题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
这一组题的题眼是「把和拆成半和半差」。四个公式先摆齐：
sinA＋sinB ＝ 2 sin((A＋B)/2) cos((A−B)/2)； cosA＋cosB ＝ 2 cos((A＋B)/2) cos((A−B)/2)；
sinA·sinB ＝ −½[cos(A＋B) − cos(A−B)] ＝ ½[cos(A−B) − cos(A＋B)]； a sinθ＋b cosθ ＝ √(a²＋b²) sin(θ＋φ)，tanφ ＝ b/a。
操作顺序：两式相除消掉 cos((A−B)/2) 得半和；两式平方相加消掉半和得半差的余弦；回到 A、B 后用原式代回验一次，再用积化和差独立算乘积验第二次。下面题设数据为自编示意，非真题原文。
二、逐题精讲
题1
题1 由两式和反解 A、B 并回代（解答题）
自编题设：已知 0 < A < B < π，且
sin A ＋ sin B ＝ 3/2， cos A ＋ cos B ＝ √3/2。
(1) 求 (A＋B)/2 与 (B−A)/2，进而求 A、B；(2) 用积化和差求 sinA·sinB，并与由 A、B 直接相乘的结果互验；(3) 求 cos(A−B) 与 cos(A＋B)。
解析
(1) 记 u＝(A＋B)/2，v＝(B−A)/2（由 0<A<B<π 得 0<v<π/2，故 cos v > 0）。和差化积：2 sin u cos v ＝ 3/2 ……① 2 cos u cos v ＝ √3/2 ……②
①÷②：tan u ＝ (3/2)/(√3/2) ＝ √3。又 0<A+B<2π ⇒ 0<u<π，tan u＝√3 给 u＝π/3（另一解 4π/3 不在 (0,π) 内）。
①²＋②²：4 cos²v (sin²u＋cos²u) ＝ (3/2)²＋(√3/2)² ＝ 9/4＋3/4 ＝ 3 ⇒ cos²v ＝ 3/4。因 cos v>0，取 cos v＝√3/2，v＝π/6。
于是 A＋B＝2u＝2π/3，B−A＝2v＝π/3，解得 B＝π/2，A＝π/6。
原式回验：sin(π/6)＋sin(π/2)＝1/2＋1＝3/2 ✓；cos(π/6)＋cos(π/2)＝√3/2＋0＝√3/2 ✓。范围 0<π/6<π/2<π 亦满足。
(2) 积化和差：sinA·sinB ＝ ½[cos(A−B) − cos(A＋B)]。代入 A−B＝−π/3、A＋B＝2π/3：
＝ ½[cos(−π/3) − cos(2π/3)] ＝ ½[1/2 − (−1/2)] ＝ ½·1 ＝ 1/2。
直接相乘回验：sin(π/6)·sin(π/2) ＝ (1/2)·1 ＝ 1/2 ✓。两条路子闭合。
(3) cos(A−B) ＝ cos(−π/3) ＝ 1/2；cos(A＋B) ＝ cos(2π/3) ＝ −1/2。可再作一次独立校验：由韦达式 (sinA＋sinB)²＋(cosA＋cosB)² ＝ 2＋2cos(A−B) ⇒ 3 ＝ 2＋2cos(A−B) ⇒ cos(A−B)＝1/2 ✓，与 (1) 的结果一致。
答案 (1) u=(A+B)/2=π/3，v=(B−A)/2=π/6，A=π/6，B=π/2；(2) sinA·sinB=1/2，积化和差与直接相乘一致；(3) cos(A−B)=1/2，cos(A+B)=−1/2。
采分点 写出和差化积两式各 1 分；①÷②得 tan u=√3 1 分；定 u=π/3 并说明舍 4π/3 1 分；平方相加得 cos²v=3/4 1 分；由 0<v<π/2 取正根 v=π/6 1 分；解出 A=π/6、B=π/2 1 分；代回原式双验 1 分；积化和差得 1/2 1 分；用 2+2cos(A−B) 独立回验 1 分。
易错点 相除时忽略 cos v 可能为 0（本题由范围排除，须写明）；平方相加后取 cos v=−√3/2；把 u 取成 4π/3；把「B−A=π/3」写成「A−B=π/3」导致 B 求反；积化和差符号写反成 −1/2；忘记代回原式检验。
题2
题2 辅助角公式与连乘恒等式（解答题）
(1) 设 f(x) ＝ √3 sin 2x ＋ cos 2x。求其振幅、最小正周期、最大值，并求 f(x)＝1 在 [0, π] 上解的个数（端点计入）。(2) 用 sin2θ＝2sinθcosθ 的连乘推导 cos20°·cos40°·cos80° 的值，并说明为什么中途不能把 sin20° 约掉之前就取近似。
解析
(1) 振幅 √( (√3)²＋1² ) ＝ 2；tanφ ＝ 1/√3 ⇒ φ＝π/6，故f(x) ＝ 2 sin(2x ＋ π/6)。
最小正周期 T ＝ 2π/2 ＝ π；最大值 2（当 2x＋π/6＝π/2＋2kπ，即 x＝π/6＋kπ）。
解 f(x)＝1：2 sin(2x＋π/6)＝1 ⇒ sin(2x＋π/6)＝1/2 ⇒
2x＋π/6 ＝ π/6＋2kπ ⇒ x＝kπ；或 2x＋π/6 ＝ 5π/6＋2kπ ⇒ 2x＝2π/3＋2kπ ⇒ x＝π/3＋kπ。
