联招物理·测电源电动势与内阻：安阻法、伏阻法的系统误差

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

先写含电表内阻的真实方程，再谈「忽略」带来的偏差：

安阻法（电流表内阻 R_A 与电源串联）：E = I(R + r + R_A) → 1/I = R/E + (r+R_A)/E。作 1/I–R 图，斜率 1/E、截距 (r+R_A)/E。若按理想表处理（把截距当成 r/E），得 r_meas = r + R_A，E 准确、r 偏大 R_A。

伏阻法（电压表内阻 R_V 与 R 并联分流）：1/U = 1/E + (r/E)(1/R + 1/R_V)，截距变成 (1/E)(1+r/R_V)，故 E_meas = E/(1+r/R_V)、r_meas = r/(1+r/R_V)，两者都偏小。下面数值均为自编示意，不代表真实测量。

二、逐题精讲

题1

题1 安阻法：由两组读数求 E、r 与偏大量

自编示意：电源真值 E = 1.500 V、r = 1.00 Ω，电流表内阻 R_A = 0.500 Ω。用电阻箱取两组值，读得：

R₁ = 2.00 Ω → I₁ = 0.4286 A；R₂ = 5.00 Ω → I₂ = 0.2308 A。

(1) 由 1/I–R 直线的斜率与截距求 E 与「表观内阻」；(2) 说明为什么 E 准确而表观内阻偏大，并求出真值 r；(3) 若实验者完全不知 R_A，报告 r = 1.50 Ω，指出偏大量与相对偏差。

解析

(2) 真实方程 E = I(R + r + R_A) 中，R_A 与 r 串联、地位完全相同，所以线性化后截距装的是 (r + R_A)/E。斜率只由 1/E 决定，不含 R_A，故 E 测得准确；而按理想表把截距读成 r/E，就把 R_A 一并算进了内阻。
由 r_app = r + R_A 得真值 r = 1.50 − 0.500 = 1.00 Ω，与题给真值闭合 ✓。
等效解释：从电阻箱两端看进去，电流表内阻与电源内阻串在同一条回路里无法区分，安阻法只能测到「两者之和」。

(3) 偏大量 = r_app − r = 0.500 Ω = R_A；相对偏差 = 0.500/1.00 = +50.0%。
注意这个相对偏差很大，是因为本示意取 R_A 与 r 同量级；真实实验里应选 R_A ≪ r 的电流表，或事先测出 R_A 并在结果中扣除。不能靠多测几组取平均消除——这是系统误差，不随次数收敛。

答案　(1) 斜率 0.6667→E=1.500 V，截距 1.0000→r_app=1.50 Ω；(2) 截距实为 (r+R_A)/E，斜率不含 R_A，故 E 准、r 偏大；真值 r=1.00 Ω；(3) 偏大 0.500 Ω（＝R_A），相对 +50.0%，属系统误差不能靠多次测量消除。

采分点　两次 1/I 1 分；斜率与 E 1 分；截距 1 分；r_app 1 分；写出含 R_A 的方程 1 分；说明斜率不含 R_A 1 分；r 真值 1 分；偏大量 1 分；相对偏差与系统误差性质 1 分。

易错点　把 1/I₁ 直接当 I₁ 用；斜率算成 ΔR/Δ(1/I)（倒置）；把 r_app 当成真值；说「多测几组取平均可消除」；把偏大量写成 R_A/2；忽略 R_A≪r 的选表条件。

题2

题2 伏阻法：有限内阻 R_V 使 E、r 同向偏小

自编示意：同一电源（E = 1.500 V，r = 1.00 Ω），改用电压表内阻 R_V = 1000 Ω 的伏阻法。

(1) 写出含 R_V 的 1/U–1/R 方程，指出截距与斜率各变成什么；(2) 求忽略 R_V 时测得的 E_meas 与 r_meas（用解析式），并给出数值；(3) 比较伏阻法与安阻法的误差方向，说明为什么一个「E 准」一个「E 也偏小」；(4) 若把 R_V 增大到 10000 Ω，求新的相对偏差。

