题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
放电方程：U(t) = U₀·e^(−t/τ)，τ = RC。两个好用的锚点：
· t = τ 时 U = U₀/e ≈ 0.3679 U₀；
· 半衰期 U = U₀/2 时 t₁/₂ = τ·ln 2 ≈ 0.6931 τ，反过来 C = t₁/₂ /(R·ln2)。
另一条独立路：I(t) = (U₀/R)e^(−t/τ)，∫I dt = Q = C U₀——I–t 曲线下的面积就是放出的总电荷，与 τ 路互不依赖，正好互验。
自编读数：R = 100.0 kΩ = 1.00×10⁵ Ω，C = 47.0 μF = 4.70×10⁻⁵ F，U₀ = 5.00 V。数据均属自编示意。
二、逐题精讲
题1
题1 τ、半衰期与面积互验（计算＋简答）
(1) 求 τ、t₁/₂；由半衰期反推 C，验证与标称 47.0 μF 一致。
(2) 求 t=τ 与 t=10.0 s 时的 U；求总电荷 Q=CU₀，并用 ∫I dt 从 I(t) 积分独立验一遍。
(3) 若电容存在漏电（等效并联一个漏电阻），放电会比理想更快还是更慢？由半衰期反推的 C 偏大还是偏小？电压表内阻有限又如何？
解析
(1)τ = RC = 1.00×10⁵ × 4.70×10⁻⁵ = 4.70 s。
t₁/₂ = τ·ln2 = 4.70 × 0.693147 = 3.25779 s ≈ 3.258 s。
反推：C = t₁/₂/(R·ln2) = 3.25779/(1.00×10⁵×0.693147) = 3.25779/69314.7 = 4.7000×10⁻⁵ F = 47.00 μF ✅ 与标称 47.0 μF 一致（三路闭合：τ=RC、t₁/₂=τln2、C=t₁/₂/(Rln2)）。
回代：U(t₁/₂)=5.00·e^(−3.25779/4.70)=5.00·e^(−0.693147)=5.00×0.5=2.500 V ✅。
(2)
· t=τ=4.70 s：U = 5.00/e = 5.00×0.367879 = 1.83940 V。
· t=10.0 s：U = 5.00·e^(−10.0/4.70) = 5.00·e^(−2.12766) = 5.00×0.119116 = 0.59558 V。
总电荷（电容路）：Q = C U₀ = 4.70×10⁻⁵ × 5.00 = 2.350×10⁻⁴ C = 235.0 μC。
积分路：I(t) = (U₀/R)e^(−t/τ) = (5.00/1.00×10⁵)e^(−t/4.70) = 5.00×10⁻⁵·e^(−t/4.70) A。
∫₀^∞ I dt = (U₀/R)·τ = (U₀/R)·RC = C U₀ = 2.350×10⁻⁴ C ✅。
数值回代：(5.00×10⁻⁵)×4.70 = 2.350×10⁻⁴ C，两路完全一致。有限时段核对：到 t=τ 已放出 Q(1−1/e)=235.0×0.632121=148.55 μC，到 t=10 s 放出 235.0×(1−0.119116)=207.01 μC，剩余 27.99 μC 对应 U=0.59558 V 时 Q余=C·U=4.70×10⁻⁵×0.59558=2.799×10⁻⁵ C ✅ 闭合。
(3) 漏电：等效为 C 并联一个漏电阻 R漏，放电多一条支路，等效时间常数变小（τ′ = (R∥R漏)·C < RC），故放电更快、测得 t₁/₂ 偏小。由 C测 = t₁/₂/(R·ln2) 反推（仍用原 R），t₁/₂ 偏小 ⇒ C 偏小。定性核：若 R漏 = 10R，则 R∥R漏 = (10/11)R，τ′ = 0.9091τ = 4.2727 s，t₁/₂′ = 2.9616 s，C测 = 2.9616/69314.7 = 4.2727×10⁻⁵ F = 42.73 μF，比 47.0 低 9.09% ✅ 方向确认。
电压表内阻有限：电压表并联在电容两端，同样提供一条额外放电支路，效果与漏电同向——τ 变小、t₁/₂ 偏小、C 测偏小；且内阻越小（相对 R 越不可忽略）偏差越大。处置：用高输入阻抗电压表/采集卡，或在计算里把并联等效电阻纳入 τ′，不能拿理想 RC 公式硬套。
补充一条：计时起点若从「电压已开始下降之后」才起表，测得 t₁/₂ 也会偏小、C 偏小；这与 00419 共鸣管的「管口修正」不同——那里靠差值法消掉固定偏移，这里起点偏移改变的是指数的时间原点，须靠拟合整条 U(t) 曲线（取 lnU 对 t 的直线斜率 −1/τ）而不只靠单点半衰期来避。
