题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
扭摆把一根金属丝下端挂上转盘，转过一个小角后松手，系统做扭转振动。回复力矩 τ＝−κθ，运动方程 Iθ¨＋κθ＝0，故
T ＝ 2π√(I/κ)， κ ＝ 4π²I/T²， I ＝ κT²/(4π²)。
κ 由金属丝决定：κ ＝ Gπr⁴/(2L)（r 为丝半径，L 为丝长，G 为剪切模量）。实验上 κ 不靠查表，而用已知 I 的标准件标定：I_std＝½mR²（实心圆柱绕中心轴），测出 T_std 即得 κ；再换上待测件测 T_x。若夹具本身有不可忽略的 I₀，用差量法 I_x−I₀＝κ(T_x²−T₀²)/(4π²) 把它消掉。下面读数、质量与尺寸均为自编示意数据。
二、逐题精讲
题1
题1 标定 κ、求 I_x 与差量法（解答题）
自编题设：标准实心圆柱质量 m＝0.500 kg、半径 R＝0.0400 m，装到扭摆上实测周期 T_std＝1.2566 s；换上待测件后实测 T_x＝1.7772 s。取 π²＝9.8696。
(1) 求 I_std、扭转常量 κ 与待测件的 I_x；(2) 若空夹具（未放任何试件）的周期为 T₀＝0.8886 s，用差量法求 I_x 并与 (1) 比较；(3) 说明差量法消掉的是什么，以及它对「周期整体记偏 1%」是否免疫。
解析
(1) I_std ＝ ½mR² ＝ 0.5×0.500×(0.0400)² ＝ 0.5×0.500×0.0016 ＝ 4.000×10⁻⁴ kg·m²。κ ＝ 4π²I_std/T_std² ＝ (39.4784 × 4.000×10⁻⁴)/(1.2566²)。1.2566²＝1.57904；分子＝39.4784×4.000×10⁻⁴＝0.01579136 ⇒ κ＝0.01579136/1.57904 ＝ 0.010000 N·m/rad。
（自洽：T_std＝0.4π＝1.256637 s 时恰给 κ＝0.01，题给 1.2566 s 为四位取位值，回算得 0.010000，差在取位内。）
I_x ＝ κT_x²/(4π²) ＝ 0.010000×1.7772²/39.4784。1.7772²＝3.15844 ⇒ 分子＝0.0315844 ⇒ I_x＝0.0315844/39.4784 ＝ 8.000×10⁻⁴ kg·m²。
反推回验：T_x ＝ 2π√(8.000×10⁻⁴/0.01) ＝ 2π√0.08 ＝ 2π×0.2828427 ＝ 1.77715 s，与题给 1.7772 s 在取位内一致 ✓。
(2) 空夹具本底 I₀ ＝ κT₀²/(4π²) ＝ 0.01×0.8886²/39.4784。0.8886²＝0.789609 ⇒ I₀＝0.01×0.789609/39.4784＝2.000×10⁻⁴ kg·m²。
差量法：I_x − I₀ ＝ κ(T_x²−T₀²)/(4π²) ＝ 0.01×(3.15844−0.789609)/39.4784 ＝ 0.01×2.368831/39.4784 ＝ 6.000×10⁻⁴ kg·m²；
故 I_x ＝ I₀ ＋ 6.000×10⁻⁴ ＝ 2.000×10⁻⁴ ＋ 6.000×10⁻⁴ ＝ 8.000×10⁻⁴ kg·m²，与 (1) 完全一致 ✓。
另一路比例回验：I ∝ T²，I_x/I₀ ＝ (1.7772/0.8886)² ≈ 2² ＝ 4，而 8.000/2.000 ＝ 4 ✓。
(3) 差量法消掉的是夹具、转盘、丝下端连接件等共同具有的本底转动惯量 I₀：两次测量的 T² 相减，把与试件无关的那一块减掉，因此不必单独知道 I₀ 的数值也能得到试件贡献 I_x−I₀（本例为验证才把 T₀ 给了出来）。
对「周期整体记偏 1%」不免疫：T² 是乘性放大，若 T_x 与 T₀ 都按同一比例偏大 1.00%，则 T_x² 与 T₀² 都变为 1.0201 倍，它们的差也变为 1.0201 倍，于是 I_x−I₀ 偏高 2.01%。差量法免疫的是加性的共同本底，不是乘性的读数比例误差；这与 00365 牛顿环平方差「免疫级数起点、不免疫读数比例」是同一条道理。要压这类误差，得靠多周期计时取平均（测 20 个周期再除），而不是靠相减。
