联招数学·实系数方程的虚根成对：判别式、韦达与模

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

实系数方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）当 Δ = b² − 4ac < 0 时，求根公式写成
x = −b/(2a) ± i·√(4ac − b²)/(2a)，两根实部相同、虚部相反，即 x₂ = conj(x₁)。

三条可互验：① 韦达仍成立（x₁+x₂ = −b/a，x₁x₂ = c/a，虚部自动抵消）；② 模的平方 |x|² = x·conj(x) = c/a；③ 判别式 |x₁ − x₂|² = −Δ/a²。算完至少用两条回代。下面系数与根为自编示意数据。

二、逐题精讲

题1

题1 求根与三重回验

自编方程：x² − 4x + 13 = 0。

(1) 求判别式并判定根的类型；写出两根。(2) 用韦达定理、模的平方、根的差三条分别回验。(3) 若把常数项误抄成 12（即 x² − 4x + 12 = 0），根的虚部变为多少？说明 Δ 与虚部的关系。

解析

(2) 三重回验：
韦达：x₁+x₂ = (2+3i)+(2−3i) = 4 = −b/a = 4 ✓；x₁x₂ = 2² + 3² = 13 = c/a = 13 ✓（也可直接 (2+3i)(2−3i)=4−9i²=13）。
模：|x₁| = √(2²+3²) = √13；|x₁|² = 13 = c/a ✓，且 |x₁| = |x₂|（共轭模相等）。
根的差：x₁ − x₂ = 6i，|x₁ − x₂|² = 36；而 −Δ/a² = 36/1 = 36 ✓。三条全闭合。

(3) 常数项改为 12：Δ = 16 − 48 = −32；x = 2 ± i·√32/2 = 2 ± 2√2 i（√32 = 4√2，除以 2 得 2√2 ≈ 2.828）。
关系：虚部大小 = √(−Δ)/(2a)。c 从 13 降到 12，|Δ| 从 36 降到 32，虚部从 3 降到 2√2 ≈ 2.828，随 |Δ| 单调减小；实部 −b/(2a) = 2 不变。再看模：|x|² = c/a 由 13 降为 12，|x| 由 √13 ≈ 3.606 降为 √12 ≈ 3.464，与虚部变小一致。

答案　(1) Δ=−36，共轭虚根 x=2±3i。(2) 韦达：和为4、积为13；|x|²=13=c/a；|x₁−x₂|²=36=−Δ/a²，三条均闭合。(3) c=12 时 Δ=−32，x=2±2√2 i；虚部=√(−Δ)/(2a)，实部不变。

采分点　Δ=−36 并判共轭虚根 1 分；写出 2±3i 1 分；韦达和=4 1 分；韦达积=13 1 分；|x|²=13=c/a 1 分；|x₁−x₂|²=36=−Δ/a² 1 分；c=12 时虚部 2√2 1 分；说明虚部随 |Δ| 变、实部不变 1 分。

易错点　把 √(−36) 写成 6 而漏 i；求根时把 −b/(2a) 算成 −2；以为虚根下韦达失效；用 |x|²=a/c 把分子分母写反；把 √32/2 化简成 √8 后不再化成 2√2。

题2

题2 由一根反推系数与「实系数」前提

自编条件：某实系数二次方程的一个根为 x₁ = 1 + 2i，且常数项为 c = 5（二次项系数 a = 1）。

(1) 写出另一根，并求 b 与 Δ。(2) 用 |x|² = c/a 回验 c，并说明「实系数」这一前提为什么不可省。(3) 若去掉实系数限制、允许复系数，能否由「一根 1+2i、c=5、a=1」唯一确定方程？举例说明。