解析

(2) 按理想公式处理：由截距取倒数得 E_meas = E/(1 + r/R_V)；由「斜率 = r_meas/E_meas」得 r_meas = (r/E)·E_meas = r/(1 + r/R_V)。
代入 r/R_V = 1.00/1000 = 0.001：
E_meas = 1.500/1.001 = 1.4985 V，偏小 0.1%；
r_meas = 1.00/1.001 = 0.9990 Ω，偏小 0.1%。
两者同向偏小、且相对偏差相同（都乘了因子 1/(1+r/R_V)），这是伏阻法有限内阻的特征。

(3) 安阻法：R_A 与 r 串联，只进截距、不进斜率，斜率仍严格等于 1/E，故 E 准确、r 偏大 R_A。
伏阻法：R_V 的分流改变了截距的系数（乘了 1+r/R_V），而 E 由截距取倒数得到，于是 E 被一并拉偏；r 又由「斜率/E_meas」联动，故一起偏小。
一句话：串联附加电阻只污染「和内阻有关的量」，并联分流连「电动势标尺」一起动了。两法的误差都属系统误差，不随测量次数收敛。

(4) R_V = 10000 Ω 时 r/R_V = 1.00×10⁻⁴，因子 1/(1+1e−4) ≈ 0.99990001，故 E 与 r 的相对偏差均约 −0.0100%（E_meas ≈ 1.49985 V，r_meas ≈ 0.99990 Ω）。
与 R_V=1000 Ω 时的 −0.1% 相比，R_V 增大 10 倍，偏差约降为 1/10，印证「选 R_V ≫ r 的电压表」这一选表原则；也可用解析式 相对偏差 ≈ −r/R_V（当 r/R_V ≪ 1）快速估算。

答案　(1) 1/U=(1/E)(1+r/R_V)+(r/E)(1/R)，截距含 (1+r/R_V)、斜率 r/E；(2) E_meas=1.4985 V、r_meas=0.9990 Ω，均偏小 0.1%；(3) 串联 R_A 只进截距不动斜率故 E 准，并联 R_V 改了截距系数故 E、r 同向偏小；(4) R_V=10000 Ω 时相对偏差约 −0.0100%（降为 1/10）。

采分点　写出含 R_V 的方程 1 分；截距/斜率各 1 分；E_meas 解析式 1 分；r_meas 解析式 1 分；两个数值 1 分；同向偏小且比例相同 1 分；(3) 两法机理对比 1 分；(4) 数值与 1/10 结论 1 分；近似式 −r/R_V 1 分。

易错点　把伏阻法方程写成 1/U = 1/E + (r/E)(1/R)（漏 R_V 项）；把 E_meas 写成 E(1+r/R_V)（方向反）；只算 E 不算 r；(3) 说「两法都偏大」或「E 都不受影响」；(4) 把 −0.01% 写成 −1%；误把系统误差当偶然误差。

三、规律小结与对照表

两法误差分界一句话：安阻法的 R_A 串联，只进截距不进斜率，所以 E 准、r 偏大 R_A；伏阻法的 R_V 并联分流，改了截距系数，所以 E 与 r 同乘 1/(1+r/R_V) 一起偏小。偏差都是系统误差，多测几组不收敛，只能靠选表（R_A≪r、R_V≫r）或先验出内阻再扣除。E=1.500 V、r=1.00 Ω、R_A=0.500 Ω、R_V=1000/10000 Ω 均为自编示意数值，不代表真实测量；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

四、自测清单

• □ 先写含电表内阻的真实方程，再线性化；
• □ 安阻法：斜率 1/E 不含 R_A，截距是 (r+R_A)/E；
• □ 伏阻法：截距系数 (1+r/R_V)，E、r 同向偏小；
• □ 由解析式算数值，不只写「偏大/偏小」；
• □ 两法都判为系统误差，不靠多次测量消除；
• □ 用 R_V 增大 10 倍偏差降 1/10 回验近似式 −r/R_V。