联招数学·离散型随机变量：分布列、期望、方差与方案比较

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

分布列只需满足两条：p_i ≥ 0 且 Σp_i＝1。在此基础上三个量依次算：

E(X)＝Σ x_i p_i（加权重心）；E(X²)＝Σ x_i² p_i；Var(X)＝E(X²) − [E(X)]²；σ＝√Var(X)。
线性变换很好用：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，Var(aX＋b)＝a²Var(X)（加常数不改变方差，乘 a 要平方）。下面题设分布与收益值均为自编示意，非真题原文。

二、逐题精讲

题1

题1 分布列、期望与方差（解答题）

自编题设：离散型随机变量 X 的分布列为
X＝0, 1, 2, 3，对应 P＝0.1, 0.3, 0.4, 0.2。
(1) 验证这是合法分布列，求 E(X)、E(X²)、Var(X) 与 σ；(2) 用定义式 Var(X)＝Σ(x_i−μ)²p_i 独立回验方差；(3) 求 P(X≥2) 与 P(X≤1)，并说明二者是否互补。

解析

(2) 用定义式逐项算（μ＝1.7）：
(0−1.7)²×0.1 ＝ 2.89×0.1 ＝ 0.289；
(1−1.7)²×0.3 ＝ 0.49×0.3 ＝ 0.147；
(2−1.7)²×0.4 ＝ 0.09×0.4 ＝ 0.036；
(3−1.7)²×0.2 ＝ 1.69×0.2 ＝ 0.338。
和 ＝ 0.289＋0.147＋0.036＋0.338 ＝ 0.810 ✓，与 (1) 的 0.81 完全一致。
第三路回验：直接展开 Σx_i²p_i − 2μΣx_ip_i ＋ μ²Σp_i ＝ 3.7 − 2×1.7×1.7 ＋ 2.89×1 ＝ 3.7 − 5.78 ＋ 2.89 ＝ 0.81 ✓（这里用到 Σp_i＝1，也顺带解释了为什么公式里要减 [E(X)]²）。三路闭合：公式法、定义式、代数展开。

(3) P(X≥2) ＝ 0.4＋0.2 ＝ 0.6；P(X≤1) ＝ 0.1＋0.3 ＝ 0.4。
二者互补：因为 X 只取 0,1,2,3 四个值，「X≤1」与「X≥2」互斥且并集为整个样本空间，故 0.6＋0.4＝1.0 ✓。但要写明前提：这是离散且取值有限的分布；若 X 可以取 1 与 2 之间的值（连续型或含中间离散值），「≤1」与「≥2」之间会留出 (1,2) 的空档，就不再互补，须改成「X<2」与「X≥2」这类真正对立的划分。互补的判据是划分是否穷尽，不是字面看起来相反——这与 00358 所讲端点开闭、00340 所讲样本空间边界是同一条纪律。

答案　(1) 概率和=1 合法；E(X)=1.7、E(X²)=3.7、Var(X)=0.81、σ=0.9。(2) 定义式逐项 0.289+0.147+0.036+0.338=0.810 回验；代数展开 3.7−5.78+2.89=0.81 第三路闭合。(3) P(X≥2)=0.6、P(X≤1)=0.4，因取值仅限 0,1,2,3 二者互补且和为 1；若有中间取值则不互补，须用 X<2 与 X≥2 的穷尽划分。

采分点　验证概率和=1 1 分；E(X)=1.7 1 分；E(X²)=3.7 1 分；Var=0.81 与 σ=0.9 各 1 分；定义式四项各 1 分中的合计 0.810 1 分；代数展开 3.7−5.78+2.89=0.81 1 分；两个概率 0.6/0.4 各 1 分；说明互补及穷尽划分判据 1 分；说明有中间取值时不互补 1 分。

易错点　把 E(X²) 算成 [E(X)]²=2.89；方差漏减均值平方；开方后把 σ 写成 0.81；定义式里用 x_i 而不是 x_i−μ；把 P(X≤1) 写成 0.3；不检查取值是否有中间值就说「≤1 与 ≥2 一定互补」。

题2

题2 线性变换与两方案决策（解答题）

自编题设：某任务的方案 A 收益为 Y＝2X＋1（X 为题 (1) 的随机变量）；方案 B 为固定收益 4.0（无波动）。
(1) 用线性变换公式求 E(Y) 与 Var(Y)、σ(Y)，并用直接按分布列计算独立回验；(2) 分别按「期望最大」与「风险最小（方差最小）」两种口径选方案，结论是否一致？(3) 说明这两种决策口径各自成立的条件，以及为什么不能只报一个「最优方案」。

