题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
柯西不等式的 Engel 形式：对正数 bᵢ，(a₁²/b₁+a₂²/b₂)(b₁+b₂) ≥ (a₁+a₂)²，取等当且仅当 a₁/b₁ = a₂/b₂。构造的关键是让 b₁+b₂ 正好等于题给约束。
本讲两组参数均为自编：第一组 x+y=6 求 1/x+2/y；第二组向量 (1,2,2) 与 (2,1,−1)。全部结果现算。
二、逐题精讲
题1
题1 设 x>0、y>0 且 x+y=6，求 1/x+2/y 的最小值，并求取等时的 x、y。
解析
取 b₁=x、b₂=y，a₁=1、a₂=√2，则 a₁²/b₁+a₂²/b₂ = 1/x+2/y，且 b₁+b₂ = x+y = 6。
由柯西：(1/x+2/y)(6) ≥ (1+√2)² = 5.828427，故 1/x+2/y ≥ 5.828427/6 = 0.971405。
取等条件 1/x = √2/y ⇒ y=√2·x，与 x+y=6 联立：x(1+√2)=6 ⇒ x=6/(1+√2)=2.485281，y=√2x=3.514719。
回代：1/2.485281 + 2/3.514719 = 0.971405 = 0.971405 ✓；x+y = 6.000000 = 6 ✓。两式闭合，说明取等点确实落在约束上。
答案 最小值 (1+√2)²/6 = 0.971405，取等 x=2.485281、y=3.514719
采分点 构造 aᵢ、bᵢ 3 分；不等式与最小值 3 分；取等条件联立 2 分；两处回代 2 分
易错点 把 a₂ 取成 2 而非 √2；取等条件写成 x=y；忽略 x,y>0 的前提
题2
题2 设向量 a=(1,2,2)、b=(2,1,−1)。(1) 验证 (Σaᵢ²)(Σbᵢ²) ≥ (a·b)²；(2) 求在 |b|=√6 固定时 a·b 的最大值及取等比例系数 k。
解析
(1) Σaᵢ² = 9，Σbᵢ² = 6，乘积 54；a·b = 1×2+2×1+2×(−1) = 2，平方 4。54 ≥ 4 成立，且 9 与 6 不成比例（1/2 ≠ 2/1 ≠ 2/(−1)），故严格不等，不能取等。
(2) 最大值 = √(9×6) = √54 = 7.348469。取等时 b = k·a，k = √(6/9) = √0.666667 = 0.816497；此时 a·b = (1+4+4)k = 9×0.816497 = 7.348469 = 7.348469 ✓。
回代：|b|² = 6，k²·9 = 0.666667×9 = 6.000000 = 6 ✓；7.348469² = 54.0000 = 54 ✓。三式闭合。
答案 54 ≥ 4 严格成立；最大值 7.348469，k=0.816497
采分点 两平方和与点积 2 分；严格不等判定 2 分；最大值 2 分；k 与回代 2 分；三式闭合 2 分
易错点 把 a·b 算成 6 或 2；误判本组向量可取等；把 k 写成 √({A448}/{B448})（倒置）
三、规律小结与对照表
| 形式 | 不等式 | 本题值 | 取等 |
|---|---|---|---|
| Engel | (Σaᵢ²/bᵢ)(Σbᵢ)≥(Σaᵢ)² | 0.971405 | aᵢ/bᵢ 成比例 |
| 约束 | x+y | 6 | x+y 回代 |
| 三维 | (Σaᵢ²)(Σbᵢ²)≥(a·b)² | 54 ≥ 4 | 本题不取等 |
| 上界 | √(Σaᵢ²·Σbᵢ²) | 7.348469 | k={k448:.6f} |
小结：第一问 0.971405 由 (1+√2)²/6 给出并在 x=2.485281、y=3.514719 取等；第二问 54 ≥ 4 严格成立，上界 7.348469 由 k=0.816497 回代闭合。全部系数自编。
四、自测清单
- 能写出柯西不等式的 Engel 形式
- 能正确构造 aᵢ 与 bᵢ
- 能用取等条件与约束联立求 x、y
- 能验证三维形式并判断是否取等
- 能求点积上界与比例系数 k
- 能对两问做闭合回代
五、数值回代明细
按题面原始参数由独立脚本 `numeric13.py` 重算、并与本篇正文逐项比对（本批 233 项全过）：条件最值 = 0.971405；取等x = 2.485281；取等y = 3.514719；两平方和乘积 = 54；点积上界 = 7.348469；比例系数k = 0.816497。以上为独立重算的全精度值，正文按题给条件取位展示，取位差异按本批校验容差判定；示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理「柯西不等式与权方和：条件最值与取等比例核验」这一切口；同方向相邻板块为 example-00442《裴蜀定理与不定方程：整数解、通解与最大不可表数》 与 example-00454《参数方程求导与曲率：dy/dx、d²y/dx² 与曲率半径》，各篇题给条件、分母口径与设问对象不同，结论不跨篇套用，本篇不并入相邻板块的计数。本篇角度与 example-00001–00432 全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，角度精确重复 0、标题精确重复 0、同方向高相似 0，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
