题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
小球在黏滞液体里下落，受三力：重力 ρVg 向下、浮力 ρ₀Vg 向上、黏滞阻力 6πηrv 向上（斯托克斯定律）。速度增大时阻力增大，直到三力平衡，此后以收尾速度 v 匀速下落。由 ρVg − ρ₀Vg = 6πηrv 与 V = (4/3)πr³ 解得：
η = 2r²(ρ − ρ₀)g / (9v)。
三个前提必须逐个报出来：① 小球可视为刚性球且 r 远小于容器半径 R；② 层流，用雷诺数 Re = ρ₀v(2r)/η 检验，Re < 1 才安心；③ 液体无限广，实际容器要作壁修正 η修正 = η/(1 + 2.4r/R)。另外「匀速」不是看出来就算：把量测段分成前后等距两半，两段用时相等才算进入收尾速度。下面数据为自编示意，钢球、液体与管径参数均虚构。
二、逐题精讲
题1
题1 求黏滞系数并核验前提
自编示意：半径 r = 1.50 mm 的钢球（密度 ρ = 7.80×10³ kg/m³）在密度 ρ₀ = 1.20×10³ kg/m³ 的示意液体中竖直下落，取 g = 9.80 m/s²。在标定的匀速段量取 s = 0.200 m，秒表读数 t = 4.00 s；把该段前后各 0.100 m 分开计时，得 t₁ = 2.00 s、t₂ = 2.00 s。容器为竖直圆管，内半径 R = 0.0200 m。
(1) 由两半段用时说明是否已达收尾速度，求 v 与 η（未修正）。(2) 计算雷诺数 Re，判断层流前提是否成立；再按壁修正因子 1/(1+2.4r/R) 求修正后的 η，并说明为什么修正后数值变小。
解析
(1) t₁ = t₂ = 2.00 s，两半等距段用时相同 → 该段速度恒定，已达收尾速度（若 t₁ > t₂ 说明仍在加速，须把量测段下移或换更长管子）。v = s/t = 0.200/4.00 = 0.0500 m/s（两半各 0.100/2.00 = 0.0500 m/s ✓ 一致）。
ρ − ρ₀ = 7.80×10³ − 1.20×10³ = 6.60×10³ kg/m³；r² = (1.50×10⁻³)² = 2.25×10⁻⁶ m²。
η = 2×2.25×10⁻⁶×6.60×10³×9.80 / (9×0.0500) = (4.50×10⁻⁶ × 64680) / 0.450 = 0.29106/0.450 = 0.6468 Pa·s。
(2) 雷诺数：Re = ρ₀·v·(2r)/η = 1.20×10³ × 0.0500 × 3.00×10⁻³ / 0.6468 = 0.180/0.6468 ≈ 0.278 < 1，层流前提成立 ✓（若 Re 接近或超过 1，斯托克斯阻力式本身失效，须换用修正模型，不能靠「多测几次」补救）。
壁修正：r/R = 1.50×10⁻³/0.0200 = 0.0750，2.4r/R = 0.180，因子 = 1/(1+0.180) = 0.84746。
η修正 = 0.6468 × 0.84746 ≈ 0.5482 Pa·s。
为什么变小：管壁使小球周围流场受约束，实际阻力大于无限广液体中的 6πηrv；若仍用未修正公式，会把「壁面额外阻力」误算进 η，导致结果偏大。修正即把这部分扣掉，故数值下降约 15.3%。
力平衡回代：用 η修正 反算阻力 6π·0.5482·1.50×10⁻³·0.0500 ≈ 7.76×10⁻⁴ N；有效重力 (ρ−ρ₀)(4/3)πr³g = 6.60×10³ × 1.4137×10⁻⁸ × 9.80 ≈ 9.14×10⁻⁴ N；二者之比 0.849，与修正因子 0.847 一致（差别来自取整），闭合 ✓。
答案 (1) t₁=t₂=2.00 s 表明已达收尾速度；v=0.0500 m/s；η≈0.6468 Pa·s（未修正）。(2) Re≈0.278<1，层流成立；r/R=0.0750，因子 0.8475，η修正≈0.5482 Pa·s；管壁额外阻力使未修正值偏大，故修正后变小。
采分点 两段计时相等判匀速 1 分；v=0.0500 m/s 1 分；力平衡式写对 1 分；η=0.6468 Pa·s 1 分；Re 公式与 0.278 各 1 分；判 Re<1 1 分；r/R=0.0750 与因子 0.8475 各 1 分；η修正=0.5482 1 分；说明「壁阻力被误计入使未修正值偏大」1 分；力平衡回代 1 分。
易错点 不等距两段计时相等就宣称匀速；把 r 当成直径代公式；忘记减浮力 ρ₀；把 6πηrv 写成 6πηr²v；Re 用 ρ（钢球密度）而非 ρ₀（液体密度）；把壁修正写成乘 (1+2.4r/R) 导致越修越大；只报数值不报三个前提。
题2
题2 误差方向与温度影响
(1) 分别判断下列操作使 η 的计算值偏大、偏小还是基本不变，并给出公式依据：① 秒表启动偏晚，记录的 t 偏小 0.10 s（真值 4.00 s）；② 把球半径 r 误记成 1.60 mm（真值 1.50 mm）；③ 液体温度升高但未控温（示意设定：升温使 η 真值下降）；④ 量测段未达匀速就计时（t₁ > t₂）。
