题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
设已知 a、b、A（A 为 a 的对角，SSA）。正弦定理给 sin B = b·sin A / a。分档只看两个量：h = b·sin A（b 边上的「高」）与 b 本身：
a < h 无解（sin B > 1）；a = h 一解（B = 90°）；h < a < b 两解（B 与 180°−B 都合法）；a ≥ b 一解（钝角补解会使 A+B ≥ 180°）。两解时必须分别回算 C = 180°−A−B 与 c，不能只写一个。下面四组数据均为自编示意。
二、逐题精讲
题1
题1 四档判定与两解回算（计算＋简答）
自编四组（统一 b = 8，A = 30°，故 h = b sin A = 8×0.5 = 4）：
① a=3 ② a=4 ③ a=6 ④ a=9。
(1) 逐组判无解/一解/两解，写出判据；对有解的组求 B（两解组写两个）。
(2) 对两解组分别求 C 与 c（用 c = a·sin C / sin A），并用余弦定理解 c 的二次方程作互验。
(3) 说明为什么「a ≥ b」时补解 180°−B 一定不合法。
解析
(1) h = 8·sin30° = 8×0.5 = 4。· ① a=3 < h=4：sin B = 4/3 = 1.333 > 1 → 无解。
· ② a=4 = h：sin B = 4/4 = 1 → B = 90°，一解（直角三角形）；C = 180−30−90 = 60°，c = a·sin60/sin30 = 4×(√3/2)/(1/2) = 4√3 ≈ 6.928。
· ③ h=4 < a=6 < b=8：sin B = 4/6 = 0.666667 → B₁ = 41.8103°、B₂ = 180°−41.8103° = 138.1897°。两解合法性：C₁ = 180−30−41.8103 = 108.1897° > 0 ✅；C₂ = 180−30−138.1897 = 11.8103° > 0 ✅，两解都成立。
· ④ a=9 ≥ b=8：sin B = 4/9 = 0.444444 → B₁ = 26.3878°，补解 B₂ = 153.6122° 会使 A+B₂ = 30+153.6122 = 183.6122° > 180° → 不合法，故一解；C = 180−30−26.3878 = 123.6122°。
(2) 两解组 ③ 的 c 回算（a=6, sin A=0.5，故 c = 12·sin C）：
· B₁ 路：C₁=108.1897°，sin C₁ = 0.949918 → c₁ = 12×0.949918 = 11.3990；
· B₂ 路：C₂=11.8103°，sin C₂ = 0.204624 → c₂ = 12×0.204624 = 2.4555。
余弦定理互验：a² = b² + c² − 2bc·cos A → 36 = 64 + c² − 16c·(√3/2) → c² − 8√3·c + 28 = 0（8√3≈13.8564）。
判别式 Δ = (8√3)² − 4×28 = 192 − 112 = 80 > 0，两根 c = [8√3 ± √80]/2 = 4√3 ± 2√5：
4√3 + 2√5 = 6.9282 + 4.4721 = 11.4003；4√3 − 2√5 = 6.9282 − 4.4721 = 2.4561。
与正弦定理的 11.3990 / 2.4555 取位内一致（差来自角度四位取位）✅。二次方程两根为正，正对应两解——这给了一条不靠「补角合法性」的独立判据：Δ>0 且两根均正 ⇒ 两解。
(3) a ≥ b 时补解不合法：由正弦定理 a/sin A = b/sin B，a ≥ b 等价于 sin A ≥ sin B；在 A=30° 这类锐角情形下，B₁ 必 ≤ A 或与 A 同侧，而补解 B₂ = 180° − B₁ ≥ 150°（因 B₁ ≤ 30°），于是 A + B₂ ≥ 30°+150° = 180°（本题 183.61° 更明显），C ≤ 0，三角形不成立。一般表述：大边对大角，a ≥ b 要求 A ≥ B，故 B 只能是锐角那个解；补解是钝角，必使 A+B 超限。回验：④ 的 B₁=26.3878° ≤ A=30° ✅ 与 a=9>b=8 一致。
