题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
累积法的原理很朴素：设单次读数的绝对误差约 δ，直接测单量时相对误差 δ/x；测 n 个的总量 nx 再除以 n，单次量变成 (nx±δ)/n = x ± δ/n，相对误差降为原来的 1/n。前提是 n 个数得数对：纸的张数、细丝的匝数、摆的全振动次数，错一个基准，整组数据全偏。
三项自编测量：① 100 张纸总厚 8.00 mm；② 细丝在铅笔上密绕 40 匝，线圈宽度 6.00 mm；③ 单摆 50 次全振动计时 100.0 s，摆长 L=1.000 m。下面数据均为自编示意，器材与读数不代表任何真实测量。
二、逐题精讲
题1
题1 三项换算与误差分摊（填空＋简答）
按上述三项自编读数作答：
(1) 一张纸厚度 d₁＝？ (2) 细丝直径 d₂＝？ (3) 单摆周期 T＝？并由 L=1.000 m 求 g。
(4) 若三次读数的绝对误差都约 δ=0.02 mm（厚度/宽度）／0.10 s（计时），分别写出「直接测单量」与「累积 n 次」下的相对误差，说明 1/n 关系。
解析
(1) d₁ = 8.00 mm / 100 = 0.0800 mm（＝80.0 μm）。(2) d₂ = 6.00 mm / 40 = 0.1500 mm（＝150.0 μm）。注意密绕才成立：匝与匝之间无缝隙，线圈宽度＝40×直径；若有间隙，测得的是「直径＋隙宽」，结果偏大。
(3) T = 100.0 s / 50 = 2.000 s。由单摆 T=2π√(L/g) 得 g = 4π²L/T² = 4π²×1.000/4.000 = π² ≈ 9.8696 m/s²。回验：T²=4.000 s²，4π²≈39.4784，39.4784/4.000=9.8696 ✅；若取 g≈9.87 反推 T=2π√(1.000/9.8696)=2.000 s，两路闭合。
(4) 相对误差对照（δ 为总量读数误差，除以 n 后才是单量误差）：
· 纸厚：直接测 1 张，δ/d₁ = 0.02/0.0800 = 25%；累积 100 张，(0.02/100)/0.0800 = 0.0002/0.0800 = 0.25%，恰为 1/100。
· 细丝：直接测 1 匝宽度，δ/d₂ = 0.02 mm/0.1500 mm = 13.3%；累积 40 匝，(0.02/40)/0.1500 = 0.0005/0.1500 = 0.333%，为 1/40。
· 周期：直接测 1 次全振动，δ_T/T = 0.10/2.000 = 5.0%；累积 50 次，(0.10/50)/2.000 = 0.002/2.000 = 0.10%，为 1/50。
结论：三组的「累积/直接」相对误差比分别是 1/100、1/40、1/50，正是 1/n；且 g 对 T 是平方敏感（g∝T⁻²），周期相对误差 ε 会放大成约 2ε 的 g 相对误差——直接测 1 次时 g 误差约 10%，累积 50 次后约 0.20%。
答案 (1) 0.0800 mm；(2) 0.1500 mm；(3) T=2.000 s，g=π²≈9.8696 m/s²；(4) 直接相对误差 25% / 13.3% / 5.0%，累积后 0.25% / 0.333% / 0.10%，均为 1/n；g 误差约放大为 2ε。
采分点 d₁=0.0800 mm 1 分；d₂=0.1500 mm 并点明「密绕无缝隙」1 分；T=2.000 s 1 分；g=4π²L/T² 公式 1 分；g≈9.8696 1 分；三组直接相对误差各 1 分；三组累积相对误差各 1 分；写出 1/n 关系 1 分；指出 g∝T⁻² 故误差约 2ε 1 分。
易错点 把 8.00 mm/100 算成 0.8 mm；把 6.00 mm/40 算成 0.015 mm（多除 10）；密绕有间隙仍直接除；把 100.0 s/50 当成 0.5 次振动；把 g=4π²L/T² 写成 2πL/T；漏掉 g 对 T 的平方敏感。
题2
题2 计数基准错误与误差方向
自编：另一组同学仍用 L=1.000 m、总计时 100.0 s，但把摆球 50 次经过平衡位置误记成「50 次全振动」；又一组把纸叠数成 99 张却仍按 100 张除。
(1) 分别算出两组得到的 T 与 g（或纸厚），并给出偏大/偏小的方向与百分比。
(2) 说明「经过平衡位置次数」与「全振动次数」的换算关系；若要靠增加 n 压误差，n 是不是越大越好？写出两条实际限制。
解析
(1) 计时组：一个全振动中摆球经过平衡位置 2 次（去一次、回一次），故 50 次经过＝25 次全振动。但他们按 50 次除：T′ = 100.0/50 = 2.000 s（数值碰巧与正确值相同！）。关键点：这里的错误不体现在「按 50 除」这一步，而体现在他们数的 50 次其实只有 25 次全振动——真实总计时若对应 25 次全振动，则真实周期应为 T真 = 100.0/25 = 4.000 s，而他们报 2.000 s，周期偏小 50%；由 g=4π²L/T² 得 g′ = 4π²×1.000/4.000 = 9.8696 m/s²，真实应为 g真 = 4π²/16.000 = 2.4674 m/s²，即 g 偏大 4 倍（+300%）。
