联招物理·劈尖干涉测微小厚度：等厚条纹与半波损失

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

把一片平玻璃一端垫上细丝，两玻璃间形成空气劈尖，厚度 t 随距棱边的距离 x 线性增大：t＝x·θ（θ 为劈角，小角近似 θ≈d/L，d 为细丝直径、L 为劈长）。反射光干涉与牛顿环同理，有一次半波损失，光程差 δ＝2t＋λ/2，故暗纹条件 2t＝kλ，棱边 t＝0 处为暗纹。

相邻暗纹的厚度差 Δt＝λ/2，对应水平间距 l＝Δt/θ＝λ/(2θ)；测出 l 即得 θ，再由 d＝θL 求细丝直径。这里有个必须写明的计数约定：第 1 条到第 21 条暗纹之间是 20 个间隔，不是 19 个也不是 21 个。下面读数与 λ 均为自编示意数据。

二、逐题精讲

题1

题1 由条纹间距求细丝直径与计数约定（解答题）

自编题设：钠黄光 λ＝589.3 nm 垂直照射空气劈尖，劈长 L＝50.0 mm。读数显微镜测得第 1 条到第 21 条暗纹的总距离为 10.00 mm。
(1) 求条纹间距 l、劈角 θ 与细丝直径 d（以 μm 表示）；(2) 若误把这段距离当作 19 个间隔，求 d′ 及相对偏差；(3) 写出相邻暗纹的厚度差，并说明「第 1 条到第 21 条」为什么是 20 个间隔。

解析

(2) 若按 19 个间隔：l′ ＝ 10.00/19 ＝ 0.526316 mm ⇒ θ′ ＝ λ/(2l′) ＝ 5.893×10⁻⁷/(1.052632×10⁻³) ＝ 5.5997×10⁻⁴ rad ⇒ d′ ＝ θ′L ＝ 5.5997×10⁻⁴×0.0500 ＝ 2.79985×10⁻⁵ m ＝ 28.00 μm。
相对偏差 ＝ (28.00 − 29.465)/29.465 ＝ −1.465/29.465 ＝ −4.97%。
另一路更简洁：d ∝ θ ∝ 1/l ∝ 间隔数，故 d′/d ＝ 19/20 ＝ 0.95，即偏低 5%；精确按 19/20 算得 29.465×0.95＝27.99 μm，偏差 −5.00%。两个数为何不同：按 l′＝10/19 精确重算 θ′ 时，λ/(2l′) 与「直接乘 19/20」应当是同一件事——核对：l′/l ＝ 20/19 ⇒ θ′/θ ＝ 19/20 ⇒ d′/d ＝ 19/20 ＝ 0.95，故 d′＝27.992 μm、偏差恰为 −5.00%。上面 28.00 μm 与 −4.97% 来自中间取位（θ′ 取 5.5997×10⁻⁴ 后四舍五入），按精确比例应为 −5.00%；正文取精确值，并把取位差如实登记，不抹平。
结论：间隔数少数一个，直径就按同比例少 1/20。

(3) 相邻暗纹厚度差 Δt ＝ λ/2 ＝ 589.3/2 ＝ 294.65 nm。
为什么是 20 个间隔：暗纹按级次 k＝0,1,2,… 排列，「第 n 条」与「级次 k」差一个起点——第 1 条对应 k＝0（棱边暗纹），第 21 条对应 k＝20，二者之间有 20 个级次差、即 20 个 Δt、20 个 l。一般地「第 m 条到第 n 条」含 n−m 个间隔，与植树问题同理：数的是间隔，不是条纹条数。这与 00293 所讲双缝条纹计数、00161 所讲累积放大法的计数约定是同一类口径问题，必须写明所用约定，否则 10.00 mm 除 20 还是除 19 就说不清。

答案　(1) l=0.5000 mm，θ=5.893×10⁻⁴ rad，d=29.465 μm（≈0.029465 mm）。(2) 按 19 间隔得 d′=27.99 μm，精确相对偏差 −5.00%（按取位中间值算为 28.00 μm、−4.97%，取位差如实登记）；因 d∝间隔数，19/20=0.95。(3) Δt=λ/2=294.65 nm；第1到第21条含 21−1=20 个间隔，数的是间隔不是条数。

采分点　间隔数 20 1 分；l=0.5000 mm 1 分；θ=5.893e−4 rad 1 分；d=29.465 μm 1 分；小角近似与量级回验 1 分；反推 10.00 mm 闭合 1 分；(2) 指出 d∝间隔数得 19/20 1 分；d′≈27.99 μm 与 −5.00% 1 分；说明取位差并如实登记 1 分；(3) Δt=294.65 nm 1 分；用 k 级次解释 20 个间隔 1 分。

易错点　把 10.00 mm 除 21 或除 19 当默认；把 l=λ/(2θ) 写成 l=λ/θ；把 θ≈d/L 的单位混用（mm 与 m 不统一）；把 −4.97% 与 −5.00% 混着报且不说明取位；把相邻暗纹厚度差写成 λ；说「棱边是亮纹」；漏掉小角近似成立条件。

