联招物理·气垫导轨验证动量守恒：遮光条与恢复系数

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

气垫导轨上滑块近似无摩擦，碰撞前后系统动量守恒；但动能是否守恒要看碰撞类型。测速靠光电门：滑块上宽 d 的遮光条通过时挡光 Δt，则 v = d / Δt。注意这是平均速度近似瞬时速度，d 要小；且方向由滑块运动方向定，碰后若反弹，v 要带负号。

三个判据固定：动量 m₁v₁+m₂v₂ = m₁v₁′+m₂v₂′；动能 只有弹性碰撞才相等；恢复系数 e = (v₂′−v₁′)/(v₁−v₂)，弹性 e=1、完全非弹性 e=0。下面质量、遮光条宽度与挡光时间均为自编示意数值，不代表任何真实测量。

二、逐题精讲

题1

题1 弹性碰撞：由挡光时间求速度并验守恒

自编示意装置：滑块 1 质量 m₁ = 0.300 kg，滑块 2 质量 m₂ = 0.200 kg，碰前 m₂ 静止；两滑块遮光条宽度均为 d = 2.00 cm。碰前滑块 1 挡光时间 Δt₁ = 0.0200 s；碰后两滑块挡光时间分别为 Δt₁′ = 0.100 s、Δt₂′ = 0.0167 s（均沿原方向）。

(1) 求碰前 v₁ 与碰后 v₁′、v₂′；(2) 验算碰前碰后总动量与总动能；(3) 求恢复系数 e，并判断碰撞类型。

解析

(2) 碰前动量 p = m₁v₁ = 0.300×1.00 = 0.300 kg·m/s；碰后 p′ = 0.300×0.200 + 0.200×1.20 = 0.060 + 0.240 = 0.300 kg·m/s，守恒。
碰前动能 Eₖ = ½×0.300×1.00² = 0.150 J；碰后 Eₖ′ = ½×0.300×0.200² + ½×0.200×1.20² = 0.0060 + 0.144 = 0.150 J，也守恒。

(3) e = (v₂′ − v₁′)/(v₁ − v₂) = (1.20 − 0.200)/(1.00 − 0) = 1.00，属弹性碰撞。
用公式回验：弹性碰撞 v₁′ = (m₁−m₂)/(m₁+m₂)·v₁ = (0.100/0.500)×1.00 = 0.200 m/s；v₂′ = 2m₁/(m₁+m₂)·v₁ = (0.600/0.500)×1.00 = 1.20 m/s，与由挡光时间读出的两值完全一致。两路互验是本实验最稳的核题手段：读数算一遍、守恒公式算一遍，不等就回查 Δt 或方向。

答案　(1) v₁=1.00 m/s，v₁′=0.200 m/s，v₂′≈1.20 m/s；(2) 动量 0.300=0.300 kg·m/s、动能 0.150=0.150 J 均守恒；(3) e=1.00，弹性碰撞；弹性公式回验两速度一致。

采分点　d 换算 0.0200 m 1 分；三个速度各 1 分；碰前动量 1 分；碰后动量 1 分；碰前动能 1 分；碰后动能 1 分；e=1.00 与类型判断 1 分；用弹性公式回验 1 分。

易错点　把 Δt 直接当速度比（认为 v₁′/v₁ = 0.100/0.0200 = 5）；d 忘换成米；把 v₂′=0.0200/0.0167 算成 0.012 m/s；碰后动能漏算某一滑块；把「动能守恒」当成所有碰撞都成立；忽略取位带来的 1.198 与 1.20 之差而不说明。

题2

题2 完全非弹性碰撞与误差方向

仍用上题 m₁ = 0.300 kg、m₂ = 0.200 kg、v₁ = 1.00 m/s、v₂ = 0，改用粘合式碰撞（碰后两滑块连在一起运动）。

(1) 求共同速度 v 与对应的遮光时间 Δt（d = 0.0200 m）；(2) 求碰前总动能、碰后总动能与动能损失（含损失百分比）；(3) 求恢复系数 e；(4) 若把 20 次全振动式的计时思路误用过来，把「碰后 0.100 s 的挡光时间」记成 0.0900 s，求由此算出的 v₁′ 与动量，并判断动量是否仍守恒、说明这属于哪类误差。

