 110 ✓；再加 a₁₁=0 仍 110；加 a₁₂=−2 得 108，开始下降。
易错点：只答 n=10 漏掉 n=11；把对称轴 10.5 四舍五入成 11 就只给一个；或误以为「a_n 变负时 S_n 立刻变小」而忽略 a₁₁=0 这一项。

(2) 裂项：1/[k(k+1)] = 1/k − 1/(k+1)。故
T_n = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … + (1/n − 1/(n+1))，中间全部相消，只剩首项的 1 与末项的 −1/(n+1)：
T_n = 1 − 1/(n+1) = n/(n+1)。T₉₉ = 99/100 = 0.99。

前三项手工通分验证：T₃ = 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) = 1/2 + 1/6 + 1/12 = 6/12 + 2/12 + 1/12 = 9/12 = 3/4；公式给 3/(3+1) = 3/4 ✓。
再验 n=1、2：T₁=1/2=1/2 ✓；T₂=1/2+1/6=2/3，公式 2/3 ✓。
「剩哪几项」要写清：裂项后保留的是第一括号的正首项 1 与最后一个括号的负末项 −1/(n+1)，共两项；若题目改成 Σ1/[k(k+2)]，则相消后剩前两项与后两项（因为步长变成 2），答案会是 (3/2 − 1/(n+1) − 1/(n+2))/2 一类——步长决定剩几项，这是裂项题最重要的推广点。

答案　(1) a_n=22−2n，S_n=21n−n²；Smax=110，在 n=10 与 n=11 同时取到（a₁₁=0、对称轴 10.5），逐项加和 110 回代一致。(2) T_n=n/(n+1)，T₉₉=0.99；前三项通分 3/4 与公式一致；裂项后剩首项 1 与末项 −1/(n+1) 共两项，步长变 2 则剩四项。

采分点　a_n 与 S_n 表达式各 1 分；正项法判 a₁₁=0 1 分；对称轴 10.5 与两整数 1 分；Smax=110 与 n=10,11 各 1 分；逐项回代 1 分；裂项拆分 1 分；T_n=n/(n+1) 与 T₉₉ 1 分；前三项通分验证 1 分；说明「剩两项」及步长推广 1 分。

易错点　Sn 写成 n(a₁+a_{n+1})/2；只给 n=10 漏 n=11；把对称轴 10.5 四舍五入；裂项忘变号写成 1/k+1/(k+1)；T_n 写成 1−1/n；算 T₉₉ 用 99/100 却写成 0.099；不验「剩几项」就套到步长 2 的变式。

题2

题2 错位相减与两路互验

(1) 推导 U_n = Σ_k=1ⁿ k·2^k 的闭式；用 n=5 的直接逐项相加回代验证。(2) 把方法推广到 V_n = Σ_k=1ⁿ k·q^k（q≠1），写出闭式并说明 q=1 时退化成什么；再用 q=3、n=3 回代一次。

解析

逐项回代（n=5）：直接相加 = 2 + 8 + 24 + 64 + 160 = 258；闭式代入 = (5−1)·2⁶ + 2 = 4×64 + 2 = 258 ✓。
再验 n=1、2、3：n=1 → 0×4+2=2 ✓（只有 1·2）；n=2 → 1×8+2=10 = 2+8 ✓；n=3 → 2×16+2=34 = 2+8+24 ✓ 四点全闭合。
最容易错的一步：①−② 时中间是等比数列 2+2²+…+2ⁿ 共 n 项，末项还要单独减去 n·2ⁿ⁺¹；漏掉末项或把等比和写成 2ⁿ−1（少一个 2）都会得错闭式。回代 n=1 是最快的拦错手段。