更规范的表述：设他们实际数的是 50 次经过平衡位置（＝25 次全振动）却记成 50 次全振动，则按记录算 T=2.000 s、g=9.8696；若按真实全振动数应为 T=4.000 s、g=2.4674。方向：把「经过次数」当「全振动次数」会使 n 偏大 2 倍 → T 偏小 1/2 → g 偏大 4 倍（因 g∝T⁻²）。本题两组数字（2.000 与 4.000）恰好构成 2 倍关系，回代 4.000²/2.000²=4 倍闭合。
纸厚组：99 张总厚仍记 8.00 mm，按 100 除得 d′=0.0800 mm；真实单张 = 8.00/99 = 0.080808… mm，故报出值偏小，相对偏差 = (0.0800−0.080808)/0.080808 ≈ −1.00%。反过来若把 100 张数成 101 张按 100 除则偏大 1 倍张数差，方向相反。计数错误不会被 1/n 摊薄——它是系统性的基准错，n 越大反而把「少一张」的绝对张数差固定成 1/n 的系统偏差。
(2) 换算：全振动次数 = 经过平衡位置次数 ÷ 2（从一侧最大位移出发计时，回到同侧同向为一次全振动；若从平衡位置起计且同向才算一次，则次数关系另论，须在题干写明起计点）。
n 不是越大越好，两条实际限制：① 累积量超量程或条件改变——纸叠太厚会被压紧（纸间空隙被压缩，测的不是原厚度）、细丝绕太多匝会叠层或松动、单摆计时太久振幅衰减明显、空气阻力与悬点摩擦使周期缓慢漂移；② 计数本身的可靠性下降——n 很大时人工数匝数/振动次数反而易漏数或重复，而漏一个的系统误差不随 n 减小。实践上取到读数分辨力允许、且单次计数可靠的 n 即可，再配合多次独立重复取平均。
答案 (1) 误按 50 次全振动得 T=2.000 s、g=9.8696；真实 25 次全振动应 T=4.000 s、g=2.4674 → T 偏小 1/2、g 偏大 4 倍。99 张按 100 除得 0.0800 mm，真实 0.080808 mm，偏小约 1.00%。(2) 全振动次数＝经过平衡位置次数÷2（须写明起计点）；n 受量程/条件改变与计数可靠性两条限制，且计数系统误差不被 1/n 摊薄。
采分点 指出一次全振动过平衡位置 2 次 1 分；真实 25 次全振动 1 分；T真=4.000 s 1 分；g真=2.4674 1 分；g 偏大 4 倍并回代 4 倍闭合 1 分；纸厚真实 0.080808 mm 1 分；偏小约 1.00% 1 分；指出计数错不被 1/n 摊薄 1 分；换算关系并提起点条件 1 分；两条实际限制各 1 分。
易错点 把「50 次经过」直接当 50 次全振动还认为没错；只说 g 偏大不给倍数；把纸厚方向说成偏大；认为 n 越大误差一定越小；漏掉「起计点须写明」这一前提；把系统计数误差与随机读数误差混为一谈。
三、规律小结与对照表
| 测量项 | 累积量 | n | 单量结果 | 直接相对误差 | 累积后相对误差 |
|---|---|---|---|---|---|
| 纸厚 | 8.00 mm | 100 张 | 0.0800 mm | 25% | 0.25%（1/100） |
| 细丝直径 | 6.00 mm（密绕） | 40 匝 | 0.1500 mm | 13.3% | 0.333%（1/40） |
| 单摆周期 | 100.0 s | 50 次全振动 | T=2.000 s | 5.0% | 0.10%（1/50） |
| 重力加速度 | L=1.000 m, T=2.000 s | — | g=9.8696 m/s² | 约 10%（2ε） | 约 0.20% |
| 计时基准错 | 100.0 s 当作 50 次全振动 | 实为 25 次 | T真=4.000 s | g真=2.4674 | g 偏大 4 倍 |
| 张数基准错 | 8.00 mm 数成 99 张 | 按 100 除 | 0.0800 mm | 真实 0.080808 | 偏小约 1.00% |
| 误差性质 | 读数 δ | 除以 n | δ/n | 随机，可被摊薄 | 计数错为系统，不被摊薄 |
累积法的落点是「数对 n，再除以 n」：随机读数误差按 1/n 摊薄，但匝数、张数、全振动次数数错是系统偏差，摊不掉。本题三组直接相对误差 25%／13.3%／5.0%，累积后 0.25%／0.333%／0.10%，正好是 1/100、1/40、1/50；又因 g∝T⁻²，周期误差会翻倍传到 g。把「经过平衡位置 50 次」当「50 次全振动」，T 小一半、g 大四倍，回代 4.000²/2.000²=4 即可验出。器材、读数与摆长均为自编示意，不代表任何真实测量或当地 g 的实测值。
四、自测清单
- □ 先确认「密绕无缝隙」「从哪点起计全振动」两个前提；
- □ 累积量除以 n 得单量，单位同步换算；
- □ 相对误差按 1/n 摊薄，只对随机读数误差成立；
- □ 区分「经过平衡位置次数」与「全振动次数」；
- □ 用 g=4π²L/T² 回代，注意 g 对 T 平方敏感；
- □ 计数错属系统偏差，n 增大不消除，改靠重复计数与平均。
