题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
两个工具先摆好：几何——|x−a| 是数轴上 x 到 a 的距离，故 |x−a|+|x−b| ≥ |a−b|（三角不等式），等号当且仅当 x 落在 a、b 之间；代数——以 x=a、x=b 为零点把数轴切成三段，逐段去绝对值符号再解，最后把各段解集并起来并与本段范围取交。
两个提醒：分段解必须回代本段范围（解出的 x 若不在该段要舍）；含参恒成立先把它化成「函数最小值 ≥ 常数」，再反解参数。下面 a、b、参数与区间均为自编示意数值。
二、逐题精讲
题1
题1 分段解不等式与几何回验
设 f(x) = |x − 1| + |x − 3|（自编示意表达式）。
(1) 求 f(x) 的最小值及取到最小值的 x 范围；(2) 解不等式 f(x) ≤ 4；(3) 用几何意义说明为什么 f(x) 没有最大值。
解析
(1) 由三角不等式 |x−1|+|x−3| ≥ |3−1| = 2，等号当 x ∈ [1, 3]。逐段验算：x ≤ 1：f = (1−x)+(3−x) = 4−2x，随 x 增大而减，在 x=1 取 2；
1 < x < 3：f = (x−1)+(3−x) = 2（常数）；
x ≥ 3：f = (x−1)+(x−3) = 2x−4，在 x=3 取 2。
故 最小值 2，x ∈ [1,3]。注意不能写 0：两段距离之和是「到 1 与到 3 的距离相加」，x 落在两点之间时恰等于两点间距 2，不可能更小。
(2) 以 1、3 分三段，逐段解并与本段范围取交：
x ≤ 1：4−2x ≤ 4 → −2x ≤ 0 → x ≥ 0，与本段交得 [0, 1]；
1 < x < 3：f = 2 ≤ 4 恒成立，整段 (1, 3) 保留；
x ≥ 3：2x−4 ≤ 4 → 2x ≤ 8 → x ≤ 4，与本段交得 [3, 4]。
并集 [0,1] ∪ (1,3) ∪ [3,4] = [0, 4]。
几何回验：f(x) ≤ 4 即「到 1、3 两段距离之和不超过 4」；最小值 2 在中间，两侧各线性增长，端点由 4−2x=4 得 x=0、由 2x−4=4 得 x=4，区间对称于 x=2，与 [0,4] 一致 ✓。
(3) 当 x → +∞ 时 f(x) = 2x−4 → +∞；当 x → −∞ 时 f(x) = 4−2x → +∞。几何上就是「点 x 越往数轴两端走，到 1 与到 3 的距离之和越大，没有上界」，故 f(x) 无最大值（只有最小值 2）。这一点与「闭区间上的连续函数必有最大最小」不矛盾——本题定义域是全体实数，不是闭区间。
答案 (1) 最小值 2，x∈[1,3]；(2) 解集 [0,4]；(3) x→±∞ 时 f→+∞，定义域为 R 无上界，故无最大值。
采分点 三角不等式得 |3−1|=2 1 分；等号条件 x∈[1,3] 1 分；三段表达式各 1 分；三段解集 [0,1]/(1,3)/[3,4] 各 1 分；并集 [0,4] 1 分；几何回验 1 分；(3) 说明无上界 1 分。
易错点 把最小值写成 0；分段解出 x≥0 后不与 x≤1 取交，直接写 [0,+∞)；中段漏掉「恒成立」；把三段解集相减或求交而非求并；认为 f 在 R 上必有最大值（混淆闭区间结论）。
题2
题2 含参恒成立与多项绝对值
(1) 若 |x − 1| + |x − m| ≥ 3 对一切实数 x 恒成立（自编示意参数），求 m 的取值范围；(2) 求 g(x) = |2x − 1| + |x + 2| 的最小值及取到时的 x，并逐段验算；(3) 说明第(1)问为什么可以「不分段」直接做，而第(2)问必须分段。
解析
(1) 左边的最小值由三角不等式直接给出：min(|x−1|+|x−m|) = |m − 1|（等号在 x 落在 1 与 m 之间时取到）。要「对一切 x 恒 ≥ 3」，只需最小值 ≥ 3：|m − 1| ≥ 3 → m − 1 ≥ 3 或 m − 1 ≤ −3 → m ≥ 4 或 m ≤ −2。
回验端点：m=4 时最小值 |4−1|=3，恰取等，成立；m=−2 时 |−2−1|=3，也恰取等；m=2 时最小值 1 < 3，不成立 ✓。
(2) 零点为 x = 1/2（来自 2x−1=0）与 x = −2（来自 x+2=0），分三段：
