联招物理·弹簧振子测劲度系数与等效质量

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

弹簧振子周期 T = 2π√(m/k)；若把弹簧自身质量 m_s 计入，一阶修正是 T = 2π√((m + m_s/3)/k)（弹簧各点速度不同，等效为 m_s/3）。两边平方得
T² = (4π²/k)·m + (4π²/k)·(m_s/3)——T²–m 是直线，斜率给 k，截距给等效质量，截距不为零不是实验做坏了。

三个固定动作：周期由总时间除以全振动次数（N 次全振动用时 t，则 T = t/N，不是 t/(N−1)）；周期与振幅无关（简谐近似内）；判误差方向代回 k = 4π²m/T²，T 记大则 k 偏小。下面质量、时间与拟合值均为自编示意数值，不代表真实测量。

二、逐题精讲

题1

题1 由周期求 k 与计数误差

自编示意装置：弹簧下挂砝码，m = 0.200 kg（先忽略弹簧质量），测 20 次全振动总用时 t = 12.566 s。

(1) 求周期 T 与劲度系数 k；(2) 若把振幅从 2.0 cm 改为 5.0 cm，周期与 k 是否变化？说明理由；(3) 若把「20 次」误记成 19 次，求由此算出的 T 与 k，并判断 k 偏大还是偏小。

解析

(2) 都不变：简谐运动的周期只由 m 与 k 决定，与振幅无关（等时性）。把振幅从 2.0 cm 改到 5.0 cm，只要仍在弹簧弹性限度与小幅近似内，T 仍为 0.6283 s、k 仍为 20.0 N/m。
前提是「简谐近似成立」：振幅过大使弹簧非线性、或超出弹性限度，等时性就不再严格成立，这一点答题时应写明，不能无条件说「永远不变」。

(3) 误记 19 次：T′ = 12.566/19 = 0.6614 s（比真值大），T′² ≈ 0.4374，故 k′ = 39.478×0.200/0.4374 ≈ 18.1 N/m。
k 偏小约 9.7%。方向判据：k = 4π²m/T² 中 T 在分母且平方，把次数记少 → T 偏大 → k 偏小；也可用比值 k′/k = (20/19)² ≈ 1.108 的倒数 ≈ 0.903，即偏低 9.7%，两路一致。
这类属计数/操作误差，不是仪器系统误差；处理办法是重复计数、以平衡位置为计时起止点（速度最大、判位最准），不要去改公式。

答案　(1) T=0.6283 s，k=20.0 N/m；(2) 振幅改变 T 与 k 均不变（简谐近似内），须注明弹性限度前提；(3) 误记 19 次得 T′=0.6614 s、k′≈18.1 N/m，k 偏小约 9.7%，属计数误差。

采分点　T=t/N=0.6283 s 1 分；k=4π²m/T² 1 分；k=20.0 N/m 1 分；反向回验 1 分；(2) 周期与振幅无关 1 分；弹性限度前提 1 分；(3) T′ 1 分；k′ 1 分；方向判据与比值 1 分；判为计数误差 1 分。

易错点　把 12.566 s 直接当周期；用 t/(N−1)=12.566/19 求周期（那是条纹间隔的口径，别混）；认为振幅变大周期变长；把「简谐」无条件推广到大振幅；把次数记少说成 k 偏大；漏反向回验。

题2

题2 T²–m 图、截距与等效质量

改用不同砝码多次测量并作 T²–m 图，得一直线（自编示意拟合）：斜率 a = 1.9739 s²/kg，截距 b = 0.019739 s²；另给弹簧自身质量 m_s = 0.0300 kg。

(1) 由斜率求 k；(2) 由截距求弹簧的等效质量，并与 m_s/3 比较；(3) 当 m = 0.200 kg 时，求计入等效质量后的周期 T，并与题1 的 0.6283 s 比较；(4) 说明为什么截距不能强行归零。

解析

(2) 截距 b = a·(m_s/3)，故等效质量 m_eq = b/a = 0.019739/1.9739 = 0.0100 kg。而 m_s/3 = 0.0300/3 = 0.0100 kg，两者完全吻合 ✓。
若写成 m_s（0.0300 kg）就错了：弹簧各圈速度从固定端到振子端线性变化，动能积分后等效为总质量的 1/3，不是全部。

(3) 计入等效质量：m_total = 0.200 + 0.0100 = 0.210 kg。
T = 2π√(0.210/20.0) = 2π√0.0105 = 2π×0.10247 = 0.6438 s。
比题1 忽略弹簧质量时的 0.6283 s 大约 2.5%（√(0.210/0.200)=√1.05≈1.0247）。也可由 T² = a·m + b = 1.9739×0.200 + 0.019739 = 0.39478 + 0.019739 = 0.414519 s²，开方得 0.6438 s ✓，两路闭合。

(4) 截距对应弹簧自身参与振动的等效质量，是物理实在，不是拟合没做好。若强行把直线过原点，等于假定 m_s = 0：一方面斜率会被截距「拉偏」，使 k 系统性偏离真值；另一方面小 m 处的周期会被低估（本题 m=0.200 kg 时会把 0.6438 s 写成 0.6283 s，偏低 2.5%）。正确做法是保留截距：斜率给 k，截距给 m_eq = m_s/3，两者各自有物理意义；若确要消除其影响，应换更轻的弹簧或增大砝码质量使 b/a·m 相对变小，而不是改数据。

答案　(1) k=4π²/a=20.0 N/m；(2) m_eq=b/a=0.0100 kg = m_s/3；(3) T=2π√(0.210/20.0)=0.6438 s，比 0.6283 s 大约 2.5%（T²=a·m+b 一路同值）；(4) 截距是弹簧等效质量的物理项，强行归零会拉偏斜率、低估小 m 处周期。

采分点　由斜率求 k 1 分；与题1一致 1 分；m_eq=b/a 1 分；与 m_s/3 比较 1 分；说明 1/3 来源 1 分；(3) m_total 1 分；T=0.6438 s 1 分；T²=a·m+b 回验 1 分；比较 2.5% 1 分；(4) 两条理由 1 分。

易错点　把等效质量写成 m_s=0.0300 kg；把截距当成「没调零」而删掉；由截距求 k（混淆斜率与截距的物理意义）；(3) 漏加 0.0100 kg；把 T²=a·m+b 写成 T=a·m+b（没平方）；把 2.5% 算成 5%。

三、规律小结与对照表

弹簧振子题的两条线：单点用 T=t/N 与 k=4π²m/T²，多点用 T²–m 直线——斜率给 k、截距给 m_s/3。截距不是误差，是弹簧自己在动；强行过原点会把 k 拉偏、把小 m 处的周期低估（本题低 2.5%）。再守住「周期与振幅无关（简谐近似内）」与「次数记少 → T 大 → k 小」。0.200 kg、12.566 s、20.0 N/m 与 0.0100 kg 均为自编示意数值，不代表真实测量；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

四、自测清单

• □ 周期一律用总时间除以全振动次数 N；
• □ 单点求 k 后反向代回 T 验一次；
• □ 说明「振幅无关」时写明弹性限度/简谐前提；
• □ T²–m 图分清零件：斜率→k，截距→m_s/3；
• □ 等效质量是 m_s/3，不是 m_s；
• □ 判误差方向代回 k=4π²m/T²，别凭印象。