在 [0, π] 上：第一族给 x＝0、π；第二族给 x＝π/3。共 3 个解：0、π/3、π。
回代验：f(0)＝cos0＝1 ✓；f(π/3)＝√3 sin(2π/3)＋cos(2π/3)＝√3·(√3/2)＋(−1/2)＝3/2−1/2＝1 ✓；f(π)＝cos2π＝1 ✓；另取 x＝π/12，f＝2 sin(π/3)＝√3≈1.7320508，与振幅 2 相容。
(2) 令 P＝cos20°cos40°cos80°。分子分母同乘 8 sin20°（sin20°≠0）：
8 sin20°·P ＝ 8 sin20°cos20°cos40°cos80°
＝ 4·(2 sin20°cos20°)·cos40°cos80° ＝ 4 sin40°cos40°cos80°
＝ 2·(2 sin40°cos40°)·cos80° ＝ 2 sin80°cos80° ＝ sin160°。
而 sin160° ＝ sin(180°−20°) ＝ sin20°，故 8 sin20°·P ＝ sin20° ⇒ P＝1/8＝0.125。
为什么不能提前取近似：这条推导的全部力量来自「连乘恰好 telescoping 到 sin160°，而 sin160° 与 sin20° 精确相等」。若中途把 sin20°≈0.342、cos20°≈0.940 等代成小数，误差会沿三次乘法累积，最后得到的是 0.1249… 一类的近似数，「正好等于 1/8」这个恒等关系就丢了，而且无法说明它为什么是有理数。恒等式题要保留符号到最后一步再代值，这与 00304 所讲「角的配凑先于求值」是同一条纪律。
答案 (1) f(x)=2sin(2x+π/6)，振幅 2、周期 π、最大值 2；f(x)=1 在 [0,π] 上有 3 解：0、π/3、π。(2) cos20°cos40°cos80°=1/8，由连乘化为 sin160°=sin20° 精确相消得到，不可中途取近似。
采分点 振幅 2 与 φ=π/6 各 1 分；周期 π 1 分；最大值 2 1 分；解出两族 x=kπ 与 x=π/3+kπ 各 1 分；[0,π] 上 3 解（含端点）1 分；三解回代验 1 分；连乘链式每步 1 分共 2 分；sin160°=sin20° 相消得 1/8 1 分；说明提前近似会丢失恒等关系 1 分。
易错点 辅助角写成 2sin(2x−π/6)；忘记 2x 使周期算成 2π；解 f(x)=1 时漏掉 x=0 与 x=π 两个端点；把 π/3+kπ 写成 π/6+kπ；连乘时漏掉补的 8 sin20°；把 sin160° 当成一个需要查表的数而没看出它等于 sin20°。
三、规律小结与对照表
| 工具 | 公式 | 本题落点 | 数值结果 | 独立回验 | 常见误判 |
|---|---|---|---|---|---|
| 和差化积·正弦 | sinA+sinB=2sin u cos v | ① 式 | 3/2 | 代回 sinπ/6+sinπ/2 | 把和拆成「各自一半」 |
| 和差化积·余弦 | cosA+cosB=2cos u cos v | ② 式 | √3/2 | 代回 cosπ/6+cosπ/2 | 漏掉同一个 cos v |
| 相除消元 | tan u=(3/2)/(√3/2) | u=π/3 | √3 | 舍去 4π/3 | 取 4π/3 或 −π/3 |
| 平方相加 | 4cos²v=3 | v=π/6 | cos v=√3/2 | 2+2cos(A−B)=3 | 取负根 |
| 积化和差 | ½[cos(A−B)−cos(A+B)] | sinA sinB | 1/2 | 直接相乘 (1/2)·1 | 符号写反 |
| 辅助角 | √(a²+b²)sin(θ+φ) | 2sin(2x+π/6) | 振幅 2、T=π | f(π/12)=√3 | 周期算成 2π |
| 解个数 | sin(2x+π/6)=1/2 | x=0, π/3, π | 3 个 | 三解分别回代 | 漏端点 |
| 连乘恒等式 | 8sin20°·P=sin160° | P | 1/8 | sin160°=sin20° | 中途取近似 |
这一组题其实只做了一件事：同一个结论用三条互不依赖的路子算出来。和差化积给 A、B，积化和差给乘积，直接相乘再验一次；辅助角给振幅与周期，三解回代再验一次；连乘恒等式靠 sin160°＝sin20° 精确相消，所以中途绝不能换成小数。四个易错位记牢：相除前确认 cos v≠0、平方相加后由范围取正根、2x 的周期是 π 不是 2π、区间端点要计入解。本题所有数值与角度均为自编示意题设，不代表任何真题原文或官方数据。
四、自测清单
- □ 先把两式和写成「半和×半差」再相除/平方相加；
- □ 相除前写明 cos v≠0 的理由；
- □ 由 0<v<π/2 取 cos v 的正根，不取负根；
- □ 解出角后代回两个原式各验一次；
- □ 积化和差的符号单独核对一次；
- □ 辅助角题看清 ω=2，周期取 2π/ω；
- □ 区间解把端点单独代入检查；
- □ 恒等式题保留符号到最后一步再代值。