答案 (1) h=4；①无解(sinB=4/3>1)、②一解 B=90°、③两解 B=41.8103°/138.1897°、④一解 B=26.3878°（补解使 A+B=183.61°>180°）。(2) c₁=11.3990、c₂=2.4555；余弦定理 c²−8√3c+28=0 两根 4√3±2√5≈11.4003/2.4561，取位内一致（差来自 B 四位取位）。(3) a≥b ⇒ A≥B，补解为钝角必使 A+B>180°、C≤0。
采分点 h=4 1 分；四档判定各 1 分；两解 B 值 1 分；两 C 合法性 1 分；c₁/c₂ 1 分；余弦定理方程 1 分；Δ=80 与两根 1 分；两路互验一致 1 分；(3) 大边对大角 1 分；A+B>180° 回算 1 分。
易错点 把 h 算成 b/cosA；两解组只写一个 B；忘记验 C>0 就保留补解；a≥b 仍保留两个解；用余弦定理时把 2bc cosA 系数算错（应为 16c·cos30）；把二次方程两根一正一负仍判两解；角度取位差当成方法错。
题2
题2 钝角 A、边角互化选路与面积
(1) 自编变式：b=8，A=120°（钝角），a=9。判解的个数并求 B、C、c；说明「A 为钝角」时分档判据要怎么改。
(2) 对③ 两解组分别求三角形面积 S = ½·b·c·sin A，比较大小；再求两解中外接圆半径 R 是否相同。
(3) 归纳：什么时候优先用正弦定理、什么时候优先用余弦定理？「边角互化」各自适合什么题型？
解析
(1) A=120° 为钝角，则 a 必须是最大边（钝角对最大边）。sin B = b·sin A / a = 8·sin120°/9 = 8×(√3/2)/9 = 4√3/9 = 0.769800 → B₁ = 50.3360°；补解 B₂=129.6640° 会使 A+B₂ = 120+129.6640 = 249.6640° > 180°，不合法。且 a=9 > b=8 ✅ 满足最大边条件，故一解。
C = 180 − 120 − 50.3360 = 9.6640°；c = a·sin C / sin A = 9×0.167862/0.866025 = 1.7446。
余弦定理互验：81 = 64 + c² − 16c·cos120° = 64 + c² + 8c → c² + 8c − 17 = 0，正根 c = [−8 + √(64+68)]/2 = (−8+√132)/2 = (−8+11.4891)/2 = 1.7446，取位内一致 ✅（另一根为负，舍去）。
分档改动：A 为钝角时不再用「h=b sinA 与 b 比较」的四档，改为单条件：a > b（且 a 为最大边）才有一解，a ≤ b 一律无解。因为钝角已占去 >90°，剩下两角之和 <90°，B 只能是锐角小角，不存在「两解」空间；sin B < 1 只是必要非充分条件。回验：若取 a=7 < b=8，sin B = 4√3/7 = 0.9897 < 1 看似有解，但 a<b 与「钝角对最大边」矛盾，余弦定理给 c²+8c+15=0 两根皆负 → 无解 ✅。
(2) 面积与 R（③组 a=6, b=8, A=30°）：
S = ½·b·c·sin A = ½×8×c×0.5 = 2c。
· B₁ 路 c₁=11.3990 → S₁ = 22.7980；
· B₂ 路 c₂=2.4555 → S₂ = 4.9110；
S₁/S₂ = c₁/c₂ = 4.6422（两解面积差约 4.64 倍）。用精确根核：(4√3+2√5)/(4√3−2√5) = 11.4003/2.4561 = 4.6416，取位内一致 ✅。
外接圆半径：R = a/(2 sin A) = 6/(2×0.5) = 6。两解相同——因为 a 与 A 是题给固定量，R 只由这一组「边及其对角」决定，与取 B₁ 还是 B₂ 无关。回验：R = b/(2 sin B) = 8/(2×0.666667) = 6 ✅；R = c₁/(2 sin C₁) = 11.3990/(2×0.949918) = 6.0000 ✅，三路闭合。结论：SSA 两解共享同一个外接圆，差别只在 B、C、c 与面积。
