联招物理·共鸣管测声速：相邻共鸣差 λ/2、管口修正与误差方向

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

一端封闭、一端开口的管内空气柱，共鸣条件（含管口修正 e）：
Lₙ = (2n−1)·λ/4 − e（n=1,2,3…），即第一次 L₁ = λ/4 − e，第二次 L₂ = 3λ/4 − e，第三次 L₃ = 5λ/4 − e。
两式相减：L₂ − L₁ = λ/2、L₃ − L₂ = λ/2 —— e 被完全消掉，这正是差值法的价值：不必知道管口修正也能求 λ。

自编读数：音叉 f = 512 Hz，第一次共鸣 L₁ = 15.6 cm，第二次 L₂ = 48.9 cm，第三次 L₃ = 82.2 cm；室温为示意值，不用于声速理论值比对。数据均属自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1 差值法与管口修正（计算＋简答）

按上述自编读数作答：
(1) 由 L₂−L₁ 与 L₃−L₂ 分别求 λ，再由 v = fλ 求声速；用 L₃−L₁ 再验一次。
(2) 由 L₁ 回推管口修正 e，并验 L₂、L₃ 是否与同一 e 闭合。
(3) 若某同学把 L₁ 直接当 λ/4（忽略 e）算 λ 与 v，结果是多少、偏大还是偏小、偏差百分比多少？说明为什么差值法能避开这个错。

解析

(2) 管口修正：由 L₁ = λ/4 − e，
λ/4 = 66.6/4 = 16.65 cm，e = 16.65 − 15.6 = 1.05 cm。
闭合验证：L₂ = 3λ/4 − e = 3×16.65 − 1.05 = 49.95 − 1.05 = 48.90 cm ✅；L₃ = 5λ/4 − e = 5×16.65 − 1.05 = 83.25 − 1.05 = 82.20 cm ✅。三次读数都落在同一个 e=1.05 cm 上，说明这组自编数据自洽。
物理口径：e 与管径有关（开口端波腹略伸出管口），本题 e 由读数反推，属示意值，不代表任何真实管径修正系数。

(3) 误把 L₁ 当 λ/4：λ′ = 4×15.6 = 62.4 cm = 0.624 m，v′ = 512×0.624 = 319.488 m/s ≈ 319.5 m/s。
偏差 = (319.488 − 340.992)/340.992 = −6.30% → 偏小。
原因：真实 L₁ = λ/4 − e 比 λ/4 短了 e，忽略 e 等于把偏短的长度直接当成 λ/4，λ 被低估 4e = 4×1.05 = 4.20 cm（66.6−62.4=4.2 cm ✅）。
差值法为何避开：L₂−L₁ = (3λ/4−e)−(λ/4−e) = λ/2，e 在相减时严格抵消；同理 L₃−L₂、L₃−L₁ 都不含 e。所以只要测两次以上共鸣并取差，管口修正、水面零点记偏这类「各次都相同的固定偏移」全被消掉——与 00407 校准里的「比例偏差」、00365 牛顿环差值法对级数起点免疫，是同一套差值消系统量的思路。代价：必须能稳定找到相邻两次共鸣；若把 n=1 与 n=3 的差当成相邻差，会得 λ/2 的 2 倍误差。

答案　(1) L₂−L₁=L₃−L₂=33.3 cm→λ=66.6 cm=0.666 m，v=512×0.666=340.992≈341.0 m/s；L₃−L₁=66.6 cm=λ 三路闭合。(2) e=λ/4−L₁=16.65−15.6=1.05 cm，L₂=48.90、L₃=82.20 闭合。(3) 误算 λ′=62.4 cm、v′=319.488 m/s，偏小 6.30%（λ 少 4e=4.2 cm）；差值法使 e 相消。

采分点　两相邻差各 33.3 cm 1 分；λ=66.6 cm 1 分；v=340.992 1 分；L₃−L₁=λ 回验 1 分；e=1.05 cm 1 分；L₂/L₃ 闭合各 1 分；误算 λ′=62.4 与 v′=319.488 1 分；−6.30% 1 分；4e=4.2 cm 1 分；说明 e 相消与「相邻」条件 1 分。

易错点　把 L₂−L₁ 直接当 λ（漏乘 2）；把 L₃−L₁ 当 λ/2；忽略 e 用 L₁ 反推 λ；把 n=1 与 n=3 的差当相邻差；把 e 当成随 n 变化的量；把 v=fλ 写成 v=f/λ；用室温理论声速去「校正」自编读数。

