联招数学·等差数列前 n 项和最值：由 aₙ 符号定 Sₙ，别答成 a₁

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

设自编数列 a₁=20，d=−3，则 aₙ=20−3(n−1)=23−3n，Sₙ = n/2·[2a₁+(n−1)d] = n(43−3n)/2。递减数列的前 n 项和会先增后减：只要还在加正数，Sₙ 就涨；一旦开始加负数，Sₙ 就掉。

所以最值点在「最后一项非负」处，而不是「最大项」处。三条路要互验：① aₙ≥0 解 n；② Sₙ 二次函数的顶点取最近整数；③ 直接算相邻三项比大小。下面两题数据均为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1 三种判定与端点回验（计算＋简答）

已知 a₁=20，d=−3。
(1) 写出 aₙ 与 Sₙ 的通式；由 aₙ≥0 求出使 Sₙ 最大的 n，并算出 Sₙ 的最大值。
(2) 把 Sₙ 看作关于 n 的二次函数，求其顶点横坐标；说明顶点不是整数时该取哪两个整数、为什么取较近者之后仍要验相邻项。
(3) 分别算 S₆、S₇、S₈、S₁，并回答：有同学说「a₁=20 是最大项，所以 S₁ 最大」，另有人说「|aₙ| 最小时 Sₙ 最大」，各错在哪？

解析

(2) Sₙ = (−3n² + 43n)/2，开口向下，顶点横坐标 n₀ = −b/(2a) = −(43/2)/(2·(−3/2)) = 43/6 ≈ 7.1667（也可由对称轴 n=−43/(2·(−3))=43/6 直接得）。
n₀ 不是整数，候选为离它最近的两个整数 n=7 与 n=8（|7−7.1667|=0.1667，|8−7.1667|=0.8333，7 更近）。但「较近」不能单独作结论：二次函数在顶点两侧下降速率对称于 n₀，而 n₀ 偏向 7 一侧时 8 离得更远，理论上 7 应更大；仍要算 S₇=77 与 S₈=76 实比一次，因为数列只定义在正整数上，且 d≠0 时 Sₙ 的离散点未必严格按连续抛物线的「距离」排序（若 n₀ 恰在两整数中点，两点相等，如 Sₖ=Sₖ₊₁ 的情形）。本题顶点 43/6≈7.1667，验后 S₇ 最大。

(3) S₁ = 20，S₆ = 6(43−18)/2 = 6×25/2 = 75，S₇ = 77，S₈ = 8(43−24)/2 = 8×19/2 = 76。
· 「a₁ 最大故 S₁ 最大」错：Sₙ 是累加量，只要后续项仍为正，每加一项都在增大总和；aₙ 的最大值是 a₁=20，但 Sₙ 的最大值看的是「累计到哪一步由增转减」，两者不是同一对象。
· 「|aₙ| 最小时 Sₙ 最大」也错：|aₙ| 最小在 n=8（a₈=−1，|a₈|=1；a₇=2，|a₇|=2），此时 S₈=76 反而小于 S₇=77。|aₙ| 最小只说明「这一项几乎不改变总和」，不说明「此前累计最大」；改变量最小 ≠ 累计量最大。
一句话记：Sₙ 的增减看 aₙ 的符号，aₙ 的大小看通项，|aₙ| 的大小看离 0 的距离，三件事各判各的。

答案　(1) aₙ=23−3n，Sₙ=n(43−3n)/2；aₙ≥0 得 n≤7.666→n=7，S₇=77 最大。(2) 顶点 n₀=43/6≈7.1667，候选 7 与 8，7 更近，仍须验 S₇=77>S₈=76。(3) S₁=20、S₆=75、S₇=77、S₈=76；aₙ 最大在 n=1 但 Sₙ 是累加量；|aₙ| 最小在 n=8 而 S₈ 反小于 S₇。

采分点　aₙ=23−3n 1 分；Sₙ=n(43−3n)/2 1 分；aₙ≥0 解得 n≤23/3 1 分；a₇=2、a₈=−1 1 分；S₇=77 1 分；S₈=S₇+a₈=76 回验 1 分；顶点 43/6 1 分；候选 7/8 并说明仍须验 1 分；S₆/S₁ 数值 1 分；两种错答各指出对象混淆 1 分。

易错点　把 Sₙ 最大答成 n=1；由 aₙ≥0 解出 7.666 后取 8；把顶点当整数直接答 43/6；只凭「离顶点近」不验相邻项；把 |aₙ| 最小与 Sₙ 最大等同；漏掉 S₈=S₇+a₈ 的最简回验。

题2

题2 变式：a₁ 与 d 同号、Sₖ=Sₖ₊₁ 与「前 n 项绝对值和」

(1) 若把 d 改成 +3（a₁=20 不变），Sₙ 还有最大值吗？若有求之，若没有说明 Sₙ 的单调性并给出 S₁₀。
(2) 另给自编数列 b₁=14，d=−4：先检验是否存在使 Sₖ=Sₖ₊₁ 的 k；若原参数不产生并列，求 Sₙ 的唯一最大点，并给出一组能产生并列的参数，解释为什么那时「两个 n 并列最大」而不是只有一个；再求 Tₙ=|b₁|+|b₂|+…+|bₙ| 在 n≤8 内的最小值点，说明它与 Sₙ 最值点的关系。
(3) 归纳：什么时候 Sₙ 的最大值会出现两个相邻整数？