解析

(2) 碰前 Eₖ = ½×0.300×1.00² = 0.150 J；碰后 Eₖ′ = ½×0.500×0.600² = ½×0.500×0.360 = 0.090 J；损失 ΔE = 0.150 − 0.090 = 0.060 J，占 40.0%。
用公式回验：完全非弹性碰撞损失比例 = m₂/(m₁+m₂) = 0.200/0.500 = 0.400，与 0.060/0.150 = 0.400 一致。动量仍守恒、动能不守恒——这正是两类碰撞的分界，不能写出「动能损失所以动量不守恒」。

(3) e = (v₂′ − v₁′)/(v₁ − v₂) = (0.600 − 0.600)/1.00 = 0，属完全非弹性碰撞；e=1 与 e=0 正好是上题与本题的两个端点。

(4) 按 0.0900 s 读数：v₁′ = 0.0200/0.0900 = 0.222 m/s（真值 0.200）。若仍按弹性公式取 v₂′ = 1.20 m/s 不变，算得 p′ = 0.300×0.222 + 0.200×1.20 = 0.0667 + 0.240 = 0.307 kg·m/s，与碰前 0.300 不再相等，表面上看「动量不守恒」。
这是测量（偶然／读数）误差挡光时间偏小导致速度偏大，不是物理规律失效：动量守恒定律在此仍成立，偏差 0.0067 kg·m/s 约 2.2% 应归因于 Δt 的读数。处理办法是多次测量取平均、用更窄的遮光条、检查光电门是否正对；不能据此修改守恒式，也不能把偏差写成「系统误差使动量增加」。

答案　(1) v=0.600 m/s，Δt=0.0333 s；(2) 0.150 J→0.090 J，损失 0.060 J＝40.0%（=m₂/(m₁+m₂)）；(3) e=0；(4) v₁′=0.222 m/s、p′=0.307 kg·m/s，表面不守恒，属挡光时间读数偏小引起的测量误差（约 +2.2%），非规律失效。

采分点　共同速度 0.600 m/s 1 分；Δt 0.0333 s 1 分；碰前动能 1 分；碰后动能 1 分；损失 0.060 J 与 40.0% 1 分；公式 m₂/(m₁+m₂) 回验 1 分；e=0 1 分；第(4)问速度与动量 1 分；判为测量误差并说明处理 1 分。

易错点　把完全非弹性碰撞写成「动量不守恒」；共同速度算成 (m₁−m₂)/(m₁+m₂)·v₁（那是弹性公式）；把动能损失比例算成 m₁/(m₁+m₂)=60%；把读数误差当成定律失效并去「修正」守恒式；忘记 Δt 偏小则 v 偏大的方向。

三、规律小结与对照表

气垫导轨题三步：由 d/Δt 换速度（含方向）、分别列动量与动能、用 e 判碰撞类型。弹性案 e=1、动能守恒且公式与读数两路互验；粘合案 e=0、动量仍守恒而动能损失 m₂/(m₁+m₂)=40%。最后记住：读数偏差造成的是「看起来不守恒」，先查 Δt 与导轨调平，不要改守恒式。质量、2.00 cm 遮光条、0.0200 s 等时间均为自编示意数值，不代表任何真实测量；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

四、自测清单

• □ 先统一 d 的单位，再用 v=d/Δt 换出每个速度；
• □ 碰后若反弹，给速度带上负号再列动量；
• □ 动量与动能分开验，别把「动能损失」说成动量不守恒；
• □ 弹性案用公式回验读数，粘合案用 m₂/(m₁+m₂) 回验损失比例；
• □ e=1 / e=0 两个端点先定，再谈中间情形；
• □ 出现「不守恒」先查挡光时间、遮光条宽度与导轨调平。