题2

题2 频率读偏、只测一次与三次互验

(1) 若音叉标称 512 Hz 实际为 520 Hz（偏高 1.5625%），而计算仍用 512，求报出的 v 与偏差方向；再求「真实 v」应是多少，并说明频率误差传到声速是几次方关系。
(2) 若只测到第一次共鸣 L₁=15.6 cm，且已知 e=1.05 cm，求 λ 与 v；说明这种「单次＋已知 e」做法为什么不如差值法稳。
(3) 由三次读数构造两个独立估计：用 (L₂−L₁) 与 (L₃−L₂) 各算一次 v，再取平均；写出数值并说明「三次共鸣、两次相邻差」为什么能顺带查出某一次读数记错。

解析

(2) 单次＋已知 e：λ = 4(L₁ + e) = 4×(15.6+1.05) = 4×16.65 = 66.6 cm，v = 512×0.666 = 340.992 m/s，与差值法一致 ✅。
不如差值法稳的三条：① e 必须事先已知且准确——e 依赖管径、开口端条件，换一根管或水面读数零点一变就失效，而差值法完全不依赖 e；② L₁ 本身最短，同样的绝对读数误差（如 ±0.1 cm）在 15.6 cm 上的相对误差约 0.64%，而 33.3 cm 的差值上仅约 0.30%；③ 单次读数无互验——共鸣点判断偏了没有第二个数能报警，差值法用 L₂、L₃ 可立刻闭合。口径：本问「已知 e」是题给条件，不是实验上可白拿的量；实际实验优先多测几次取相邻差。

(3) 两个独立估计：
· 由 L₂−L₁ = 33.3 cm → λ₁ = 66.6 cm → v₁ = 340.992 m/s；
· 由 L₃−L₂ = 33.3 cm → λ₂ = 66.6 cm → v₂ = 340.992 m/s；
· 平均 v̄ = 340.992 m/s；两次差 0。
为什么能查记错：三个共鸣长度应满足等差（公差 λ/2）。若某一次记错，比如 L₂ 误记为 49.9 cm，则 L₂−L₁=34.3、L₃−L₂=32.3，两个相邻差不等，立刻报警；再用 L₃−L₁=66.6 与「应为 λ」对照，可定位是中间那次出错（因为只有 L₂ 同时出现在两个差里）。一般式：对 n=1,2,3，(L₃−L₂) − (L₂−L₁) = L₁ + L₃ − 2L₂ 应为 0；不为 0 就说明至少一次读数有误。本题回代：15.6 + 82.2 − 2×48.9 = 97.8 − 97.8 = 0 ✅，三次自洽。
纪律：至少测三次共鸣、用两个相邻差互验，既消 e 又查错；只测两次虽能消 e，但没有冗余可查。

答案　(1) 报出 v 仍 340.992 m/s（偏低 1.5385%），真实 v=520×0.666=346.320 m/s；v 与 f 一次方正比线性传递。(2) 单次+已知 e 得 λ=66.6 cm、v=340.992，但依赖 e 且 L₁ 最短、无互验，不如差值法。(3) v₁=v₂=340.992，平均 340.992；三次长度应等差，L₁+L₃−2L₂=0 可定位某次记错。

采分点　(1) v报=340.992 1 分；v真=346.320 1 分；−1.5385% 1 分；512/520 闭合 1 分；一次方线性传递 1 分；(2) 4(L₁+e)=66.6 1 分；三条不稳理由各 1 分；(3) 两估计与平均 1 分；等差条件 1 分；L₁+L₃−2L₂=0 回代 1 分；定位中间读数 1 分；「三次两次差」纪律 1 分。

易错点　频率读偏时把 λ 也跟着改（λ 由长度定，与 f 无关）；把偏差基期混用还要求两百分比相等；把 v 与 f 说成平方关系；单次法里忘记加 e；把「已知 e」当实验白拿；只测两次就说能查错；等差检验写成 L₁+L₂−2L₃。

三、规律小结与对照表

共鸣管只记「相邻差 = λ/2，e 相消；隔一次差 = λ」：本题 15.6、48.9、82.2 cm 两个相邻差都是 33.3 cm，λ=66.6 cm，v=512×0.666=340.992 m/s；回推 e=1.05 cm 后三次读数全闭合。把 L₁ 直接当 λ/4 会低估 4e=4.2 cm、v 偏小 6.30%；频率误差按 v∝f 一次方线性传递（f 真 520 时 v 真 346.320，报出值偏低 1.5385%）。至少测三次、用两个相邻差互验，既消管口修正又靠 L₁+L₃−2L₂=0 查记错。频率、长度与声速均为自编示意，不代表真实测量或当地声速实测值。

四、自测清单

• □ 先确认是「相邻共鸣」还是「隔次共鸣」，差分别是 λ/2 与 λ；
• □ 用差值法消 e，不拿 L₁ 直接当 λ/4；
• □ v=fλ，λ 由长度差定、与 f 无关；
• □ 回推 e 后把 L₂、L₃ 代回闭合；
• □ 频率误差按一次方线性传到 v；
• □ 测三次、用 L₁+L₃−2L₂=0 查某次读数记错。