联招数学·函数零点与二分法：精度与迭代次数 - 例题精讲

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

例题精讲 · 数学导数与解三角形

一、考点定位与做题顺序

先把定理的方向说清：f 在 [a,b] 上连续且 f(a)·f(b) < 0 ⇒ (a,b) 内至少有一个零点。这是充分条件，不是必要——两端同号也可能有零点（如 f(x)=x² 在 [−1,1]，f(−1)=f(1)=1>0，却有零点 x=0，且是偶重根，二分法无法用变号定位）。

三个固定动作：用 f′(x) 的符号证单调性→唯一零点；逐次取中点、按 f(mid) 的符号缩半区间；由区间长度 (b−a)/2ⁿ < 精度 ε 反解 n（不是 n < 1/ε）。下面函数与精度均为自编示意数值。

二、逐题精讲

题1

题1 存在性、唯一性与逐次二分

设 f(x) = x³ + x − 1（自编示意函数）。

(1) 证明 f 在 [0,1] 上有且只有一个零点；(2) 用二分法做 4 次，写出每次中点、中点函数值的符号与缩半后的区间；(3) 给出 4 次后的零点所在区间长度，并求真实根的近似值作回验。

解析

(1) f(0) = −1 < 0，f(1) = 1 + 1 − 1 = 1 > 0，故 f(0)·f(1) < 0；f 是多项式、在 [0,1] 连续，由零点存在定理知 (0,1) 内至少有一个零点。
又 f′(x) = 3x² + 1 > 0 对一切 x 成立，故 f 在 R 上严格单调递增，零点至多一个。合起来：有且只有一个零点。
（只写「f(0)f(1)<0 所以有零点」不给满分——「唯一」必须由单调性补上。）

(2) 逐次（记区间 [a,b]，中点 m，按 f(m) 符号缩半）：
第 1 次：m = 0.5，f(0.5) = 0.125 + 0.5 − 1 = −0.375 < 0 → 零点在 [0.5, 1]；
第 2 次：m = 0.75，f(0.75) = 0.421875 + 0.75 − 1 = +0.171875 > 0 → [0.5, 0.75]；
第 3 次：m = 0.625，f(0.625) = 0.244141 + 0.625 − 1 = −0.130859 < 0 → [0.625, 0.75]；
第 4 次：m = 0.6875，f(0.6875) = 0.324951 + 0.6875 − 1 = +0.012451 > 0 → [0.625, 0.6875]。
每次都用端点异号那一半替换，区间始终包住零点。

(3) 初始长度 1，4 次后长度 = 1/2⁴ = 0.0625，零点落在 [0.625, 0.6875] 内。
真实根由 x³+x−1=0 数值求得 x* ≈ 0.682328；回代：0.682328³ ≈ 0.317672，+0.682328 = 1.000000 ✓，且 0.682328 ∈ [0.625, 0.6875] ✓，与二分结果一致。若取区间中点 0.65625 作近似，误差约 0.0261，小于区间长度 0.0625，也自洽。

答案　(1) f(0)=−1、f(1)=1 变号，且 f′=3x²+1>0 严格增，故唯一零点；(2) 四次区间依次为 [0.5,1]→[0.5,0.75]→[0.625,0.75]→[0.625,0.6875]；(3) 长度 0.0625，真实根≈0.682328 落在区间内，回代闭合。

采分点　f(0)/f(1) 符号 1 分；零点存在定理 1 分；f′>0 与唯一性 1 分；四次中点与符号各 1 分（共 4 分）；区间长度 1/16 1 分；真实根与回代 1 分；落在区间内 1 分。

易错点　只证存在不证唯一；f(0.75) 的 0.75³ 算成 0.5625；第 3 次把区间缩错方向；(3) 把长度写成 1/4；把真实根写成 0.625 或 0.6875 端点；忘记强调 f 连续这一前提。

题2

题2 精度与迭代次数、不可二分的反例

(1) 对上题 [0,1] 上的 f，若要求零点所在区间长度小于 ε = 0.1，最少需要二分多少次？若 ε = 0.01 呢？(2) 举出两类「f(a)f(b) > 0 却仍有零点、因而不能直接用二分」的情形，各给一个自编示意函数与区间；(3) 说明为什么二分法对「精度」的保证来自区间长度而不是「f(mid) 接近 0」。

