联招数学·分组分配：均匀分组要除以 3!，分给人再乘回来

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

先分清两个问法：「分成 3 堆，堆与堆没有编号」＝分组；「分给甲、乙、丙 3 人（或 3 个不同班级）」＝分配。分配 ＝ 分组 ×（组数的阶乘）。

最容易漏的是均匀分组去重：6 人分成 3 组、每组 2 人，若直接算 C(6,2)C(4,2)C(2,2)=15×6×1=90，其实把同一分组按「先取哪一组」重复算了 3!=6 次，正确是 90/6=15。组大小不同时（如 1/2/3）各堆天然可区分，不除。下面题设均为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1 四口径核算（计算＋简答）

自编题设：6 名互不相同的志愿者。
(1) 分成 3 组、每组 2 人，组不编号，有多少种？写出为什么除以 3!。
(2) 分给 甲、乙、丙 3 人，每人 2 人，有多少种？与 (1) 差在哪一步。
(3) 分成 1 人、2 人、3 人三堆（堆不编号），有多少种？为什么这里不除阶乘；若再分配给 3 个不同班级呢？
(4) 换成 6 本完全相同的书，分给 3 人、每人至少 1 本，有多少种？说明与 (2) 的本质差别。

解析

(2) 分配给甲、乙、丙：在 (1) 的 15 种分组基础上，把 3 组指派给 3 个不同的人，有 3! = 6 种指派，故 15×6 = 90 种。
等价直算：C(6,2)C(4,2)C(2,2)=90（此时「先给甲、再给乙、再给丙」天然带编号，不除）。差别就在是否除 3!：(1) 除掉组间顺序，(2) 又把它按编号乘回来，两数正好回到 90。回验：90/6=15，15×6=90，闭合。

(3) 非均匀分组 1/2/3（不编号）：
C(6,1)·C(5,2)·C(3,3) = 6×10×1 = 60 种。
不除阶乘的理由：三堆大小分别是 1、2、3，堆与堆天然可区分（「1 人那堆」「3 人那堆」各有唯一身份），连乘时不存在「相同堆互换」造成的重复，故不用除 3!。
再分配给 3 个不同班级：60 × 3! = 360 种（此时还要把三堆指派给三个有编号的班级）。对照：均匀分组 15→分配 90（×6）；非均匀 60→分配 360（×6），乘的都是 3!，只是前一步除不除不同。

(4) 6 本相同书分 3 人、每人至少 1 本：书完全相同，只数「每人几本」，是正整数解 x₁+x₂+x₃=6（xᵢ≥1）的个数，用隔板法：
在 6 本书之间的 5 个空隙里插 2 块板，C(5,2) = 10 种。
本质差别：(2) 的 6 人互不相同，要选「哪两个人」给谁，是组合/排列问题；(4) 的 6 本书不可区分，只数数量分配，是方程整数解问题。回验：枚举正整数解 (1,1,4) 型 3 种、(1,2,3) 型 6 种、(2,2,2) 型 1 种，合计 3+6+1=10 ✅ 与 C(5,2) 一致。变式：若允许有人得 0 本（非负整数解），则 C(6+3−1, 3−1)=C(8,2)=28 种。

答案　(1) 15 种（90/3!）。(2) 90 种＝15×3!，差别在是否除组间顺序。(3) 60 种（不除，组大小不同天然可区分）；分配给 3 班为 360 种。(4) C(5,2)=10 种（相同元素用隔板法），与(2) 的本质差别是「元素是否可区分」；允许 0 本为 C(8,2)=28。

采分点　(1) 连乘 90 1 分；除 3! 得 15 1 分；说明重复来自组间顺序 1 分；(2) 90 与 ×3! 1 分；直算不除 1 分；90/6=15 闭合 1 分；(3) 60 1 分；不除阶乘理由 1 分；360 1 分；(4) C(5,2)=10 1 分；隔板法正整数解 1 分；元素可区分性差别 1 分；枚举 3+6+1=10 1 分；非负变式 28 1 分。

易错点　均匀分组漏除 3!；把 (2) 也除以 6；非均匀分组也除 3! 得 10；把 6 本相同书按 C(6,2)C(4,2) 算成 90；隔板法用 C(6,2)=15（那是允许 0 本的另一变式混用）；把「组内顺序」与「组间顺序」混为一谈。

题2

题2 部分均匀、指定归属与「至少一个」变式

(1) 自编变式：6 人分成 2 人、2 人、2 人三堆，但其中一堆明确指定给甲、另两堆不编号，有多少种？写出除的是几的阶乘。
(2) 6 本不同的书分给 3 人，甲至少 1 本、乙至少 1 本、丙可以 0 本，有多少种？用「总数减去违规」做，并回代核验。
(3) 归纳：什么时候除阶乘、除几的阶乘、什么时候再乘回来？给出「分组→分配」的一般式。