(2) 若题1 中把计时误记成 3.90 s，其余不变，求 η 的计算值及相对偏差；再说明为什么「多测几次取平均」不能消除②这类误差。
解析
(1) 由 η = 2r²(ρ−ρ₀)g/(9v)、v = s/t 得 η = 2r²(ρ−ρ₀)gt/(9s)，即 η ∝ r²·t。① 偏小：t 偏小 → v 偏大 → η 偏小（系统误差，方向单一）。② 偏大且被平方放大：r 记大 → r² 变大，相对偏差约 2×(0.10/1.50) = +13.3%（精确 (1.60/1.50)² − 1 = +13.78%）。③ 结果分散、无单一方向：温度改变的是真值，不是公式用错；若各次测量温度不同，测得的是不同温度下的 η，取平均没有共同真值可依，应控温并注明温度。④ 偏大：未达匀速时平均速度小于收尾速度（前段还在加速），代入的 v 偏小 → η 偏大；且 t₁>t₂ 这一信号本身就说明数据不可用，应重测而非硬算。
(2) t′ = 3.90 s → v′ = 0.200/3.90 = 0.051282 m/s；η′ = 0.6468 × (3.90/4.00) = 0.6306 Pa·s（未修正口径）。相对偏差 = (0.6306 − 0.6468)/0.6468 = −0.025 = −2.50%，恰好等于 −0.10/4.00 ✓ 与 η ∝ t 一致。
为什么平均消不掉②：多次测量取平均只压低随机误差（如反应迟滞、读数抖动，正负可抵消）；r 记错属于系统误差，每次都按同一个错误半径代入，所有结果同向偏大，平均之后偏大依旧。系统误差只能靠校准器具（螺旋测微器零点、多次测径取平均并与标称值比对）、改换测量方法或独立复核发现，不能靠重复次数解决。
答案 (1) ①偏小（t↓→v↑→η↓）②偏大且平方放大（约 +13.8%）③结果分散无单向偏差（真值随温度变，须控温）④偏大（v 偏小）。(2) η′≈0.6306 Pa·s，相对偏差 −2.50%（= −0.10/4.00）；②属系统误差，同向偏大，取平均不能消除。
采分点 写出 η∝r²t 1 分；四种判断各 1 分；② 的平方放大说明 1 分；③ 指出「真值变了、无共同真值」1 分；④ 指出 t₁>t₂ 应重测 1 分；η′=0.6306 1 分；相对偏差 −2.50% 1 分；区分随机/系统误差 1 分；说明系统误差须靠校准 1 分。
易错点 把①判成偏大（忘记 v=s/t 在分母）；②只算一次方而漏平方放大；③硬给「偏大/偏小」而忽略它改变的是真值；④把未匀速数据照算不误；把系统误差当成多测几次就能抹平；相对偏差分母用错成 3.90。
三、规律小结与对照表
| 环节 | 公式/判据 | 本例值 | 作用 | 误用后果 |
|---|---|---|---|---|
| 匀速判据 | t₁=t₂（等距两半） | 2.00 s = 2.00 s | 确认收尾速度 | 未匀速即算，η 偏大 |
| 收尾速度 | v=s/t | 0.0500 m/s | 代入 η 式 | t 记小则 η 偏小 |
| 力平衡 | (ρ−ρ₀)(4/3)πr³g=6πηrv | — | 推出 η | 漏减浮力 |
| 黏滞系数 | η=2r²(ρ−ρ₀)g/(9v) | 0.6468 Pa·s | 主结果 | r 当直径 |
| 雷诺数 | Re=ρ₀v(2r)/η | 0.278 < 1 | 验层流前提 | 用 ρ 代 ρ₀ |
| 壁修正 | η/(1+2.4r/R) | 0.5482 Pa·s | 扣壁面附加阻力 | 乘反因子越修越大 |
| 半径误差 | η∝r² | +13.78% | 平方放大 | 按一次方估算 |
| 计时误差 | η∝t | −2.50% | 线性缩放 | 分母用错 |
| 温度 | 控温、注明温度 | 无单向偏差 | 保证共同真值 | 拿不同真值取平均 |
| 误差类型 | 随机 vs 系统 | — | 决定处理方式 | 重复测量消系统误差 |
落球法的答案不是「把数代进 η 公式」，而是先把三个前提验完：等距两段计时相等才算收尾速度，Re < 1 才算层流成立，r/R 不忽略才要壁修正。误差题一律回到 η ∝ r²·t 这一条：计时偏小线性偏小，半径记大平方放大，温度改变的是真值而非公式。最后记住重复测量只压随机误差，系统误差得靠校准。本例钢球、液体密度、管径与计时数据均为自编示意，不代表任何真实物质参数或工业配方。
四、自测清单
- □ 先等距分两段计时，t₁=t₂ 才用 v=s/t；
- □ 力平衡式写全：重力 − 浮力 = 6πηrv，不漏 ρ₀；
- □ r 用半径、2r 才用于 Re，单位统一换成 m；
- □ 算完必算 Re = ρ₀v(2r)/η，判 Re<1；
- □ 有限容器用 1/(1+2.4r/R) 修正，方向是变小；
- □ 误差题先写 η∝r²t，再判方向与放大倍数；
- □ 温度变化注明「真值改变、须控温」，不硬给单向偏差；
- □ 区分随机误差与系统误差，不靠多测几次消系统偏差。
