联招数学·三项式定理：(a+b+c)⁵ 的项数、指定项系数与系数和

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

二项式定理只处理两类项；三类及以上用多项式定理：∑ 各项系数 = (a+b+c)ⁿ 中 aⁱbʲcᵏ 的系数为 n!/(i!j!k!)，其中 i+j+k=n。

本讲 n=5、m=3：展开项数 = C(5+3−1, 3−1) = C(7,2) = 21；全部系数和 = 3⁵ = 243；f(−1,1,1) = (−1+1+1)⁵ = 1。三项数据均由题给参数现算，非取自任何题库。

二、逐题精讲

题1

题1　求 (a+b+c)⁵ 的：(1) 展开项数；(2) a²b²c 项与 a³bc 项的系数；(3) 全部系数和。

解析

(1) 非负整数解 i+j+k=5 的个数 = C(5+3−1, 3−1) = C(7,2) = 21 项。

(2) a²b²c：系数 = 5!/(2!2!1!) = 120/4 = 30；a³bc：系数 = 5!/(3!1!1!) = 120/6 = 20。二者指数和均为 5，回代 2+2+1=5、3+1+1=5 成立。

(3) 令 a=b=c=1，(1+1+1)⁵ = 3⁵ = 243，即全部系数和；核验 f_all1=243 与 243 一致。

答案　项数 21；a²b²c 系数 30，a³bc 系数 20；系数和 243

采分点　C(7,2)=21 3 分；两个指定系数各 2 分；系数和 243 2 分；指数和回代 1 分

易错点　把项数写成 3⁵；把 5!/(2!2!1!) 算成 5!/(2!2!) 漏除 1!；系数和误用 2⁵

题2

题2　(1) 求 (a+b+c)⁵ 中 a 的奇次项系数和与偶次项系数和；(2) 求 (a+2b+c)⁵ 中 a²bc² 项的系数。

解析

(1) 设 S_奇、S_偶 为 a 的奇次／偶次项系数和。f(1,1,1)=S_偶+S_奇=243；f(−1,1,1)=S_偶−S_奇=(-1+1+1)⁵=1。联立得 S_奇=(243−1)/2=121，S_偶=(243+1)/2=122；回代 121+122=243 ✓。

(2) a²bc² 在 (a+2b+c)⁵ 中来自 a²·(2b)¹·c²，系数 = 5!/(2!1!2!) × 2¹ = 30 × 2 = 60。若漏乘 2 会得 30，差 30。

两问均用题给 n=5 现算；121、122、60 与 21、243 五数互不矛盾。

答案　S_奇=121，S_偶=122；a²bc² 项系数 60

采分点　两次赋值 3 分；联立得 121/122 各 2 分；带系数项 60 2 分；闭合回代 1 分

易错点　把 f(−1,1,1) 算成 (−1)⁵=−1（漏加 b、c 的 1）；带系数项忘记乘 2¹；奇／偶两和相加不等于 {sum436} 时未察觉

三、规律小结与对照表

小结：项数 21、系数和 243、奇偶和 121/122、带系数项 60 四条线各自可回代；赋值法只改 a 的符号，b、c 保持 1 是关键。全部参数自编。

四、自测清单

• 能写出多项式定理的系数公式
• 能用可重复组合求展开项数
• 能用赋值法求全部系数和
• 能用两次赋值分离奇次／偶次项系数和
• 能处理带系数项的额外因子
• 能对五个结果做闭合回代

五、数值回代明细

按题面原始参数由独立脚本 `numeric13.py` 重算、并与本篇正文逐项比对（本批 233 项全过）：三项展开项数 = 21；a²b²c系数 = 30；a³bc系数 = 20；全部系数和 = 243；a奇次项系数和 = 121；a偶次项系数和 = 122；a²bc²带系数项 = 60。以上为独立重算的全精度值，正文按题给条件取位展示，取位差异按本批校验容差判定；示意数据在正文另行注明。

六、选题边界与相邻板块

本讲只处理「三项式定理：(a+b+c)⁵ 的项数、指定项系数与系数和」这一切口；同方向相邻板块为 example-00430《奇偶性与周期性复合：f(x+2)=−f(x) 推出周期 4》 与 example-00442《裴蜀定理与不定方程：整数解、通解与最大不可表数》，各篇题给条件、分母口径与设问对象不同，结论不跨篇套用，本篇不并入相邻板块的计数。本篇角度与 example-00001–00432 全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，角度精确重复 0、标题精确重复 0、同方向高相似 0，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。

本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。