(2) 一般 q：
V_n = q + 2q² + … + nqⁿ；qV_n = q² + 2q³ + … + nqⁿ⁺¹。
(1−q)V_n = q + q² + … + qⁿ − nqⁿ⁺¹ = q(1−qⁿ)/(1−q) − nqⁿ⁺¹。
故 V_n = [q(1−qⁿ)/(1−q) − nqⁿ⁺¹]/(1−q) = q(1−qⁿ)/(1−q)² − nqⁿ⁺¹/(1−q)；也可通分写成 V_n = q[1 − (n+1)qⁿ + nqⁿ⁺¹]/(1−q)²。
q=1 退化：公式分母为 0，不能代入；此时 V_n = Σk = n(n+1)/2，就是等差数列求和。必须单独写，这是「等比方法不适用于 q=1」的标准考点。
q=2 回验：代入通式得 [1·(1−2ⁿ)·2/(−1)² − n·2ⁿ⁺¹/(−1)] = 2(2ⁿ−1) + n2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺¹ − 2 + n2ⁿ⁺¹？须复核符号：用更稳的 (1−q)V 形式直接算 —— (1−2)V = −V = 2(1−2ⁿ)/(−1) − n2ⁿ⁺¹ = 2(2ⁿ−1) − n2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ⁺¹ − 2 − n2ⁿ⁺¹，故 V = (n−1)2ⁿ⁺¹ + 2 ✓ 与(1)一致。登记：上面直接套通分式时因 (1−q) 为负，两项符号容易写反，用 (1−q)V 原式回代更稳。
q=3, n=3 回代：直接相加 = 1·3 + 2·9 + 3·27 = 3 + 18 + 81 = 102。
用 (1−q)V 式：(1−3)V = −2V = 3(1−27)/(1−3) − 3·3⁴ = 3(−26)/(−2) − 3·81 = 39 − 243 = −204 → V = 102 ✓。
通分式验算：q[1 − (n+1)qⁿ + nqⁿ⁺¹]/(1−q)² = 3[1 − 4·27 + 3·81]/4 = 3[1 − 108 + 243]/4 = 3·136/4 = 102 ✓ 三路一致。

答案　(1) U_n=(n−1)2^{n+1}+2；n=5 时 2+8+24+64+160=258 与闭式 4×64+2=258 一致，n=1,2,3 亦闭合。(2) V_n=q[1−(n+1)q^n+nq^{n+1}]/(1−q)²（q≠1）；q=1 退化为 n(n+1)/2；q=3,n=3 时直接和 102，(1−q)V 式与通分式三路同为 102。

采分点　写出①与②并错位对齐 1 分；①−② 等比部分 2+…+2ⁿ 1 分；闭式 U_n=(n−1)2^{n+1}+2 1 分；n=5 逐项 258 与回代各 1 分；n=1,2,3 三点验 1 分；一般 q 通式 1 分；q=1 单独退化 1 分；q=2 回到本题闭式 1 分；q=3,n=3 三路 102 1 分；登记通分式符号风险 1 分。

易错点　①−② 漏掉末项 n·2^{n+1}；把等比和写成 2ⁿ−1；闭式写成 (n+1)2^{n+1}−2；不回代 n=1 就交卷；把 q=1 直接代入通式（分母为 0）；一般式里 (1−q) 为负时两项符号写反；q=3 验算时把 3⁴ 算成 27；忘记「等差×等比才用错位相减」。

三、规律小结与对照表

数列求和这三型，每型都自带一条自检：等差最值要同时看正项加到哪里与二次函数对称轴（本题 a₁₁=0，10 和 11 都取 110）；裂项要数清相消后剩几项（步长 1 剩两项，步长 2 剩四项）；错位相减要验 ①−② 后的等比和与末项，最省事的是回代 n=1。题2 推广到一般 q 时，我特意留了一处「直接套通分式符号写反、改用 (1−q)V 原式才闭合」的痕迹——两路不等先查符号，不改题给数据。数列与数值均为自编示意。

四、自测清单

• □ 等差最值：先求 a_n 变号点，再看 S_n 对称轴，别漏 a_n=0 那一项；
• □ 对称轴是小数时，检查相邻两个整数是否同取最大；
• □ 裂项先写拆分式，再数「剩首几项＋末几项」，步长决定项数；
• □ 错位相减：①−② 后的等比和 + 末项 n·q^{n+1} 都要在；
• □ 闭式一出来先回代 n=1、2、3；
• □ 一般 q 公式注明 q≠1，并单独写 q=1 退化为 n(n+1)/2；
• □ (1−q) 为负时优先用原式回代，避免通分式符号写反。