题2

题2 半波损失与测量误差方向（解答题）

(1) 说明为什么反射光劈尖的棱边（t＝0）是暗纹；若改观察透射光，棱边与暗纹条件怎么变？(2) 在题 (1) 的条件下，若条纹间距 l 偏大 1.00%（读数偏大），d 偏多少？若波长 λ 偏大 1.00%，d 又偏多少？分别给数值与方向；(3) 若把劈长 L 也记偏 +1.00%，d 变多少？综合说明三类量的传导路径。

解析

(2) 由 d ＝ θL ＝ λL/(2l)，可见 d ∝ λ / l（L 固定）。
l 偏大 1.00%：d → d/1.01 ＝ 0.990099 d。取 d＝29.465 μm 得 29.173 μm，相对偏差 −0.99%（偏低）。路径：l 在分母一次方；注意 l 本身是「总距离 / 间隔数」，若总距离读大或间隔数少数，都会经 l 传到 d，故题 (1) 的计数约定其实就是 l 误差的一个来源。
λ 偏大 1.00%：d → 1.01 d ＝ 29.760 μm，相对偏差 +1.00%（偏高）。路径：λ 在分子一次方。
方向相反的原因很直白：λ 越大，同样的 θ 给出的条纹越宽（l＝λ/2θ），若仍拿偏大的 λ 去除实测 l，就会把 θ 算大、d 算大；而 l 读大意味着条纹「显得更疏」，同样的 λ 下 θ 被算小、d 被算小。

(3) L 偏大 1.00%：d ∝ L，故 d → 1.01 d ＝ 29.760 μm，+1.00%。
三类传导路径小结：λ 与 L 在分子（同向，+1%→+1%）；l 在分母（反向，+1%→−0.99%）；计数间隔数 n 通过 l＝S/n 进入，与 n 同向（少数一个间隔等价于 l 偏大 5%，d 偏 −5%）。
还可合并成一条总式：d ＝ λ L n /(2S)（S 为测得的总距离，n 为间隔数）。由此一眼看清四个量的指数都是一次方，只有 l 的倒数带来反向；也看清「把 S＝10.00 mm 除 20 还是除 19」不是小数取舍，而是整份结果按 19/20 缩放。实验中要压误差，优先做两件事：数更多条纹取平均（增大 S 与 n，降低单条定位误差）、核对光源波长与劈长的量具；这与 00365 牛顿环「多测几组平方差」、00161 累积放大法是同一条思路。

答案　(1) 反射 δ=2t+λ/2，t=0 相消成暗纹；透射 δ=2t，棱边为亮、暗纹 2t=(k+½)λ，与反射图样互补。(2) l 偏 +1% → d=29.173 μm（−0.99%）；λ 偏 +1% → d=29.760 μm（+1.00%）。(3) L 偏 +1% → d=29.760 μm（+1.00%）；总式 d=λLn/(2S)，λ 与 L 在分子、l 在分母、间隔数 n 与 d 同向。

采分点　写出 δ=2t+λ/2 1 分；说明棱边暗纹为半波损失判据 1 分；透射 δ=2t、棱边亮、互补 1 分；指出与牛顿环同属等厚干涉 1 分；l 偏大得 −0.99% 与 29.173 μm 1 分；λ 偏大得 +1.00% 与 29.760 μm 1 分；说明两者方向相反的物理原因 1 分；L 偏大得 +1.00% 1 分；写出总式 d=λLn/(2S) 1 分；给出数更多条纹与核对量具的处置 1 分。

易错点　把半波损失算在上表面；说透射光棱边也是暗纹；把 l 偏 1% 答成 d 偏 +1%；把 λ 偏 1% 答成 d 偏 −1%；漏掉 L 也是分子；把总式写成 d=λL/(2S) 而丢掉 n；不说明计数约定与 l 误差是同一来源。

三、规律小结与对照表

劈尖这条线，落点是「数的是间隔，不是条纹」：第 1 条到第 21 条暗纹只有 20 个间隔，按 19 个算，直径就整份缩到 19/20（−5.00%）。公式链很短：Δt＝λ/2 → l＝λ/(2θ) → d＝θL＝λLn/(2S)；从这里一眼看出 λ 与 L 在分子、l 在分母、间隔数 n 与 d 同向。半波损失让反射棱边成暗纹，透射则成亮、图样互补，用公式前先确认观察的是反射光。本组 λ、条纹间距、劈长与细丝直径均为自编示意数据，不代表任何真实光源波长、器件参数或测量结果。

四、自测清单

• □ 先写明观察的是反射光还是透射光，确定 δ 含不含 λ/2；
• □ 「第 m 到第 n 条」按 n−m 数间隔，不按条数；
• □ 单位统一：nm→m、mm→m，θ 保持弧度；
• □ 用 θ≈d/L 前确认小角近似成立并报量级；
• □ 把 d 写成 λLn/(2S) 总式，逐项看指数与方向；
• □ 中间取位造成的偏差（−4.97% vs −5.00%）如实登记；
• □ 最后用 d 反推 l 与 S，与题给读数闭合。