联招物理·弹道摆测速度：完全非弹性碰撞与摆升高度两步回算

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

弹道摆是两个物理过程串在一起的装置，必须分段列式：

① 碰撞瞬间（极短）：子弹 m 以 v 射入摆锤 M 并留在其中，完全非弹性碰撞。摆线仍竖直、外力冲量可忽略，动量守恒：m v ＝ (M＋m) V。这一步动能不守恒，大量机械能转为内能。
② 摆升阶段：合体以 V 摆起，摆线张力不做功，机械能守恒：½(M＋m)V² ＝ (M＋m)gh ⇒ V＝√(2gh)。
合并得 v ＝ (M＋m)√(2gh)/m。下面读数、质量与高度均为自编示意数据。

二、逐题精讲

题1

题1 两步模型求 v 与能量核算（解答题）

自编题设：子弹质量 m＝0.0100 kg，摆锤质量 M＝1.990 kg（合体总质量 2.000 kg），摆长 L＝1.000 m。测得摆升最大高度 h＝0.0500 m，取 g＝9.80 m/s²。
(1) 求碰后共同速度 V 与子弹入射速度 v；(2) 求碰撞前后的动能与能量损失，说明保留比例由什么决定；(3) 由 h 与 L 反推最大摆角 θ，并说明为什么不能对全过程直接写机械能守恒。

解析

(2) 碰前动能（只有子弹）＝ ½ m v² ＝ 0.5×0.0100×197.99² ＝ 0.5×0.0100×39200 ≈ 196.00 J（精确用 v²＝(2.000/0.0100)²×2gh＝40000×0.98＝39200，得 196.000 J）。
碰后动能 ＝ ½(M＋m)V² ＝ (M＋m)gh ＝ 2.000×9.80×0.0500 ＝ 0.980 J。
能量损失 ＝ 196.000 − 0.980 ＝ 195.020 J，占碰前 99.5%。
保留比例由质量比决定：E_后/E_前 ＝ [½(M+m)V²]/[½ m v²] ＝ [(M+m)V²]/[m·((M+m)V/m)²] ＝ m/(M＋m) ＝ 0.0100/2.000 ＝ 0.005 ＝ 0.5% ✓，与数值一致。可见摆锤越重，保留比例越小、损失越大；这个比例与 v、h 都无关，只由 m 与 M 定。
第三路回验：E_前×0.005 ＝ 196.000×0.005 ＝ 0.980 J ✓。

(3) 由几何 h ＝ L(1−cosθ) ⇒ cosθ ＝ 1 − h/L ＝ 1 − 0.0500/1.000 ＝ 0.9500 ⇒ θ ＝ arccos(0.9500) ≈ 18.1949° ≈ 18.2°。
小角回验：θ 约 0.3176 rad，sinθ≈0.3122，用 h＝L(1−cosθ) 精确式已闭合；若误用小角近似 h≈Lθ²/2 得 θ≈√(2h/L)＝√0.1＝0.3162 rad≈18.12°，与精确值差约 0.07°，属可取但须注明是近似。
为什么不能全过程写机械能守恒：碰撞是完全非弹性——子弹嵌入摆锤，两物体发生永久形变与摩擦生热，195.02 J（99.5%）已转成内能，这部分不可逆、也不再回到机械能。若从子弹入射一路写到最高点写 ½mv²＝(M+m)gh，会得 v＝√[2(M+m)gh/m]＝√(2×2×9.8×0.05/0.01)＝√196＝14 m/s，与正确值 198 m/s 相差 14 倍（恰为 √((M+m)/m)＝√200≈14.14）。所以必须分段：只在碰撞瞬间用动量守恒，只在碰后摆升用机械能守恒；两段之间用共同速度 V 衔接。

答案　(1) V=√(2gh)=0.989949 m/s，v=(M+m)V/m=197.99≈198.0 m/s。(2) 碰前 196.000 J、碰后 0.980 J、损失 195.020 J（99.5%）；保留比例 E后/E前=m/(M+m)=0.005，只由质量比定。(3) cosθ=0.95 → θ≈18.1949°；碰撞为完全非弹性、99.5% 动能转内能，全过程写机械能守恒会得 14 m/s（差约 14 倍），必须分段列式。

采分点　写出 V=√(2gh)=0.989949 1 分；动量守恒得 v≈198.0 m/s 1 分；两步回代动量闭合 1 分；碰前 196.000 J 1 分；碰后 0.980 J 1 分；损失 195.020 J 与 99.5% 1 分；推导 E后/E前=m/(M+m)=0.005 1 分；第三路 196×0.005 回验 1 分；cosθ=0.95 与 θ≈18.1949° 1 分；说明分段理由并给出 14 m/s 的错值对照 1 分。

易错点　从头到尾写 ½mv²=(M+m)gh；把 v 算成 14 m/s；把保留比例写成 M/(M+m)；把能量损失算成 0.98 J；用 L sinθ 代替 L(1−cosθ)；把 g 取 10 后不回代；漏掉「小角近似」的注明。

题2

题2 误差传导与边界条件（解答题）

(1) 在题 (1) 条件下，若摆升高度 h 记偏 +1.00%，v 偏多少？若合体质量 (M+m) 记偏 +1.00%、子弹质量 m 记偏 −1.00%，v 各偏多少？给出数值与方向；(2) 写出 v 对各量的指数依赖，并说明为什么测 h 比测质量更「经不起误差」的说法在本题不成立；(3) 说明本模型成立必须满足的三类前提。

