联招数学·球与多面体：外接球、截面圆与球面距离

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

球类题先把三个量分清楚：R（球半径）、d（球心到截面的距离）、r（截面圆半径），三者恒满足 r²＝R²−d²。而球面距离是大圆弧长 s＝R·θ（θ 为两点对应的球心角，弧度），不是弦长 2R sin(θ/2)，更不是直线段。

球心角由向量点积定：cosθ ＝ (A·B)/R²（A、B 为从球心出发的两向量）。下面取棱长 a＝2 的正方体，顶点为 (±1,±1,±1)，球心在原点。题设数值为自编示意，非真题原文。

二、逐题精讲

题1

题1 外接球、截面圆与球体积（解答题）

自编题设：正方体棱长 a＝2，顶点坐标取 (±1, ±1, ±1)，中心在原点 O。
(1) 求其外接球半径 R；(2) 求球心到任一表面的距离 d、该面截球所得截面圆半径 r 与截面圆周长；(3) 求外接球体积，并用体对角线与正四面体共球两路独立回验 R。

解析

(2) 正方体表面如 x＝1，球心 O(0,0,0) 到该平面的距离 d＝1（＝a/2）。
r ＝ √(R² − d²) ＝ √(3 − 1) ＝ √2 ≈ 1.414214。
截面圆周长 ＝ 2πr ＝ 2√2 π ≈ 8.885766。
几何回验：平面 x＝1 上满足 y²＋z²＝R²−1＝2 的点构成圆；取该面上正方形的四个顶点 (1,±1,±1)，其到 (1,0,0) 的距离 √(1+1)＝√2，恰落在 r＝√2 的圆上 ✓——即外接球被面截出的圆正好过该面的四个顶点，这与「正方体八个顶点共球」一致。

(3) 球体积 V ＝ (4/3)πR³ ＝ (4/3)π(√3)³ ＝ (4/3)π·3√3 ＝ 4√3 π ≈ 21.765592。
回验路一（体对角线）：正方体体对角线长 ＝ √3·a ＝ 2√3 ≈ 3.464102，外接球直径 ＝ 2R ＝ 2√3 ✓，故 R＝√3 闭合。
回验路二（正四面体共球）：取正方体四个互不相邻的顶点 (1,1,1)、(1,−1,−1)、(−1,1,−1)、(−1,−1,1)，任两点距离 ＝ √[(0)²+(2)²+(2)²] ＝ 2√2（即面对角线），构成棱长 e＝2√2 的正四面体。正四面体外接球半径公式 R＝e√6/4 ＝ 2√2×√6/4 ＝ 2√12/4 ＝ 4√3/4 ＝ √3 ✓，与正方体外接球同一个球。
第三路：直接用 R²＝3 反推 V＝(4/3)π·3√3＝4√3π ✓。三路闭合：体对角线、正四面体公式、体积反推。

答案　(1) R=√3≈1.732051（=√3a/2）。(2) d=1、r=√2≈1.414214、截面圆周长 2√2π≈8.885766；该面四顶点恰落在 r=√2 的圆上。(3) V=4√3π≈21.765592；体对角线 2√3=2R 与正四面体 R=e√6/4=√3 两路回验一致。

采分点　R=√3 1 分；公式 √3a/2 回验 1 分；d=1 1 分；r=√2 1 分；截面圆周长 2√2π 1 分；面四顶点落在圆上的几何回验 1 分；V=4√3π 1 分；体对角线 2√3=2R 1 分；四面体棱长 2√2 1 分；R=e√6/4=√3 共球回验 1 分。

易错点　把 R 写成 a/2=1 或 √3a=2√3（混淆半径与直径）；把截面圆半径写成 R−d=0.732；把球心到面距离写成 √3；把球面距离当弦长；把正四面体棱长写成 2；把球体积写成 (4/3)πR²。

题2

题2 球面距离与弦长之辨（解答题）

自编题设：接题 (1)，取正方体相邻两顶点 A＝(1,1,1)、B＝(1,1,−1)（共一条棱）。
(1) 求球心角 θ（弧度）与 A、B 间的球面距离 s；(2) 求弦长 |AB|，并与 s 比较，说明二者为何不等；(3) 若把 A、B 换成体对角两点 (1,1,1) 与 (−1,−1,−1)，θ 与 s 各是多少？用大半圆回验。

