联招数学·基本不等式与「1 的代换」：a+b 最小值 9 与等号条件

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

条件最值里，「1 的代换」就是把题给那个等于 1 的式子乘进目标式：目标不变（乘的是 1），但展开后会出现互为倒数的两项，正好用基本不等式。

自编题：a>0, b>0, 1/a + 4/b = 1，求 a+b 的最小值。
(a+b)·1 = (a+b)(1/a+4/b) = 1 + 4a/b + b/a + 4 = 5 + 4a/b + b/a ≥ 5 + 2√(4a/b · b/a) = 5 + 4 = 9。
但还没完：等号要 4a/b = b/a，即 b=2a；必须代回原条件验证 a=3, b=6 确实满足 1/3+4/6=1，最小值 9 才真的取得到。下面两题数据均为自编示意。

二、逐题精讲

题1

题1 「1 的代换」与取等回代（计算＋简答）

已知 a>0, b>0，且 1/a + 4/b = 1。
(1) 用「1 的代换」求 a+b 的最小值，写出完整展开与取等条件，并回代验证。
(2) 变式：若条件改为 1/a + 9/b = 1，求 a+b 的最小值及此时 a、b；归纳一般式 1/a + k²/b = 1 的结果。
(3) 某同学这样解 (1)：由 1/a+4/b=1 ≥ 2√(4/(ab)) 得 ab≥16，又 a+b≥2√ab≥8，故最小值 8。指出错在哪。

解析

(2) 变式 1/a+9/b=1：
(a+b)(1/a+9/b) = 1 + 9a/b + b/a + 9 = 10 + 9a/b + b/a ≥ 10 + 2√9 = 16。
取等：9a/b = b/a → b = 3a；代回 1/a + 9/(3a) = 1/a + 3/a = 4/a = 1 → a = 4，b = 12。
回验：1/4 + 9/12 = 0.25 + 0.75 = 1 ✅；a+b = 16 ✅。
一般式 1/a + k²/b = 1（k>0）：(a+b) = 1 + k²a/b + b/a + k² ≥ 1 + k² + 2k = (k+1)²；取等 b = k a，代回 1/a + k²/(ka) = (1+k)/a = 1 → a = k+1，b = k(k+1)，a+b = (k+1)+k(k+1) = (k+1)² ✅。本题 k=2 得 9、k=3 得 16，两例都落在一般式上。

(3) 错在「两次基本不等式的等号条件互相冲突」：
第一步 1/a+4/b ≥ 2√(4/(ab)) 取等需 1/a = 4/b → b = 4a；
第二步 a+b ≥ 2√ab 取等需 a = b。
两者不能同时成立（除非 a=b=0，与 a,b>0 矛盾）。因此「ab≥16」与「a+b≥2√ab」不能串联成 a+b≥8 的可取等下界：8 只是把两个不同时成立的等号硬叠出来的数，实际 a+b 最小是 9（在 a=3,b=6 处，此时 ab=18 ≥ 16，但 a≠b，第二步并不取等）。
核算对照：在真实取等点 a=3,b=6，ab=18，第一步 1/a+4/b=1 而 2√(4/18)=2×0.4714=0.9428 < 1（第一步不取等）；第二步 2√18=8.485 < 9（也不取等）。一般纪律：凡多次使用基本不等式，必须把所有取等条件联立求解；解不出公共解，得到的下界就只是「下界」，不是最小值。「1 的代换」之所以稳，正是因为它只用一次不等式、取等条件唯一且可回代。

答案　(1) a+b=5+4a/b+b/a≥9，取等 b=2a 回代得 a=3,b=6，三路闭合。(2) 1/a+9/b=1 时最小值 16（a=4,b=12）；一般式 1/a+k²/b=1 得最小值 (k+1)²，取等 a=k+1,b=k(k+1)。(3) 错在两次取等条件 b=4a 与 a=b 冲突，8 不可取；真实点 ab=18 处两步都不取等。

采分点　展开得 5+4a/b+b/a 1 分；用基本不等式得 ≥9 1 分；取等 b=2a 1 分；回代 a=3,b=6 1 分；三路闭合验证 1 分；变式得 16 1 分；a=4,b=12 1 分；一般式 (k+1)² 与取等点 1 分；指出两次取等条件冲突 1 分；用 ab=18 核算两步均不取等 1 分；写出「多次用须联立取等」纪律 1 分。

易错点　乘「1」时漏乘或把 4/b 写成 4a；把 ≥9 当结果却不回代取等；一般式写成 (k+1) 而非平方；把两次不等式的下界串联当最小值；忽略 a,b>0 直接开方取负根；把 ab≥16 当成 ab=16。

