联招物理·频闪照相研究平抛：Δy=gT²、求 v₀ 与原点修正

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

频闪周期 T 固定。平抛可拆成两条独立线：
· 水平：匀速，相邻点间距 Δx = v₀ T → v₀ = Δx/T；
· 竖直：自由落体（或有初速的匀加速），连续相等时间内的位移差 Δy_{n+1} − Δy_n = g T² → g = (Δy₂−Δy₁)/T²。
关键：逐差法不要求首点是抛出点，因为 Δy 的差把首点竖直速度 v_{y1} 消掉了；但若要用 y=½gt² 求「从抛出到该点的时间」，就必须先确认 v_{y1}=0。

自编读数：T = 0.100 s，水平相邻 Δx = 5.00 cm。下面两组竖直位移均为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1 两组轨迹求 g 与 v₀（计算＋简答）

组 A 竖直相邻位移：Δy₁=4.90 cm、Δy₂=14.70 cm、Δy₃=24.50 cm；
组 B：Δy₁=9.80 cm、Δy₂=19.60 cm、Δy₃=29.40 cm。
(1) 两组分别求 g 与 v₀；说明 g 为什么两组相同。(2) 由 Δy₁ = v_{y1}T + ½gT² 分别反推首点竖直速度 v_{y1}，判断哪组首点就是抛出点。(3) 若对组 B 误用 y=½gt² 从首点起算，求「到首点的时间」会得出什么错值？正确做法是什么？

解析

(2) 反推 v_{y1}：由 Δy₁ = v_{y1}T + ½gT²，
· 组 A：v_{y1} = (4.90 − 4.90)/0.100 = 0 cm/s → 首点即抛出点（该时刻竖直速度为零）✅。
· 组 B：v_{y1} = (9.80 − 4.90)/0.100 = 49.0 cm/s = 0.490 m/s ≠ 0 → 首点不是抛出点，照片漏拍了抛出后的前一段。
闭合验证：组 B 用 v_{y1}=49.0 cm/s 逐段回算：Δy₁ = 49.0×0.1 + 4.90 = 9.80 ✅；Δy₂ = (49.0+98.0)×0.1 + 4.90 = 19.60 ✅；Δy₃ = (49.0+196.0)×0.1 + 4.90 = 29.40 ✅（每过一段竖直速度增 gT = 98.0 cm/s）。

(3) 组 B 误用 y=½gt²：若把首点当抛出点，用「首点之前」的累计竖直位移反推时间，等价于设 v_{y1}=0。以首点竖直速度 0.490 m/s 计，真实从抛出到首点的时间应由 v_{y1}=g t₀ 得 t₀ = 0.490/9.80 = 0.0500 s，对应真实已下落 y₀ = ½g t₀² = ½×9.80×0.0025 = 0.01225 m = 1.225 cm。
若误用 y₀ = ½g t′² 于「观测到的位移」口径反推，会把 t′ = √(2y₀/g) 算成 0.0500 s —— 数值碰巧相同，但那是拿已下落的 1.225 cm 反推；真正的错在于把首点之后各点的时刻整体少算了 t₀=0.0500 s：例如第 2 点真实时刻应为 t₀+T = 0.1500 s，误算成 0.1000 s，少 0.0500 s（−33.3%）；用 y=½gt² 校核该点会得 y = ½×9.80×0.0100 = 4.90 cm，而真实累计 y = 1.225 + 9.80 = 11.025 cm，差 6.125 cm，立刻报警。
正确做法：① 用逐差法求 g 与 v₀（不依赖原点）；② 用 Δy₁ 反推 v_{y1}；③ 若需绝对时刻，先由 t₀ = v_{y1}/g 补回漏拍的那段时间，再写 y(t) = ½g(t+t₀)² − ½g t₀² 或用 y = v_{y1}t + ½gt²（t 从首点起算）。一句话：逐差给「加速度与初速」，原点另判，别拿 y=½gt² 硬套非抛出点。

答案　(1) 两组逐差均 9.80 cm → g=9.80 m/s²；v₀=Δx/T=0.500 m/s；逐差消掉 v_{y1} 故两组 g 相同。(2) 组 A v_{y1}=0 首点即抛出点；组 B v_{y1}=0.490 m/s 不是抛出点。(3) 组 B 真实 t₀=v_{y1}/g=0.0500 s、已落 1.225 cm；误把首点当原点会使后续时刻整体少 0.0500 s、第2点少算 6.125 cm；正确做法为逐差求参＋反推 v_{y1}＋用 y=v_{y1}t+½gt² 补 t₀。

采分点　组A/组B 逐差各 1 分；g=9.80 m/s² 1 分；v₀=0.500 m/s 1 分；逐差消 v_{y1} 理由 1 分；½gT²=4.90 cm 1 分；两组 v_{y1} 各 1 分；组 B 三段闭合 1 分；(3) t₀=0.0500 s 1 分；y₀=1.225 cm 1 分；时刻少 0.0500 s 与 −33.3% 1 分；第2点差 6.125 cm 1 分；正确三步 1 分。

易错点　把 Δy₂−Δy₁ 直接当 g（漏除 T²）；把 9.80 cm 当成 9.80 m/s² 不换单位；认为组 B 的 g 不同；把组 B 首点当抛出点；用 y=½gt² 反推时刻却漏补 t₀；把「数值碰巧相同」当成方法没错；忽略逐差法不依赖原点这一层。