解析

(1) n 次后长度 = (b−a)/2ⁿ = 1/2ⁿ。要求 1/2ⁿ < ε：
ε = 0.1：2ⁿ > 10 → 2³=8 不够、2⁴=16 够，故 n ≥ 4（1/16=0.0625 < 0.1），与题1 做 4 次一致。
ε = 0.01：2ⁿ > 100 → 2⁶=64 不够、2⁷=128 够，故 n ≥ 7（1/128=0.0078125 < 0.01）。
注意不是 n=10 或 n=100：条件是指数式的 2ⁿ > 1/ε，不是 n > 1/ε；通式 n > log₂(1/ε)，ε=0.1 时 log₂10≈3.32 取 4，ε=0.01 时 log₂100≈6.64 取 7，两路一致。

(2) 两类反例（均为自编示意）：
① 偶重根（相切不穿轴）：f(x) = x² 在 [−1, 1] 上，f(−1)=f(1)=1 > 0（同号），但 x=0 是零点；函数在该点不变号，二分法靠「变号」定位，故无从下手。
② 区间内有两个零点、两端同号：g(x) = (x−0.3)(x−0.7) 在 [0, 1] 上，g(0)=0.21 > 0、g(1)=0.21 > 0（同号），但区间内有 0.3 与 0.7 两个零点；两端异号这一充分条件不成立，直接二分会误判「无零点」。
还可补一类③ 不连续：分段函数在跳变处跨过 0 但不取到 0，此时连零点存在定理的前提（连续）都不成立。答两类即可，但要点明「充分非必要」。

答案　(1) ε=0.1 需 n≥4（1/16=0.0625）；ε=0.01 需 n≥7（1/128=0.0078125）；通式 n>log₂(1/ε)。(2) 偶重根 x² 在[−1,1]；双零点 (x−0.3)(x−0.7) 在[0,1]；另可举不连续。(3) 精度由区间长度给误差上界，|f(mid)| 小不代表自变量近零点，不能作停机准则。

采分点　(1) 两个 n 各 1 分；通式 1 分；指出不是 n>1/ε 1 分；(2) 两类反例各 1 分并说明「同号却有零点」1 分；点明充分非必要 1 分；(3) 区间长度给误差上界 1 分；说明平缓/陡峭反例 1 分；指出不能用 |f(mid)| 停机 1 分。

易错点　把 ε=0.1 答成 10 次、ε=0.01 答成 100 次；把二分法说成「两端同号就没有零点」；只举一个反例；把精度理解成 f(mid)→0；忽略「连续」这一定理前提；把 1/128 算成 0.078125。

三、规律小结与对照表

要点	关系/条件	自编示意结果	易错
存在定理	连续 + f(a)f(b)<0 ⇒ 有零点	f(0)=−1, f(1)=1	当成充要
唯一性	f′=3x²+1>0 严格增	唯一零点	只证存在
逐次折半	按 f(mid) 符号取异号半	[0.5,1]→…→[0.625,0.6875]	缩半方向反
区间长度	(b−a)/2ⁿ	4 次后 0.0625	写成 1/4
精度 ε=0.1	2ⁿ>10	n≥4	答 10 次
精度 ε=0.01	2ⁿ>100	n≥7（1/128=0.0078125）	答 100 次
通式	n>log₂(1/ε)	3.32→4，6.64→7	写成 n>1/ε
偶重根	x² 在[−1,1]，同号	零点 0 不变号	说无零点
双零点	(x−0.3)(x−0.7) 在[0,1]	0.3 与 0.7	两端同号即判无
停机准则	按区间长度	误差 ≤ 长度	用 \|f(mid)\|
真实根	x³+x−1=0	≈0.682328	取端点当根

二分法三句话：「连续＋变号」只给存在，单调性才给唯一；每次按 f(mid) 的符号缩半；精度由 (b−a)/2ⁿ < ε 定次数（ε=0.1 要 4 次、ε=0.01 要 7 次，不是 10 和 100）。再记两类反例：偶重根与区间内双零点，都是「两端同号却仍有零点」——定理是充分非必要。停机看区间长度，别看 |f(mid)| 小不小。x³+x−1、0.682328 与 1/128 均为自编示意数值；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

四、自测清单

□ 先写「连续 + f(a)f(b)<0」证存在，再用 f′ 证唯一；
□ 逐次二分后检查端点仍异号；
□ 精度用 2ⁿ > 1/ε 反解 n，不是 n > 1/ε；
□ 记得举「两端同号却有零点」的反例说明充分非必要；
□ 停机准则取区间长度，不以 |f(mid)| 为准；
□ 用真实根回代并确认落在最终区间内。