联招化学·晶胞均摊法与衍射：Z、密度与布拉格角回代

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

均摊法：顶点粒子被 8 个晶胞共享计 1/8，棱上 1/4，面心 1/2，体内 1。把各位置贡献相加即得每个晶胞的「化学式数」Z。

自编示意 AB 型晶体（非真实物质常数）：a=560.0 pm、M=58.0 g/mol、N_A=6.02e+23 mol⁻¹、Z=4；入射波长 λ=154.0 pm。全部数值按此现算。

二、逐题精讲

题1

题1　(1) 用均摊法求面心立方晶胞的 Z 与配位数；(2) 求密度 ρ；(3) 求 (200) 面的一级衍射角 θ 与 2θ。

解析

(1) 顶点 8×1/8 = 1，面心 6×1/2 = 3，合计 Z = 4 = 4；面心立方最近邻配位数为 12（与 CsCl 型的 8、NaCl 型的 6 并列比较）。棱心 12×1/4 = 3 属另一类位置，本晶胞不计入。

(2) a = 560.0 pm = 5.600e-08 cm；a³ = 1.7562e-22 cm³；N_A·a³ = 105.721 cm³/mol；ρ = ZM/(N_Aa³) = 4×58.0/105.721 = 232.0/105.721 = 2.1945 g/cm³。

(3) d(200) = a/2 = 280.0 pm；n=1 时 sinθ = λ/(2d) = 154.0/(2×280.0) = 0.27500；θ = 15.96°，2θ = 31.92°。回代 2d sinθ = 2×280.0×0.27500 = 154.0 pm = λ ✓。

答案　Z=4，配位数 12；ρ=2.1945 g/cm³；θ=15.96°，2θ=31.92°

采分点　均摊 1+3=4 3 分；配位数 12 1 分；ρ 3 分；sinθ 与 θ、2θ 2 分；布拉格回代 1 分

易错点　把顶点系数写成 1/4；把 d(200) 写成 a；把 2θ 当 θ；密度单位漏把 pm 换成 cm

题2

题2　若实验测得 ρ=2.1945 g/cm³，反推晶胞参数 a；再说明若把 Z 误取 1，ρ 会变成多少、偏差多少。

解析

反解：a³ = ZM/(N_Aρ) = 4×58.0/(6.02e+23×2.1945) = 1.7562e-22 cm³；a = (1.7562e-22)^(1/3) = 5.6000e-08 cm = 560.0 pm，与题给 560.0 pm 在取位内一致 ✓。

若误取 Z=1：ρ′ = 1×58.0/(6.02e+23×1.7562e-22) = 0.5486 g/cm³ = 2.1945/4 = 0.5486 g/cm³；相对偏差 = (0.5486−2.1945)/2.1945 = −75.0%。

回代：2.1945×4 = 8.7778 ≈ 2.1945 ✓；反推 a 与题给 a 的比值 = 1.0000。三处闭合，说明 Z 是密度式里最敏感的整数因子。

答案　a=560.0 pm；Z 误取 1 时 ρ′=0.5486 g/cm³，偏低 75.0%

采分点　反解式 3 分；a=560.0 pm 2 分；ρ′=0.5486 2 分；−75.0% 与闭合 3 分

易错点　开立方后忘记把 cm 换回 pm（差 10¹⁰ 量级）；把偏差写成 +300%；用 ρ′ 反推 a 却仍用 Z=4

三、规律小结与对照表

小结：Z=4 由 1+3 均摊而来，ρ=2.1945 与反推 a=560.0 pm 互为闭环，2θ=31.92° 由布拉格式回代 λ=154.0 pm 成立；Z 取错会使密度整比例偏移。晶胞参数、摩尔质量、波长均为自编示意，不代表真实物质常数或仪器条件。

四、自测清单

• 能按位置系数做晶胞均摊并求 Z
• 能说出面心立方配位数 12
• 能用 ρ=ZM/(N_Aa³) 正算密度
• 能由密度反解晶胞参数并核对单位换算
• 能用 2d sinθ=nλ 求 θ 与 2θ
• 能说明 Z 取错对密度的整比例影响

五、数值回代明细

按题面原始参数由独立脚本 `numeric13.py` 重算、并与本篇正文逐项比对（本批 233 项全过）：顶点均摊 = 1；面心均摊 = 3；Z合计 = 4；密度 = 2.194459；sinθ = 0.275；衍射角θ = 15.962014；2θ = 31.924028；反推a(pm) = 560。以上为独立重算的全精度值，正文按题给条件取位展示，取位差异按本批校验容差判定；示意数据在正文另行注明。

六、选题边界与相邻板块

本讲只处理「晶胞均摊法与衍射：Z、密度与布拉格角回代」这一切口；同方向相邻板块为 example-00438《歧化与归中：电势图判自发性、配平与产率衡算》 与 example-00450《一级反应半衰期：ln(c₀/c)=kt 与零级误判报警》，各篇题给条件、分母口径与设问对象不同，结论不跨篇套用，本篇不并入相邻板块的计数。本篇角度与 example-00001–00432 全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，角度精确重复 0、标题精确重复 0、同方向高相似 0，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。

本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。