答案 (1) τ=4.70 s，t₁/₂=3.25779 s，C=t₁/₂/(Rln2)=47.00 μF 与标称一致。(2) U(τ)=1.83940 V、U(10s)=0.59558 V；Q=CU₀=2.350×10⁻⁴ C，∫I dt=(U₀/R)τ=CU₀ 同值闭合。(3) 漏电或电压表内阻有限都使 τ 变小、放电更快、t₁/₂ 偏小 ⇒ C 测偏小（R漏=10R 示例 42.73 μF、−9.09%）；起点偏移同向，宜用 lnU–t 直线斜率求 τ。
采分点 τ=4.70 1 分；t₁/₂=3.25779 1 分；反推 C=47.00 μF 1 分；U 半衰期=2.500 V 1 分；U(τ)=1.83940 1 分；U(10)=0.59558 1 分；Q=2.350×10⁻⁴ C 1 分；∫I dt=(U₀/R)τ 闭合 1 分；有限时段剩余量回代 1 分；漏电脑方向 1 分；R漏=10R 定量 1 分；电压表内阻同向 1 分；起点偏移与 lnU–t 拟合 1 分。
易错点 把 t₁/₂ 写成 τ/ln2；反推 C 时漏乘 ln2；把 U(τ) 当成 U₀/2；(2) 积分写成 U₀R 而非 (U₀/R)τ；把漏电判成放电变慢、C 偏大；忽略电压表内阻这条并联支路；把起点偏移当可用差值法消掉；用单点半衰期代替整线拟合。
题2
题2 充电过程、对数线性化与 R 反推
(1) 同一 RC 从 0 V 经 R 充到 U₀=5.00 V：U充(t)=U₀(1−e^(−t/τ))。求 U 达到 2.50 V、4.00 V、4.75 V 各自所需时间，并说明「充到一半」与「放到一半」的时间是否相同。
(2) 把放电式取对数得 ln U = ln U₀ − t/τ。用自编两点 (t=2.00 s, U=3.268 V) 与 (t=6.00 s, U=1.394 V) 求斜率并反推 τ、C，与标称互验。
(3) 若保持 C=47.0 μF 不变，把 R 改成 200.0 kΩ，τ 与 t₁/₂ 各变多少？说明 τ 与 R、C 各自成什么比例。
解析
(1) 充电：由 U/U₀ = 1 − e^(−t/τ) → t = −τ·ln(1 − U/U₀)。· U=2.50 V（U/U₀=0.5）：t = −4.70·ln0.5 = 4.70×0.693147 = 3.25779 s；
· U=4.00 V（0.8）：t = −4.70·ln0.2 = 4.70×1.609438 = 7.56436 s；
· U=4.75 V（0.95）：t = −4.70·ln0.05 = 4.70×2.995732 = 14.07994 s。
「充到一半」与「放到一半」时间相同：都是 τ ln2 = 3.25779 s。因为放电 U/U₀=e^(−t/τ) 取 0.5 与充电 1−e^(−t/τ)=0.5 化简后是同一个方程。但注意：「充到 95%」要 3τ（14.08 s ≈ 2.9957τ），而「放到 5%」也是同一时长，属同一时间常数的对称；不能说「充电比放电慢」。
回代：1−e^(−3.25779/4.70)=1−0.5=0.5 ✅；1−e^(−7.56436/4.70)=1−0.2=0.8 ✅；1−e^(−14.07994/4.70)=1−0.05=0.95 ✅。
(2) 对数线性化：ln U = ln U₀ − t/τ，斜率 = −1/τ。
ln3.268 = 1.184178，ln1.394 = 0.332177（取位示意）。
斜率 = (0.332177 − 1.184178)/(6.00 − 2.00) = −0.852001/4.00 = −0.213000 s⁻¹，故 τ = 1/0.213000 = 4.69483 s ≈ 4.70 s。
反推 C = τ/R = 4.69483/1.00×10⁵ = 4.69483×10⁻⁵ F ≈ 46.95 μF，与标称 47.0 μF 在取位内一致（两点电压给到三位小数，斜率有取位误差）。
截距核对：ln U₀ 应为 ln5.00 = 1.609438；用点 (2.00, 1.184178) 回推截距 = 1.184178 + 2.00×0.213000 = 1.610179，与 1.609438 差 0.000741，属取位差 ✅。方法价值：用整条直线的斜率求 τ，不依赖「起点」和「半衰点」的单点判读，正好避开题 1(3) 的计时起点偏移问题。
(3) R 改为 200.0 kΩ：
τ′ = R′C = 2.00×10⁵ × 4.70×10⁻⁵ = 9.40 s（原 4.70 s 的 2 倍）；
t₁/₂′ = τ′ ln2 = 9.40×0.693147 = 6.51558 s（原 3.25779 s 的 2 倍）。