题2

题2 坐标反推、落地时间与三组独立互验

(1) 组 A 首点为抛出点，取该点为坐标原点、水平向右 x、竖直向下 y。写出第 n 个点（n=0,1,2,3）的坐标通式，并求第 3 点的 x、y 与合速度大小。
(2) 若组 A 从 h = 1.960 m 高处抛出，求落地时间、水平射程与落地时竖直速度；用逐差数据独立回验 g。
(3) 若频闪周期实际为 T′=0.105 s 而计算仍用 0.100 s，v₀ 与 g 各偏多少？说明周期误差传到 g 是几次方。

解析

(2) 落地：h = 1.960 m，由 h = ½g t² → t = √(2×1.960/9.80) = √0.4000 = 0.63246 s。
水平射程 X = v₀ t = 0.500×0.63246 = 0.31623 m；
落地竖直速度 v_y = g t = 9.80×0.63246 = 6.1981 m/s（亦 √(2gh)=√38.416=6.1981 ✅）。
逐差独立回验 g：只用题给 Δy 与 T，g = (14.70−4.90)cm/(0.100)² = 9.80 m/s²；把它代回 h=½gt² 得 t=0.63246 s ✅，与上式闭合。三条独立路：逐差给 g → 运动学给 t → 水平给 X，彼此不循环引用。
注意：h=1.960 m 是题给示意高度，与频闪照片的取景范围无关；不能拿照片里最后一点的 y₃=44.10 cm 去当 h。

(3) T′ = 0.105 s，计算仍用 0.100 s：
· v₀：报出 v₀ = Δx/0.100 = 50.0 cm/s，真实 v₀′ = Δx/0.105 = 5.00/0.105 = 47.619 cm/s = 0.47619 m/s。偏差 (50.0−47.619)/47.619 = +5.00% → 偏高（因计算用了偏小的 T，v₀=Δx/T 与 T 成反比）。
· g：真实 g′ = (Δy₂−Δy₁)/T′² = 9.80 cm/0.011025 = 888.89 cm/s² = 8.8889 m/s²；报出仍 9.80 m/s²，偏差 (9.80−8.8889)/8.8889 = +10.25% → 偏高。
传递关系：v₀ ∝ T⁻¹（一次方反比），g ∝ T⁻²（二次方反比），故同样的周期误差传到 g 被放大约 2 倍：T 偏小 5% → v₀ 偏高约 5%，g 偏高约 1/(0.95)² − 1 = 10.80%（按「真实 T 比计算值大 5%」的精确口径为 10.25%，两者差来自基期不同，如实登记取位/基期差）。
回代闭合：0.100/0.105 = 0.952381；v₀ 报/真实 = 50.0/47.619 = 1.0500 ✅；(0.105/0.100)² = 1.1025，g 报/真实 = 9.80/8.8889 = 1.1025 ✅ 恰为平方。纪律：周期/计时误差在「含 T² 的量」上按平方放大，与 00401 单摆 g∝T⁻²、00425 RC 里 τ 与 R 一次方正比形成对照——先写清比例式，再定放大倍数。

答案　(1) xₙ=5.00n cm、yₙ=4.90n² cm；第3点 (15.00, 44.10) cm，合速度 2.9822 m/s（v_y=2.940）。(2) t=0.63246 s、X=0.31623 m、落地 v_y=6.1981 m/s；逐差给 g=9.80 与 h=½gt² 闭合。(3) 真实 v₀′=0.47619 m/s、g′=8.8889 m/s²，报出值分别偏高 +5.00% 与 +10.25%；v₀∝T⁻¹、g∝T⁻² 二次方放大，比值 1.1025 精确闭合。

采分点　坐标通式 1 分；第3点坐标 1 分；v_y=2.940 与合速度 2.9822 1 分；v_y²=2gy 回验 1 分；(2) t=0.63246 1 分；X=0.31623 1 分；落地 v_y=6.1981 1 分；逐差独立回验 1 分；(3) 真实 v₀′ 1 分；真实 g′ 1 分；两偏差 1 分；v₀∝T⁻¹ 与 g∝T⁻² 1 分；1.1025 平方闭合 1 分；取位/基期差登记 1 分。

易错点　把 yₙ 写成 4.90n（漏平方）；把第3点 y 算成 14.70 或 24.50（那是单段位移不是累计）；落地时间用照片 y₃ 当 h；v_y 写成 g·n 漏乘 T；周期误差对 g 按一次方算；把 10.25% 与 10.80% 混成同一个数不登记基期差；漏掉 v_y²=2gy 回验。

三、规律小结与对照表

平抛频闪只记「水平 Δx=v₀T，竖直逐差 Δy_{n+1}−Δy_n=gT²」：本题两组逐差都是 9.80 cm，g=9.80 m/s²、v₀=0.500 m/s 与首点是不是抛出点无关。组 A 的 v_{y1}=0 是抛出点，组 B 的 v_{y1}=0.490 m/s 说明漏拍了前 0.0500 s，此时绝不能拿 y=½gt² 硬套（第 2 点会少算 6.125 cm）。坐标 x=5.00n、y=4.90n² cm，落地 t=0.63246 s。周期误差对 g 按 T⁻² 平方放大（报出值偏高 10.25%，比值 1.1025 精确闭合）。时间间隔、位移与高度均为自编示意，不代表真实拍摄或测量结果。

四、自测清单

• □ 水平用 Δx/T，竖直用逐差 (Δy₂−Δy₁)/T²；
• □ 逐差不依赖原点，别先假定首点是抛出点；
• □ 用 Δy₁=v_{y1}T+½gT² 反推首点竖直速判原点；
• □ 累计 y 是 4.90n²，不是单段 Δy 也不是 4.90n；
• □ 非抛出点补 t₀=v_{y1}/g，再写 y=v_{y1}t+½gt²；
• □ 周期误差按 v₀∝T⁻¹、g∝T⁻² 分别定放大倍数。