答案 (1) I_std=4.000×10⁻⁴ kg·m²，κ=0.010000 N·m/rad，I_x=8.000×10⁻⁴ kg·m²。(2) I₀=2.000×10⁻⁴，差量得 I_x−I₀=6.000×10⁻⁴，故 I_x=8.000×10⁻⁴，与(1)一致。(3) 差量消的是夹具等共同本底 I₀；对周期整体偏大 1% 不免疫，差会放大为 1.0201 倍即偏高 2.01%。
采分点 I_std=4.000e−4 1 分；κ=0.010000 1 分；I_x=8.000e−4 1 分；反推 T_x=1.77715 s 回验 1 分；I₀=2.000e−4 1 分；差量得 6.000e−4 与 I_x 一致 1 分；用 I∝T² 比例 4 回验 1 分；说明差量消加性共同本底 1 分；指出乘性读数误差放大为 1.0201 即 +2.01% 1 分；给出多周期计时取平均的处置 1 分。
易错点 把实心圆柱 I 写成 mR²（漏 ½）；把 κ 公式写成 4π²T²/I（倒置）；把 T_std 的取位差当成真偏差去「修正」；差量时用 T_x−T₀ 而不是平方差；说差量法对任何误差都免疫；把 +1% 周期直接答成 +1% 的 I。
题2
题2 剪切模量 G 与两类误差传导（解答题）
自编题设：扭转丝长 L＝0.500 m、半径 r＝0.450 mm，用 (1) 中标定的 κ＝0.010000 N·m/rad。
(1) 由 κ＝Gπr⁴/(2L) 求剪切模量 G，并说明量级是否合理（仅作数量级判断，不声称与真实材料对应）；(2) 若丝半径 r 整体记偏 +1.00%，G 变为多少、偏差多少？若周期 T 整体记偏 +1.00%（从而 κ 也随之改变），I 又偏多少？分别说明传导路径；(3) 为什么测 r 要比测 T「更经不起误差」？
解析
(1) 由 κ ＝ Gπr⁴/(2L) 得 G ＝ 2κL/(πr⁴)。r＝0.450 mm＝4.50×10⁻⁴ m ⇒ r²＝2.025×10⁻⁷，r⁴＝(2.025×10⁻⁷)²＝4.100625×10⁻¹⁴ m⁴；
πr⁴ ＝ 3.14159265×4.100625×10⁻¹⁴ ＝ 1.28825×10⁻¹³ m⁴；
G ＝ 2×0.010000×0.500 / 1.28825×10⁻¹³ ＝ 0.010000 / 1.28825×10⁻¹³ ＝ 7.7627×10¹⁰ Pa ≈ 77.6 GPa。
量级判断：金属剪切模量通常在 10¹⁰–10¹¹ Pa（几十 GPa）量级，77.6 GPa 落在这一区间，数量级合理；但本题的 κ、r、L 均为自编示意数据，不据此断言它对应某种具体钢材，也不与任何真实材料常数比对。回代验：Gπr⁴/(2L) ＝ 7.7627×10¹⁰×1.28825×10⁻¹³/1.000 ＝ 0.010000 N·m/rad ✓。
(2) r 偏大 1.00%：G ∝ r⁻⁴，故 G′ ＝ G/(1.01)⁴。(1.01)⁴＝1.04060401 ⇒ G′ ＝ 7.7627×10¹⁰/1.04060401 ＝ 7.4598×10¹⁰ Pa ≈ 74.6 GPa；相对偏差 ＝ 1/1.04060401 − 1 ＝ −3.902% ≈ −3.90%（偏低）。传导路径：r 在 四次方上，1% 的直径/半径读数误差经四次方放大成约 4.06% 的 r⁴ 误差，再取倒数落到 G 上。
T 偏大 1.00%：分两步看。由 κ ＝ 4π²I_std/T_std²，若 T_std 偏大 1%，标定出的 κ 偏小 1/(1.01)²＝0.980296，即 −1.97%；再用 I ＝ κT_x²/(4π²) 测未知件时，若 T_x 也整体偏大 1%（T_x²×1.0201），则 I ＝ 0.980296×1.0201 ＝ 1.000000（近似相消，因两次周期同向同比例）。但若只有 T_x 偏大 1%、κ 由准确的 T_std 标定不变，则 I 直接 ×1.0201，即偏高 2.01%。
必须写清的边界：题目里「T 整体记偏」有两种口径——「标定与测量同步偏」时误差部分相消，「只测量偏」时平方放大。不装作唯一答案，把条件写明再给数，这与 00359 所讲李萨如计数约定、00342 所讲聚沉值口径是同一条纪律。
(3) 因为指数不同：T 只以 平方进入（1% → 2.01%），r 以 四次方进入（1% → 4.06%，再取倒数约 −3.90%），后者敏感度约为前者的两倍；而且丝径本来就是亚毫米量，0.450 mm 上 1% 只有 4.5 μm，用普通螺旋测微器很难保证，相对误差天然更大。所以实验里要多位置、多方向测径取平均，必要时改用更粗的丝或直接用已知 κ 的标准件绕过 r 的测量；而周期可以用累计 20～50 个周期计时轻松压到远低于 1%。