解析

(2) 指数依赖：v ∝ (M+m)¹ · m⁻¹ · h^{1/2} · g^{1/2}。
「测 h 更经不起误差」在本题不成立：恰恰相反，h 的指数最小（1/2），同样的 1% 相对误差只带来 0.499% 的 v 偏差，比质量的 1.00% 与 1.01% 还小。这个说法之所以容易误传，是因为在别的实验（如 00371 扭摆里 r 的四次方、00377 劈尖里 l 的分母）确实存在高指数放大；敏感不敏感要看指数，不看「这个量难不难测」。
不过要补一层另一口径：h 的绝对量很小（0.0500 m＝5.00 cm），1% 只有 0.5 mm，用刻度尺直接量绝对误差容易超；实验里才改用测摆角 θ 或测水平位移再换算 h＝L(1−cosθ)。也就是说：相对误差的传导 h 最不敏感，但绝对测量难度 h 最高——两件事分开说，不装作单一结论。这与 00371 所讲「r 四次方且丝径亚毫米」的「指数＋绝对量」双重分析是同一套方法。

(3) 三类前提必须写明：
① 碰撞瞬间外力冲量可忽略：碰撞时间极短，摆线仍近似竖直，重力与张力的冲量在水平方向可略；若摆锤已有明显摆动或碰撞拖长，动量守恒不成立。
② 完全非弹性且无质量损失：子弹嵌入并留在摆锤内，合体质量严格为 M＋m；若子弹穿出、碎裂或带出碎片，须改用恢复系数模型（00221 所讲）并重列动量式。
③ 摆升阶段只有重力做功：摆线张力不做功、空气阻力与轴摩擦可忽略、摆长远大于摆锤尺寸（可视为质点摆）；否则 ½(M+m)V²＝(M+m)gh 要补耗散项。
边界口径：本模型给的是入射瞬间速度，不是枪口速度（子弹飞行中已有空气阻力减速）；g 取 9.80 为示意值，换地区须重取；所有质量、高度与速度均为自编示意数据，不代表任何真实器件参数、材料或实测结果。

答案　(1) h 偏 +1% → v 偏 +0.499%（≈198.98 m/s）；(M+m) 偏 +1% → +1.00%（≈199.97 m/s）；m 偏 −1% → +1.01%（≈199.99 m/s）。(2) v∝(M+m)¹m⁻¹h^{1/2}g^{1/2}，h 指数最小故相对误差传导最不敏感；但 h 绝对值仅 5.00 cm、1% 只 0.5 mm，绝对测量难度最高，故改测摆角/水平位移换算，两种口径分开报。(3) 碰撞瞬间外力冲量可忽略、完全非弹性且无质量损失、摆升阶段只有重力做功；另注本模型给入射瞬间速度非枪口速度。

采分点　h 偏得 √1.01=1.0049876 与 +0.499% 1 分；(M+m) 偏得 +1.00% 1 分；m 偏得 1/0.99=1.010101 与 +1.01% 1 分；写出 v 的指数依赖式 1 分；指出 h 指数最小、相对传导最不敏感 1 分；指出 h 绝对量小、绝对测量难度最高 1 分；说明改测摆角/水平位移 1 分；三类前提各 1 分；注明入射速度非枪口速度与 g 为示意值 1 分。

易错点　把 h 偏 1% 答成 v 偏 +1%；把 m 偏 −1% 答成 v 偏 −1%（方向反）；只说「h 最难测」而漏掉相对误差传导最小这一层；把三类前提写成「忽略一切阻力」一句带过；把结果说成枪口速度；漏掉 g 的地区依赖。

三、规律小结与对照表

弹道摆这条线，落点是「分段列式，绝不跨段写守恒」：碰撞瞬间只写 m v＝(M+m)V（动量），摆升阶段只写 ½(M+m)V²＝(M+m)gh（机械能），中间用 V 衔接。碰后动能只剩 m/(M+m)＝0.5%，99.5% 已转成内能；若一路写机械能守恒，会得到 14 m/s 这种差 14 倍的错值。误差传导按 v∝(M+m)¹m⁻¹h^{1/2} 看：h 的指数最小、相对误差最不敏感，但它只有 5.00 cm，绝对测量难度反而最高，所以实验改测摆角或水平位移再换算——两种口径分开报，不装作单一结论。本组质量、摆长、高度与速度均为自编示意数据，不代表任何真实器件参数或测量结果。

四、自测清单

• □ 先分两段：碰撞用动量守恒、摆升用机械能守恒；
• □ 两段之间用共同速度 V 衔接，不跨段写 ½mv²=(M+m)gh；
• □ 用 m v 与 (M+m)V 数值回代验动量闭合；
• □ 能量保留比按 m/(M+m) 算，与两处动能对照；
• □ 摆角用 h=L(1−cosθ)，注明小角近似是近似；
• □ 误差按指数看：h^{1/2}、质量一次方；
• □ 相对传导与绝对测量难度分开说；
• □ 写明三类前提与「入射速度≠枪口速度」的边界。