解析

(2) 模回验：|x₁|² = 1²+2² = 5 = c/a = 5/1 ✓；|x₂|² 同为 5。
「实系数」不可省的理由：共轭成对只在系数全为实数时成立。证明很直接：若 a,b,c ∈ ℝ 且 ax₁²+bx₁+c=0，两边取共轭得 a·conj(x₁)² + b·conj(x₁) + c = 0，即 conj(x₁) 也是根。若 b 或 c 是复数，取共轭后系数变了，等式不再成立，另一根不必是 1−2i。
顺带一条：本题还可由 |x|² = c/a 直接反推 c = a|x₁|² = 5——但这一步同样依赖共轭成对（否则 x₁x₂ ≠ |x₁|²），所以前提仍是实系数。

(3) 不能唯一确定。 设另一根为任意复数 t，则 x₁ + t = −b，x₁·t = c/a = 5 ⇒ t = 5/(1+2i) = 5(1−2i)/5 = 1 − 2i，此时 b = −(x₁+t) = −2 ——看起来唯一？注意这里 c/a = x₁x₂ 的韦达关系并不要求系数为实数，只要 a=1、c=5 给定，t 就由乘积定死为 1−2i，b 也随之定为 −2。
修正说明（如实登记）：在 a=1 且 c=5 都固定的条件下，即使允许复系数，另一根仍被乘积锁定为 1−2i、方程仍唯一为 x²−2x+5=0。真正不唯一的情形是只固定 a 与 c、却允许 b 为复数时仍须满足乘积——但乘积已把 t 定死，故本小问应改为：若只给「一根 1+2i、a=1」而不给 c，则 t 任意、c=t(1+2i)、b=−(1+2i+t)，方程无穷多；例如取 t = 2（实数），得 c = 2+4i、b = −3−2i，方程 x² + (−3−2i)x + (2+4i)=0 有根 1+2i，但另一根不是其共轭。
结论：共轭成对的唯一依据是「实系数」，与「给了多少项系数」是两件事；本题 (3) 按原题面（a、c 均固定）会退化为唯一解，故把不唯一的条件明确为不固定 c，并在下方清单登记这一口径更正。

答案　(1) 另一根 1−2i，b=−2，Δ=−16，方程 x²−2x+5=0。(2) |x|²=5=c/a ✓；共轭成对只在系数全实时成立。(3) 原题面 a、c 固定时仍唯一；正确不唯一条件是「只给一根与 a、不固定 c」，此时另一根可任取，如实登记口径更正。

采分点　写出 1−2i 1 分；b=−2 1 分；Δ=−16 1 分；|x|²=5=c/a 1 分；用取共轭证明实系数前提 1 分；指出 a、c 固定时乘积锁定 t 1 分；给出不固定 c 的反例 1 分；如实登记 (3) 口径更正 1 分。

易错点　不由共轭直接写另一根，却把 b 算成复数；把 |x|²=c/a 用到复系数情形；把 Δ 算成正数；(3) 直接答「一定不唯一」而忽略 a、c 已固定；发现题面退化后悄悄改答案不登记。

三、规律小结与对照表

实系数二次方程 Δ<0 时，两根必共轭：实部相同、虚部相反。算完用三条回代——韦达和 −b/a、韦达积 c/a、模的平方 |x|² = c/a，再加 |x₁−x₂|² = −Δ/a² 独立验一次。最要紧的前提是「实系数」：只有系数全实，取共轭后方程不变，conj(x₁) 才必为另一根。本题 (3) 还如实登记了一处口径更正：a 与 c 都固定时乘积会锁定另一根，真正的不唯一须不固定 c——发现题面退化就明说，不悄悄改答案。本题系数、根与模值均为自编示意数据。

四、自测清单

• □ 先算 Δ，Δ≥0 不进入共轭虚根流程；
• □ 写根时保留 i，实部用 −b/(2a)；
• □ 用韦达和与积各回代一次；
• □ 用 |x|²=c/a 验模，并确认两根模相等；
• □ 用 |x₁−x₂|²=−Δ/a² 做第四条独立回验；
• □ 凡用共轭成对，先确认题面写了「实系数」。