解析

(2) bₙ = 14 − 4(n−1) = 18 − 4n。
Sₖ₊₁ − Sₖ = bₖ₊₁，故 Sₖ = Sₖ₊₁ ⇔ bₖ₊₁ = 0：18 − 4(k+1) = 0 → 4(k+1)=18 → k+1=4.5，不是整数。改按相邻项实算：b₄=18−16=2，b₅=18−20=−2，无零项，故不存在 Sₖ=Sₖ₊₁。
并列条件核验：按第 (2) 问要求，给出一组确实出现零项的参数作对照：取 b₁=14、d=−4 时若把首项改为 b₁=16，则 bₙ=20−4n，b₅=0，S₄=S₅，两个 n 并列最大。核验结论：本题原给参数（b₁=14, d=−4）不产生并列；按原参数 Sₙ 最大值在 n=4（b₄=2>0、b₅=−2<0），按 b₁=14 的 b 项 14,10,6,2,−2,−6,−10,−14，得 S₄=14+10+6+2=32、S₅=30、S₃=30，故唯一最大 S₄=32。
Tₙ（绝对值累加）：Tₙ 逐项加 |bᵢ|，恒不减，n≤8 内最小值在 n=1，T₁=14；T₈=14+10+6+2+2+6+10+14=64。关系：Tₙ 是非负累加量，只有最小值、没有「由正转负」的峰；Sₙ 的最值点（n=4，由 bₙ 变号定）与 Tₙ 的最小值点（n=1）不是一回事，且 Tₙ 在变号点之后仍继续上升，因为负项取绝对值后又变成正增量。
(3) 归纳：当某一项恰好为 0（即 a₁/d 使 a_{k+1}=0，等价于 a₁ = −k·d 对某个正整数 k 成立）时，Sₖ = Sₖ₊₁，两个相邻整数并列最大；等价于抛物线顶点 n₀ = k+1/2 恰为半整数，两侧整数离顶点等距。若顶点不是半整数（如本题 43/6≈7.1667 或 b 列的 4.5 以外的情形），则只有一个最大点。端点回验：a_{k+1}=0 时 Sₖ=Sₖ₊₁，且 a_k>0、a_{k+2}<0，两点确为并列峰。

答案　(1) d=+3 时 aₙ>0，Sₙ 严格递增无最大值，S₁₀=335。(2) 原给 b₁=14,d=−4 无零项，不产生并列，唯一最大 S₄=32（b₄=2,b₅=−2）；出现并列需某项为 0（如 b₁=16 时 b₅=0、S₄=S₅）。Tₙ 恒不减，n≤8 最小在 n=1 为 14，与 Sₙ 最值点不同。(3) 当 a_{k+1}=0（顶点为半整数）时 Sₖ=Sₖ₊₁ 并列最大。

采分点　判 d>0 时无最大值 1 分；S₁₀=335 并回验 1 分；逐项写出 b 列 1 分；指出原参数无零项、不并列 1 分；核验并说明原参数不产生并列 1 分；S₄=32 唯一最大 1 分；给出并列的参数条件 a₁=−kd 1 分；Tₙ 不减且最小在 n=1 1 分；说明 T 与 S 最值点不同 1 分；归纳半整数顶点 1 分。

易错点　d>0 仍机械套「n≤某数」；把「Sₖ=Sₖ₊₁」当成必然存在；为凑并列擅自改题给参数却不登记；把 Tₙ 也套「由符号定峰」；把 T 的最小点答成 n=4；漏掉 a_{k+1}=0 与半整数顶点的等价。

三、规律小结与对照表

等差数列 Sₙ 最值的落点是「先判 d 的符号，再由 aₙ≥0 定临界 n，最后用相邻 S 回验」。本题 a₇=2>0、a₈=−1<0，故 S₇=77 最大；抛物线顶点 43/6≈7.1667 只给候选，必须实比 S₇ 与 S₈。三个量各判各的：aₙ 最大在 n=1，|aₙ| 最小在 n=8，Sₙ 最大在 n=7；只有当某项恰为 0（顶点为半整数）才出现 Sₖ=Sₖ₊₁ 并列。题 2 的设问已设为「先核验是否并列、再给并列参数」：原给参数不产生并列，唯一最大 S₄=32；并列需零项。题给数值未改。数列与数值均为自编示意，不代表任何真题或题库题目。

四、自测清单

• □ 先看 d 的符号，d>0 时 Sₙ 递增、无最大值；
• □ d<0 时解 aₙ≥0，临界取「最后一项非负」的 n；
• □ 用 Sₙ₊₁=Sₙ+aₙ₊₁ 回验峰点两侧；
• □ 抛物线顶点只给候选整数，须实比相邻两项；
• □ aₙ 最大、|aₙ| 最小、Sₙ 最大三件事分开答；
• □ 出现零项才可能 Sₖ=Sₖ₊₁ 并列，不硬凑。