解析

(2) 弦长 |AB| ＝ √[(1−1)²+(1−1)²+(1−(−1))²] ＝ 2（正方体棱长）。
用弦长公式回验：2R sin(θ/2) ＝ 2√3 sin(0.6154795) ＝ 2×1.732051×0.577350 ＝ 2 ✓（这里 sin(θ/2)＝√((1−cosθ)/2)＝√(1/3)＝0.577350）。
比较与不相等的理由：s＝2.132084 > |AB|＝2，差约 0.1321。球面距离是沿球面的大圆弧长（弯曲路径），弦长是穿过球内的直线段；两点间直线最短，故弧长恒大于弦长（θ∈(0,π) 时 Rθ > 2R sin(θ/2)，因 θ > 2 sin(θ/2)）。二者只在 θ→0 时趋近相等。判据：题目问「球面距离／沿球面」用 s＝Rθ；问「两点间距离／弦长」用直线距离或 2R sin(θ/2)，不能混。
第三路数值回验：小角展开 s/|AB| ＝ θ/(2 sin(θ/2)) ＝ 1.230959/1.154701 ＝ 1.066042，与 2.132084/2＝1.066042 ✓ 一致。

(3) 体对角两点 A＝(1,1,1)、C＝(−1,−1,−1)：
A·C ＝ −1−1−1 ＝ −3，R²＝3 ⇒ cosθ＝−3/3＝−1 ⇒ θ＝π（两点关于球心对称，是对径点）。
s ＝ R·π ＝ √3 π ≈ 5.441398。
弦长 |AC| ＝ 2R ＝ 2√3 ≈ 3.464102（体对角线）✓；用弦长公式 2R sin(π/2)＝2√3 ✓。
大半圆回验：对径点间的大圆是半圆，弧长 ＝ 半周长 ＝ πR ＝ √3π ✓；而球的大圆周长 ＝ 2πR ＝ 2√3π，其一半正是 √3π ✓。
边界口径：对径点之间的大圆弧不唯一（过两点的平面有无穷多个，每个给出一条半圆），但弧长都等于 πR，故球面距离仍有唯一值；这与 00376 所讲「极点表示不唯一」、00340 所讲「边界测度」同类：路径可多，量值唯一。另外 θ 必须用弧度代入 s＝Rθ，若用 180° 直接乘会得 311.8 这类错值。

答案　(1) A·B=1、cosθ=1/3、θ=arccos(1/3)≈1.230959 rad，s=√3θ≈2.132084。(2) 弦长 |AB|=2（亦由 2R sin(θ/2)=2 回验）；s>|AB|，因球面距离是大圆弧长、弦长是球内直线，θ>2sin(θ/2)；比值 θ/(2sin(θ/2))≈1.066042 闭合。(3) 对径点 cosθ=−1、θ=π、s=√3π≈5.441398；弦长 2√3，大半圆弧长=πR=√3π 回验；对径大圆不唯一但弧长唯一，θ 须用弧度。

采分点　A·B=1 1 分；cosθ=1/3 1 分；θ≈1.230959 rad 1 分；s≈2.132084 1 分；用 △OAB 余弦定理得 |AB|=2 回验 1 分；弦长公式 2R sin(θ/2)=2 1 分；说明弧长>弦长及 Rθ>2Rsin(θ/2) 1 分；比值 1.066042 回验 1 分；(3) cosθ=−1 与 θ=π 1 分；s=√3π≈5.441398 1 分；大半圆 πR 回验 1 分；说明对径大圆不唯一但弧长唯一、θ 用弧度 1 分。

易错点　把球面距离写成弦长 2；用角度 70.5288 直接乘 R；把 cosθ 写成 1/√3；把对径点 θ 写成 π/2；把 s 写成 2πR（整圆周长）；漏掉「对径大圆不唯一但弧长唯一」的口径；把截面圆半径与球半径混用。

三、规律小结与对照表

球体这条线，落点是「三个半径分开、球面距离不是弦长」：R＝√3a/2、d＝a/2、r＝√(R²−d²) 恒满足勾股关系；正方体八个顶点共球，且其中四个互不相邻顶点构成的正四面体共用同一个球（R＝e√6/4＝√3）。球心角由 cosθ＝A·B/R² 定，球面距离 s＝Rθ（θ 用弧度），与弦长 2R sin(θ/2) 不是一回事——本例 s≈2.132 大于棱长 2，对径点则 θ＝π、s＝√3π 恰为大半圆。最后留一条口径：对径点间大圆不唯一，但弧长唯一。所有棱长与数值均为自编示意题设，不代表任何真题原文或官方数据。

四、自测清单

• □ 先分 R（球半径）、d（球心到截面）、r（截面圆）三个量；
• □ 用 r²=R²−d² 验一次，别写成 r=R−d；
• □ 外接球用体对角线 2R 回验，并试正四面体共球；
• □ 球心角由 cosθ=A·B/R² 定，不由弦长反推；
• □ s=Rθ 中 θ 必须用弧度；
• □ 弦长用 2R sin(θ/2)，与球面距离分开报；
• □ 对径点取 θ=π、s=πR，用大半圆回验；
• □ 遇到「不唯一」先分清是路径不唯一还是量值不唯一。