答案 (1) G=2κL/(πr⁴)=7.7627×10¹⁰ Pa≈77.6 GPa，落在几十 GPa 量级，仅作数量级判断。(2) r 偏 +1% → G=74.6 GPa，约 −3.90%（r⁻⁴ 传导）；T 偏 +1%：若标定与测量同步偏则近似相消，若仅 T_x 偏大则 I 偏高 2.01%（T² 传导），两口径分别写明。(3) r 为四次方且丝径亚毫米、相对误差天然大，故比 T 更经不起误差。
采分点 写出 G=2κL/(πr⁴) 1 分；r⁴=4.100625e−14 1 分；G=7.7627e10 Pa≈77.6 GPa 1 分；量级判断并注明不对应真实材料 1 分；(1.01)⁴=1.04060401 1 分；G′≈74.6 GPa 与 −3.90% 1 分；说明 T² 平方传导 1 分；区分「同步偏相消」与「仅 T_x 偏 +2.01%」两口径 1 分；说明 r 四次方敏感且丝径亚毫米 1 分；给出多位置测径与多周期计时的处置 1 分。
易错点 把 G 公式写成 κ=Gπr⁴/L（漏 2）；把 r 的 0.450 mm 当成 0.450×10⁻³ 后四次方少算一位；把 r 偏 1% 答成 G 偏 −4%（未取倒数）；把 T 偏 1% 一律答成 I 偏 +2.01% 而不区分标定是否同步偏；把 77.6 GPa 断言为某真实钢材的常数；漏写「不装作唯一答案」的口径说明。
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | 本题取值 | 结果 | 误差指数 | 处置 |
|---|---|---|---|---|---|
| 标准件 I | ½mR² | m=0.500, R=0.0400 | 4.000e−4 kg·m² | R² | 多位置测径 |
| 扭转常量 | κ=4π²I/T² | T_std=1.2566 | 0.010000 N·m/rad | T⁻² | 多周期计时 |
| 待测件 | I=κT²/4π² | T_x=1.7772 | 8.000e−4 kg·m² | T² | — |
| 空夹具本底 | I₀=κT₀²/4π² | T₀=0.8886 | 2.000e−4 kg·m² | T² | 差量法 |
| 差量法 | κ(T_x²−T₀²)/4π² | 3.15844−0.789609 | 6.000e−4 → I_x=8.000e−4 | 消加性本底 | 不免疫乘性读数 |
| 剪切模量 | G=2κL/(πr⁴) | L=0.500, r=0.450 mm | 7.7627e10 Pa≈77.6 GPa | r⁻⁴ | 多方向测径 |
| r 偏 +1% | G/(1.01)⁴ | (1.01)⁴=1.040604 | 74.6 GPa（−3.90%） | 四次方 | 换粗丝/绕过 r |
| T_x 偏 +1% | I×1.0201 | 仅测量偏 | +2.01% | 平方 | 累计 20~50 周期 |
| T 同步偏 | κ×0.980296，T_x²×1.0201 | 标定+测量同偏 | 近似相消 | 相消 | 写明口径 |
扭摆这条线，落点是「先标定 κ，再谈 I」：κ 由丝决定，实验上用 ½mR² 的标准件测 T_std 反求；夹具本底用 T² 相减的差量法消掉。误差传导要按指数分开记：T 是平方（1%→2.01%），r 是四次方（1%→约 −3.90% 的 G），后者更经不起误差，因为丝径本就亚毫米。还有一条必须写明的边界：「T 整体偏 1%」有同步偏与仅测量偏两种口径，前者近似相消、后者放大到 +2.01%，不装作唯一答案。本组质量、半径、周期、丝长与丝径均为自编示意数据，不代表任何真实器件参数、材料常数或测量结果。
四、自测清单
- □ 先用标准件 ½mR² 与 T_std 标定 κ，不查表；
- □ 单位统一：mm→m，r 的四次方单独核对；
- □ 夹具本底用 T² 相减的差量法，不用 T 相减；
- □ 差量法只消加性共同本底，不消乘性读数误差；
- □ T 的误差按平方、r 的误差按四次方分别传导；
- □ 遇到「整体偏」先分清标定与测量是否同步偏；
- □ 数量级判断只说区间，不对应具体真实材料；
- □ 最后用 T=2π√(I/κ) 反推周期与题给读数闭合。