解析

(2) 总数减违规：6 本不同书分给 3 人，每本有 3 种去处，总数 3⁶ = 729。
违规：甲得 0 本 → 每本只能去乙/丙，2⁶ = 64；乙得 0 本 → 同样 64；甲、乙都得 0 本（全给丙）→ 1⁶ = 1，被前两项重复减了一次，要加回。
由容斥：729 − 64 − 64 + 1 = 602 种。
回代核验（按丙得几本枚举）：丙得 k 本（k=0…5，甲乙至少各 1），从 6 本选 k 本给丙 C(6,k)，余 6−k 本分给甲乙且都至少 1 本：2^(6−k) − 2（减去全给甲、全给乙两种）。
k=0: 1×(64−2)=62；k=1: 6×(32−2)=180；k=2: 15×(16−2)=210；k=3: 20×(8−2)=120；k=4: 15×(4−2)=30；k=5: 6×(2−2)=0（余 1 本无法让甲乙都≥1）；k=6: 1×(1−2) 无意义，记 0。
合计 62+180+210+120+30 = 602 ✅ 与容斥一致。注意丙可以 0 本，所以 k=0 项要保留；若题目改成「三人都至少 1 本」，则再减「丙 0 本且甲乙各≥1」的情形，数值另算。

(3) 归纳：
· 除阶乘：当且仅当出现若干个「人数相同且都无编号」的组；设有 r 个这样的同尺寸无编号组，就除 r!，不是总组数的阶乘（如 (1) 只除 2!）。组大小互不相同、或某堆已被指定，都不除。
· 乘回来：把「无编号分组」指派给 m 个不同对象时乘 m!（均匀 15→90、非均匀 60→360 都是 ×3!）。
· 一般式：先按各堆尺寸连乘组合数 → 对每组「同尺寸无编号堆」除 r! → 若要分配给 m 个有编号对象再乘 m!；若元素完全相同，改走隔板法/整数解，不用组合连乘。
· 「至少一个」：不同元素用容斥（总数 − 违规 + 交集），相同元素用预分配/隔板（先每人发 1 本再分剩余）。
一条核验：「分组数 × 组数阶乘 = 分配数」恒成立（本题 15×6=90、60×6=360、45 对应的全编号版 45×2!=90 亦闭合）。

答案　(1) C(6,2)·[C(4,2)C(2,2)/2!]=15×3=45 种，除的是 2!（仅两个无编号同尺寸堆）。(2) 3⁶−2·2⁶+1=602 种，按丙得 k 本枚举 62+180+210+120+30=602 闭合。(3) 一般式：连乘组合 → 对同尺寸无编号堆除 r! → 分配给 m 个编号对象再乘 m!；相同元素走隔板法，「至少一个」用容斥或预分配。

采分点　(1) 选甲 15 1 分；余 4 人分两堆得 3 1 分；45 1 分；除 2! 不是 3! 1 分；(2) 总数 729 1 分；两违规各 64 与加回 1 1 分；602 1 分；枚举各项与闭合 2 分；(3) 除 r! 规则 1 分；乘 m! 规则 1 分；一般式 1 分；相同元素/至少一个口径 1 分；核验恒等式 1 分。

易错点　部分均匀题除 3! 得 15；把甲那堆也当无编号；(2) 漏加回「甲乙都得 0」的 1；(2) 把丙 0 本的 k=0 项删掉；(2) 用 C(6,2)C(4,2) 当总数；把「至少一个」的相同元素与不同元素口径混用；一般式里把 r! 写成总组数阶乘。

三、规律小结与对照表

分组分配只记一句：「同尺寸且都无编号的堆才除阶乘，有几堆除几的阶乘；要分给 m 个有编号对象再乘 m!」。6 人均分 3 堆是 90/3!=15，分给甲乙丙是 15×3!=90；1/2/3 非均匀是 60（不除），再分配 360；部分均匀（一堆指定甲）只除 2! 得 45。元素完全相同改走隔板法（6 同书每人≥1 得 C(5,2)=10），不同元素的「至少一个」走容斥（3⁶−2·2⁶+1=602，枚举闭合）。题设与数值均为自编示意，不代表任何真题或题库题目。

四、自测清单

• □ 先问「堆有没有编号」，再问「要不要分给人」；
• □ 只除同尺寸且都无编号的那几堆的 r!；
• □ 分配到 m 个不同对象时乘 m!，不重复除；
• □ 元素完全相同走隔板法/整数解，不连乘组合；
• □ 「至少一个」按元素可区分性选容斥或预分配；
• □ 用「分组数×m! = 分配数」回验。