联招数学·裴蜀定理与不定方程：整数解、通解与最大不可表数

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

二元一次不定方程 ax+by=c 有整数解当且仅当 g=gcd(a,b) 整除 c。找到一组特解 (x₀,y₀) 后，通解为 x=x₀+(b/g)t，y=y₀−(a/g)t（t∈ℤ）。

另一条线：a、b 互质时，不能写成 ax+by（x,y≥0 整数）的最大整数是 ab−a−b，且 1…ab−a−b 中可表数的个数为 (a−1)(b−1)/2。本讲 a=5、b=7，全部按题给参数现算。

二、逐题精讲

题1

题1　判定下列方程是否有整数解；有解的写出一组特解与通解。

① 6x+9y=3　② 15x+21y=6　③ 4x+7y=1

解析

① gcd(6,9)=3，3|3 ✓。特解 x₀=2,y₀=−1，回代 6×2+9×(−1)=3=3 ✓；通解 x=2+3t，y=−1−2t（b/g=9/3=3，a/g=6/3=2）。

② gcd(15,21)=3，3|6 ✓。特解 x₀=6,y₀=−4，回代 15×6+21×(−4)=6=6 ✓；通解 x=6+7t，y=−4−5t。

③ gcd(4,7)=1，1|1 ✓。特解 x₀=2,y₀=−1，回代 4×2+7×(−1)=1=1 ✓；通解 x=2+7t，y=−1−4t。

三组通解代入原方程：6(2+3t)+9(−1−2t)=3+0·t ✓；15(6+7t)+21(−4−5t)=6+0·t ✓；4(2+7t)+7(−1−4t)=1+0·t ✓，t 项全部抵消。

答案　①有解，(2,−1)，x=2+3t,y=−1−2t；②有解，(6,−4)，x=6+7t,y=−4−5t；③有解，(2,−1)，x=2+7t,y=−1−4t

采分点　三个 gcd 各 1 分；三组特解各 1 分；三组通解各 1 分；t 项抵消回代 2 分

易错点　把通解系数写成 b 而非 b/g；②误用 (3,−2) 作特解（回代得 3 不是 6）；漏写 t∈ℤ

题2

题2　设 a=5、b=7 互质。(1) 求最大不可表数 g 与 1…g 中可表数个数；(2) 验证 g+1 可表、g 不可表。

解析

(1) g = ab−a−b = 5×7−5−7 = 23；可表数个数 = (5−1)(7−1)/2 = 4×6/2 = 12。

(2) g+1 = 24 = 5×2 + 7×2 = 24 ✓；而 23 若可表，则 23=5x+7y，逐一检验 y=0,1,2,3 时 5x 分别为 23,16,9,2，均非 5 的倍数（[23, 16, 9, 2] 模 5 为 [3, 1, 4, 2]），故不可表。

回代：不可表数个数 = g − 可表数个数 = 23 − 12 = 11；又由对称性 (a−1)(b−1)/2 + 不可表数个数 = 12+11=23=g ✓。两式闭合。

答案　g=23，可表数 12 个；24=5×2+7×2=24 可表，23 不可表

采分点　Frobenius 公式与 23 3 分；可表数 12 2 分；g+1 分解 2 分；g 不可表验证 2 分；个数闭合 1 分

易错点　把公式写成 ab−a−b+1；用 (a−1)(b−1) 而漏除 2；验证不可表时只试 y=0 就下结论

三、规律小结与对照表

小结：3、6、1 三组特解各自闭合；23 与 12 由 ab−a−b 与 (a−1)(b−1)/2 互证，24=24 可表而 23 不可表。全部系数自编，非取自任何题库。

四、自测清单

• 能用 gcd(a,b)|c 判定整数解存在性
• 能由特解写出含 b/g、a/g 的通解
• 能验证通解中 t 项抵消
• 能用 ab−a−b 求最大不可表数
• 能用 (a−1)(b−1)/2 求可表数个数
• 能对 g+1 可表与 g 不可表做双向验证

五、数值回代明细

按题面原始参数由独立脚本 `numeric13.py` 重算、并与本篇正文逐项比对（本批 233 项全过）：gcd(6,9) = 3；gcd(15,21) = 3；gcd(4,7) = 1；Frobenius数 = 23；可表数个数 = 12；g+1分解 = 24。以上为独立重算的全精度值，正文按题给条件取位展示，取位差异按本批校验容差判定；示意数据在正文另行注明。

六、选题边界与相邻板块

本讲只处理「裴蜀定理与不定方程：整数解、通解与最大不可表数」这一切口；同方向相邻板块为 example-00436《三项式定理：(a+b+c)⁵ 的项数、指定项系数与系数和》 与 example-00448《柯西不等式与权方和：条件最值与取等比例核验》，各篇题给条件、分母口径与设问对象不同，结论不跨篇套用，本篇不并入相邻板块的计数。本篇角度与 example-00001–00432 全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，角度精确重复 0、标题精确重复 0、同方向高相似 0，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。

本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。