比例关系：τ = RC，与 R 成正比、与 C 成正比（一次方线性）；t₁/₂ = τ ln2 亦与 R、C 各成一次方正比。R 加倍 → τ 与 t₁/₂ 都加倍；C 加倍同理。回验：U₀ 不变时 Q=CU₀ 不变（仍是 235.0 μC），只是放得慢一倍——总电荷由 C 与 U₀ 决定，与 R 无关，R 只改快慢不改总量。峰值电流核对：I₀=U₀/R 由 5.00×10⁻⁵ A 降为 2.50×10⁻⁵ A（减半），而 ∫I dt = I₀·τ = (U₀/R)(RC)=CU₀ 仍 235.0 μC ✅ 闭合。
答案 (1) 2.50V→3.25779 s、4.00V→7.56436 s、4.75V→14.07994 s；充到一半与放到一半同为 τln2=3.25779 s。(2) 斜率 −0.213000 s⁻¹ → τ≈4.69483 s、C≈46.95 μF，截距 1.610179 与 ln5 取位内闭合。(3) R 加倍得 τ=9.40 s、t₁/₂=6.51558 s（均 2 倍）；τ 与 R、C 各成一次方正比，Q=CU₀ 不变、R 只改快慢。
采分点 充电通式 t=−τln(1−U/U₀) 1 分；三个时间各 1 分；充/放到一半相等 1 分；三处回代 1 分；对数线性化斜率 1 分；τ≈4.69483 与 C≈46.95 μF 1 分；截距核对 1 分；方法价值 1 分；(3) τ=9.40 与 t₁/₂=6.51558 1 分；一次方正比 1 分；Q 不变与 I₀ 减半回验 1 分。
易错点 充电式写成 U₀e^(−t/τ)；把「充到一半」与「放到一半」判成不同；把 lnU–t 斜率写成 −τ 而非 −1/τ；两点电压取位差当成方法错；R 加倍后把 Q 也加倍；把 t₁/₂ 与 R 说成平方关系；用单点判读代替直线拟合。
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | 本题值 | 独立互验 | 改变 | 方向 |
|---|---|---|---|---|---|
| 时间常数 | τ=RC | 4.70 s | lnU–t 斜率 −1/τ | R 加倍→9.40 s | 一次方正比 |
| 半衰期 | t₁/₂=τln2 | 3.25779 s | U=2.500 V | R 加倍→6.51558 s | 一次方正比 |
| 反推电容 | C=t₁/₂/(Rln2) | 47.00 μF | τ/R=46.95 μF | — | 取位内一致 |
| U(τ) | U₀/e | 1.83940 V | U₀×0.367879 | — | 非 U₀/2 |
| U(10s) | U₀e^(−10/4.70) | 0.59558 V | 剩余 Q=C·U | — | 闭合 |
| 总电荷 | Q=CU₀ | 2.350×10⁻⁴ C | ∫I dt=(U₀/R)τ | R 加倍不变 | R 只改快慢 |
| 充电 | U₀(1−e^(−t/τ)) | 0.5/0.8/0.95→3.258/7.564/14.080 s | 回代成立 | — | 充=放一半 |
| 漏电/表内阻 | τ′=(R∥R漏)C | R漏=10R→42.73 μF | −9.09% | 并联支路 | C 测偏小 |
| 起点偏移 | 改变时间原点 | — | lnU–t 整线拟合 | — | 非差值法 |
| 峰值电流 | I₀=U₀/R | 5.00×10⁻⁵ A | R 加倍→2.50×10⁻⁵ | ∫I dt 不变 | 闭合 |
RC 暂态只记「τ=RC、t₁/₂=τln2、Q=CU₀」：本题 τ=4.70 s、t₁/₂=3.25779 s，反推 C=47.00 μF 与标称一致；∫I dt=(U₀/R)τ=CU₀=235.0 μC 是独立于 τ 路的第二把尺。充电「到一半」与放电「到一半」同为 τln2。漏电或电压表内阻有限都多一条并联支路，使放电更快、C 测偏小；起点偏移靠 lnU–t 直线斜率避，不靠单点。R 加倍则 τ 与 t₁/₂ 加倍，但 Q 不变——R 只改快慢不改总量。元件与读数均为自编示意，不代表真实元件或测量结果。
四、自测清单
- □ 先算 τ=RC，再用 t₁/₂=τln2 反推 C；
- □ U(τ)=U₀/e 不等于 U₀/2；
- □ 用 ∫I dt = CU₀ 独立验总电荷；
- □ 充电式是 U₀(1−e^(−t/τ))，充/放到一半同长；
- □ 漏电、表内阻、起点偏移都使 C 测偏小；
- □ 用 lnU–t 斜率求 τ，不依赖单点判读。