(3) 选路归纳：
· 优先正弦定理：已知「一边及其对角」（a 与 A 成对出现），要求角（sin B = b sin A / a）或求外接圆半径 R = a/(2 sin A)；SSA 判解个数也靠它。
· 优先余弦定理：已知两边及夹角（SAS）求第三边、已知三边（SSS）求角、或SSA 想避开「补角合法性」讨论——把 c 当未知数解二次方程，Δ 与根的正负直接给解的个数（本题 Δ=80>0 两根正 ⇒ 两解）。
· 边角互化：「角化边」（用余弦定理把 cos A 换成 (b²+c²−a²)/(2bc)）适合判断形状、证恒等式、求范围；「边化角」（用正弦定理把 a=2R sin A 代入）适合齐次式化简、求 R、判解个数。
纪律：凡 SSA，先算 h=b sinA 分档；凡出现补角，必验 C>0；能用余弦定理解二次方程时，拿 Δ 与根的正负再独立核一遍。
答案 (1) A=120° 钝角时改为「a>b 且 a 为最大边才一解」；本题一解 B≈50.3360°、C≈9.6640°、c≈1.7446，余弦定理 c²+8c−17=0 正根互验。(2) S₁=22.7980、S₂=4.9110（比约 4.64 倍）；两解 R 同为 6，三路闭合。(3) 选路与边角互化归纳见上。
采分点 钝角改判据 1 分；a>b 最大边条件 1 分；B≈50.3360° 1 分；C 与 c 1 分；c²+8c−17=0 正根互验 1 分；a≤b 无解回验 1 分；S=2c 两值 1 分；面积比 1 分；R=6 三路闭合 1 分；两类选路各 1 分；边角互化两类 1 分；SSA 纪律 1 分。
易错点 钝角 A 仍套 h 四档判两解；用 sinB<1 就断言有解（忽略 a>b）；补解不验 A+B；把两解外接圆判成不同；面积用 ½ab sinC 却错代角；余弦定理 cos120° 符号写成负负得正；二次方程负根不舍。
三、规律小结与对照表
| a 与 h=b sinA、b | sin B | 解数 | 补解合法性 | 余弦定理 Δ | 本题组 |
|---|---|---|---|---|---|
| a<h | >1 | 无解 | — | 无实根 | ① a=3 |
| a=h | =1 | 一解(B=90°) | — | Δ=0 | ② a=4 |
| h<a<b | (0,1) | 两解 | 两个 C 均>0 | Δ>0 两根正 | ③ a=6 |
| a≥b | (0,1) | 一解 | A+B₂>180° | 一正根(另根不合) | ④ a=9 |
| A 钝角 | 需 a>b 且最大边 | 一解或无解 | 补解必不合法 | 负根舍去 | (1) A=120° |
| 两解 R | a/(2sinA) | 相同 | — | — | R=6 |
| 两解面积 | S=½bc sinA=2c | S₁/S₂=c₁/c₂ | — | — | 22.798/4.911 |
| c 二次方程 | c²−8√3c+28=0 | 两解 | — | Δ=80 | 4√3±2√5 |
| 边角互化 | 角化边 / 边化角 | — | — | — | 判形状 / 求 R |
SSA 只记「先算 h = b·sin A，再按 a 与 h、b 分四档」：a<h 无解、a=h 一解、h<a<b 两解、a≥b 一解。本题 b=8、A=30° 得 h=4，两解组 B=41.8103°/138.1897°、c=11.3990/2.4555，用余弦定理 c²−8√3c+28=0（Δ=80，两根 4√3±2√5）独立互验；两解共享 R=6 而面积差约 4.64 倍。A 为钝角时改判「a 必须最大边」，不再套四档。凡补解必验 C>0。数据均为自编示意，不代表任何真题或题库题目。
四、自测清单
- □ 先算 h=b·sinA，再按 a 与 h、b 分四档；
- □ 两解时写出 B 与 180°−B，并分别验 C>0；
- □ a≥b 或 A 钝角时排除钝角补解；
- □ 用余弦定理解 c 的二次方程，拿 Δ 与根的正负互验；
- □ 两解 R 相同、面积随 c 变，不混答；
- □ 已知「边及其对角」优先正弦，SAS/SSS 优先余弦。