题2

题2 和与积的互求、取不取等与「凑 1」变式

(1) 自编变式：x>0, y>0，x + 2y = 1，求 1/x + 1/y 的最小值。用「把 x+2y=1 乘进去」的做法，写出取等条件与精确最小值，并回代验证。
(2) 若把题 1 的条件改成 1/a + 4/b = 2（a,b>0），还能直接照搬「1 的代换」得 9 吗？给出正确最小值与取等点。
(3) 归纳：什么条件下「1 的代换」可以直接用，什么情况下要先把常数归一？

解析

(2) 不能直接照搬。因 1/a+4/b=2，(a+b)·2 = (a+b)(1/a+4/b) = 5+4a/b+b/a ≥ 9，故 2(a+b) ≥ 9 → a+b ≥ 4.5，而不是 9。
严格做法（先归一）：把条件除以 2 得 1/(2a) + 2/b = 1？更简洁是令 A = 1/a + 4/b = 2，直接用上式：a+b ≥ 9/2 = 4.5。
取等：仍需 4a/b = b/a → b = 2a；代回 1/a + 4/(2a) = 3/a = 2 → a = 1.5，b = 3。
回验：1/1.5 + 4/3 = 0.6667 + 1.3333 = 2 ✅；a+b = 4.5 ✅；展开式 5 + 4·1.5/3 + 3/1.5 = 5+2+2 = 9，除以 2 得 4.5 ✅。
对照：把条件常数从 1 改成 2，最小值从 9 变成 9/2，正好按常数成反比缩放；若照搬得 9 就翻倍错了。

(3) 归纳：
· 可直接用：题给条件本身就是「某个含 a、b 的式子 = 1」，且目标式乘上它之后能展开成「常数 + 互为倒数（或常数倍互倒）的两项」，一次不等式即可定值、取等条件唯一可回代。
· 须先归一：条件等于常数 c ≠ 1（如 =2、=3）时，先把条件两边除以 c 化成 =1，或像 (2) 那样在结果里除以 c；否则乘进去的是 c 而不是 1，目标式被整体放大 c 倍。
· 另一类「凑 1」：条件给的是和 = 1（如 x+2y=1），同样把整个和乘进目标式，展开后凑出互倒项——「1」不一定要长成分式。
· 通用纪律：乘的必须是恒等于 1 的整体；展开后只剩一个可配对的互倒对；取等条件联立可解并回代原条件；多次用不等式须检查等号能否同时取到。四条缺一，得到的就只是下界而非最小值。

答案　(1) (1/x+1/y)(x+2y)=3+2y/x+x/y≥3+2√2≈5.828427，取等 x=√2y 得 x=√2−1≈0.414214、y=(2−√2)/2≈0.292893，回代闭合。(2) 不能照搬；2(a+b)≥9 故最小值 4.5，取等 a=1.5,b=3。(3) 条件式=1 可直接乘；=c≠1 须先归一或结果除以 c；和=1 亦属凑 1；四条通用纪律见上。

采分点　(1) 展开 3+2y/x+x/y 1 分；≥3+2√2 1 分；取等 x=√2y 1 分；x=√2−1、y=(2−√2)/2 1 分；回代 x+2y=1 与 3+2√2 闭合 1 分；(2) 指出不能照搬 1 分；2(a+b)≥9 得 4.5 1 分；a=1.5,b=3 并回验 1 分；指出按常数成反比缩放 1 分；(3) 四类归纳各 1 分。

易错点　把 x+2y=1 误当分式条件去凑；展开时漏掉常数项 2；取等解出 x=√2y 后不回代；(2) 直接报 9；(2) 归一后忘记除以 c 或除错方向；把「和=1」排除在凑 1 之外；多次用不等式不联立取等条件。

三、规律小结与对照表

「1 的代换」只记四条：乘的必须是恒等于 1 的整体；展开后凑出一对互倒项；只用一次不等式；取等条件回代原条件。本题 1/a+4/b=1 得 a+b≥9（a=3,b=6），变式 1/a+9/b=1 得 16，一般式 (k+1)²；条件改成 =2 时须先归一，最小值变 4.5。最该防的是串联两次基本不等式——b=4a 与 a=b 取不到公共解，叠出的 8 只是下界，不是最小值。条件与数值均为自编示意，不代表任何真题或题库题目。

四、自测清单

• □ 先确认题给哪个整体恒等于 1，再乘进目标式；
• □ 展开逐项写全，常数项不要漏；
• □ 只用一次基本不等式，配出互倒对；
• □ 取等条件代回原条件解出具体 a、b；
• □ 条件 =c≠1 时先归一或结果除以 c；
• □ 多次用不等式须联立取等，解不出公共解只算下界。