解析

(2) 按期望最大：E(Y)＝4.4 > E(B)＝4.0 ⇒ 选 A，期望收益高 0.4。
按方差最小：Var(B)＝0 < Var(Y)＝3.24 ⇒ 选 B，且 Y 有 0.1 的概率只取 1（远低于 4.0）。
结论不一致：这正是本题要点——期望与方差量的是两件不同的事，一个看长期平均，一个看单次波动。
补一个数值对照：若把风险量化成「收益低于 B 的概率」，则 P(Y<4)＝P(Y＝1)+P(Y＝3)＝0.1＋0.3＝0.4，即有 40% 的情形 A 不如固定方案；而 P(Y>4)＝0.6。这说明「期望更高」并不等于「每次都更好」。

(3) 两种口径各自成立的条件：
「按期望最大」成立需要可重复、可分散——同一任务做很多次、各次独立、决策者对波动不敏感（或风险中性），此时长期平均收敛到 E(Y)＝4.4，高于 4.0 才真正兑现；若只做一次或亏不起低收益（例如 1 的收益会导致任务失败），期望的优势就不一定有意义。
「按方差最小」成立需要风险厌恶或硬约束——单次决策、有最低收益门槛、或波动会带来额外成本；此时 0 方差的固定方案更稳。
不能只报一个「最优方案」的理由：「最优」必须相对于某个准则。脱离「按期望还是按方差、重复几次、能不能承受最差情形」去说「A 最优」或「B 最优」，等于把决策者的偏好偷偷替他定了；本题两个准则给出相反答案，正是这个依赖关系的证据。保真写法是「按期望选 A（4.4 vs 4.0）；按方差/风险选 B（0 vs 3.24，且 A 有 40% 情形低于 B）；须由决策条件确定准则」。这与 00374 所讲量表多口径分报、00386 所讲「代表性须另给条件」同理：数字算得准，不等于结论可以脱离口径。

答案　(1) E(Y)=4.4、Var(Y)=3.24、σ(Y)=1.8；直接按 Y=1,3,5,7 的分布列得 E=4.4、E(Y²)=22.6、Var=3.24，另以 0.81×4=3.24 三路闭合；B：E=4.0、Var=0。(2) 按期望选 A（4.4>4.0），按方差最小选 B（0<3.24），结论不一致；且 P(Y<4)=0.4。(3) 期望准则需可重复/风险中性，方差准则需单次/风险厌恶或硬门槛；「最优」必须相对准则，须由决策条件确定，不能只报一个。

采分点　E(Y)=4.4 1 分；Var(Y)=3.24 与 σ=1.8 1 分；直接法 Y 四取值 1 分；E(Y)=4.4 与 E(Y²)=22.6 回验 1 分；Var=22.6−19.36=3.24 1 分；0.81×4=3.24 第三路 1 分；B 的 E=4.0、Var=0 1 分；按期望选 A 1 分；按方差选 B 1 分；P(Y<4)=0.4 1 分；两类准则成立条件各 1 分；说明「最优相对准则」并给保真写法 1 分。

易错点　把 Var(2X+1) 算成 2×0.81=1.62（漏平方）或 4×0.81+1；把加常数 1 也算进方差；把 σ(Y) 写成 1.62；把 E(Y) 写成 2×1.7=3.4（漏 +1）；只报一个「最优方案」而不说准则；忽略 P(Y<4)=0.4 这一最差情形信息。

三、规律小结与对照表

分布列这条线，落点是「三个量分三步进，决策要带准则」：先验 Σp_i＝1，再算 E(X)＝1.7、E(X²)＝3.7、Var＝E(X²)−[E(X)]²＝0.81、σ＝0.9，并用定义式与代数展开各回验一次。线性变换记牢 E(aX+b)＝aE(X)+b、Var(aX+b)＝a²Var(X)——加常数不动方差，乘 a 要平方。最后一层最容易被跳过：按期望选 A、按方差选 B，两个准则结论相反，「最优」永远是相对某个准则的，须写明可重复/风险中性还是单次/风险厌恶。所有概率与收益值均为自编示意题设，不代表任何真题原文或官方数据。

四、自测清单

• □ 拿到分布列先验 Σp_i=1 且各项非负；
• □ E(X)、E(X²) 分开算，别把二阶矩写成均值平方；
• □ 方差用 E(X²)−[E(X)]²，再用定义式独立验；
• □ σ 开方后单独核对（0.81→0.9）；
• □ 线性变换：期望加 b、方差乘 a²、常数不进方差；
• □ 概率互补先确认取值集合是否被穷尽划分；
• □ 方案比较按期望与按方差分别报结论；
• □ 「最优」必须附准则与决策条件，不只报一个。