x < −2：g = (1−2x) + (−x−2) = −3x − 1，随 x 增大而减，在 x→−2⁻ 时趋于 5；
−2 ≤ x < 1/2：g = (1−2x) + (x+2) = 3 − x，随 x 增大而减，在 x = 1/2 处取 2.5；
x ≥ 1/2：g = (2x−1) + (x+2) = 3x + 1，随 x 增大而增，在 x = 1/2 处取 2.5。
三段在 x=1/2 处衔接一致（3−0.5 = 2.5，3×0.5+1 = 2.5），故 最小值 2.5 = 5/2，取到于 x = 1/2。
注意：因 |2x−1| 的系数是 2，g 不是「两段等权距离和」，不能直接套 |a−b|；两个零点处的值分别是 g(−2)=5、g(1/2)=2.5，最小落在系数较大的那个零点上，这一点要由分段验算得出，不能凭感觉。
(3) 第(1)问是「对一切 x 恒成立」，只关心左边的全局最小值，而三角不等式恰好一步给出 min = |m−1|，无需知道 x 具体在哪一段取到，故可不分段。
第(2)问是「求最小值及取到时的 x」，既要值又要位置，且因 |2x−1| 带系数 2，三角不等式不能直接给出 min；必须逐段写出 g 的表达式、比较各段单调性与端点值，才能确定最小落在 x=1/2。
方法分界：只问「恒成立 / 参数范围」→ 先试最小值公式；既问「最值」又问「何时取到」或各项系数不等 → 老实零点分段。
答案 (1) m≤−2 或 m≥4（由 min=|m−1|≥3）；(2) 最小值 5/2，取于 x=1/2，三段分别为 −3x−1 / 3−x / 3x+1；(3) 恒成立只需全局最小值可一步得，求最值且带系数 2 时须分段定位置。
采分点 (1) 写出 min=|m−1| 1 分；解 |m−1|≥3 1 分；m≤−2 或 m≥4 1 分；端点回验 1 分；(2) 两零点 1 分；三段表达式各 1 分；最小值 5/2 与 x=1/2 1 分；衔接一致回验 1 分；(3) 两问方法分界 1 分。
易错点 (1) 把恒成立写成 |m−1|≤3；漏掉 m≤−2 一支；(2) 只找一个零点（漏 x=−2）；把 |2x−1| 当成 |x−1/2| 直接套 |a−b|；把最小值写成 3（误用 x=−2 处）；三段解完不检查衔接；(3) 说「两题都要分段」或「两题都不用分段」。
三、规律小结与对照表
| 工具/结论 | 适用 | 自编示意结果 | 易错 |
|---|---|---|---|
| 三角不等式 | |x−a|+|x−b|≥|a−b| | min f=2，x∈[1,3] | 写成 min=0 |
| 零点分段 | 三段去符号 | 4−2x / 2 / 2x−4 | 解不回代本段 |
| 解集 | 各段解集求并 | [0,1]∪(1,3)∪[3,4]=[0,4] | 写成求交 |
| 无最大值 | 定义域 R 无上界 | x→±∞, f→+∞ | 套闭区间结论 |
| 恒成立 | min ≥ 常数 | |m−1|≥3→m≤−2 或 ≥4 | 方向写反 |
| 系数不等 | |2x−1|+|x+2| | 零点 −2 与 1/2 | 只找一个零点 |
| 分段结果 | −3x−1 / 3−x / 3x+1 | min=5/2 于 x=1/2 | 直接套 |a−b| |
| 方法分界 | 恒成立 vs 求最值 | 一步公式 / 老实分段 | 混用 |
绝对值题两把钥匙：几何上 |x−a|+|x−b| 的最小值就是 |a−b|（在两点之间取到，绝不是 0），代数上以两个零点切三段、逐段解并与本段取交。只问「恒成立/参数范围」时一步用最小值公式即可；既问最值又问位置、或某项带系数（如 |2x−1|），就必须分段定位置。本题 2、[0,4]、m≤−2 或 ≥4、5/2 均为自编示意数值；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
四、自测清单
- □ 先写出两个零点，数轴切三段；
- □ 每段去绝对值后，解集必须与本段范围取交；
- □ 三段结果求并（不是求交），再代端点回验；
- □ 用「两段距离和 ≥ 两点间距」验最小值，别写 0；
- □ 含参恒成立化成「最小值 ≥ 常数」再反解；
- □ 系数不等时别直接套 |a−b|，老实分段。
