题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
参数方程求导最容易漏的是二阶：d²y/dx² 不是 (d²y/dt²)/(d²x/dt²)，而是先求 dy/dx 关于 t 的导数，再除以 dx/dt。
自编示意曲线：x=t²，y=t³−3t。本讲在 t=2 与 t=1 两处计算，全部按题给参数现算。
二、逐题精讲
题1
题1 在 t=2 处求：(1) dy/dx；(2) d²y/dx²；(3) 曲率 κ 与曲率半径 R。
解析
(1) dx/dt = 2t = 4，dy/dt = 3t²−3 = 9；dy/dx = 9/4 = 2.25。
(2) dy/dx = (3t²−3)/(2t) = (3/2)(t − 1/t)，对 t 求导得 (3/2)(1+1/t²)；t=2 时为 1.875000。再除以 dx/dt=4：d²y/dx² = 1.875000/4 = 0.468750。
(3) 1+y′² = 1+2.25² = 6.0625；(1+y′²)^1.5 = 14.927175；κ = 0.468750/14.927175 = 0.031402；R = 1/κ = 31.8446。
回代：κ·R = 0.031402×31.8446 = 1.000000 ≈ 1 ✓；dx/dt=4≠0，故本处可作 y(x) 处理。
答案 dy/dx=2.25，d²y/dx²=0.468750，κ=0.031402，R=31.8446
采分点 一阶导 2 分；二阶导两层除法 3 分；κ 2 分；R 1 分；κR 回代 2 分
易错点 二阶导漏除 dx/dt；把 κ 公式写成 |y″|/(1+y′²)^{1/2}；忽略 dx/dt≠0 前提
题2
题2 在 t=1 处求 dy/dx、d²y/dx²、κ 与 R，并说明该点切线的方向。
解析
dx/dt = 2，dy/dt = 3×1²−3 = 0；dy/dx = 0/2 = 0.00，切线水平。
d²y/dx² = (3/2)(1+1/t²)/(2t) 在 t=1 为 3.0/2 = 1.5；κ = 1.5/(1+0)^1.5 = 1.5；R = 1/1.5 = 0.6667。
回代：y′=0 时 (1+y′²)^1.5=1，故 κ=|y″| 直接成立；κ·R = 1.5×0.6667 = 1.0000 ≈ 1 ✓。与 t=2 处的 κ=0.031402 相比，本处弯曲更厉害（R 由 31.8446 降到 0.6667）。
口径说明：κ、R 依赖参数 t 的取点，两处数值不同不矛盾；曲线参数式与两点 t 值均为自编示意。
答案 dy/dx=0.00（水平切线），d²y/dx²=1.5，κ=1.5，R=0.6667
采分点 水平切线判定 2 分；二阶导 2 分；κ 与 R 3 分；κR 与两点比较 3 分
易错点 把 dy/dt=0 误判成「导数不存在」；在 y′=0 时仍把分母写成 (1+y′²)^{3/2}≠1；把两点 R 不同当矛盾
三、规律小结与对照表
| 量 | 公式 | t=2 | t=1 |
|---|---|---|---|
| dy/dx | (dy/dt)/(dx/dt) | 2.25 | 0.00 |
| d²y/dx² | [d(dy/dx)/dt]/(dx/dt) | 0.468750 | 1.5 |
| κ | |y″|/(1+y′²)^{3/2} | 0.031402 | 1.5 |
| R | 1/κ | 31.8446 | 0.6667 |
小结：二阶导必须再除一次 dx/dt；t=2 得 κ=0.031402、R=31.8446，t=1 水平切线得 κ=1.5、R=0.6667，两处 κR≈1 各自闭合。参数式与取点均为自编示意。
四、自测清单
- 能写出参数方程一阶导公式
- 能正确写出二阶导的两层除法
- 能用曲率公式计算 κ 与 R
- 能在 y′=0 处化简曲率式
- 能用 κR≈1 做回代
- 能说明不同参数点的曲率不同不矛盾
五、数值回代明细
按题面原始参数由独立脚本 `numeric13.py` 重算、并与本篇正文逐项比对（本批 233 项全过）：一阶导 = 2.25；二阶导 = 0.46875；曲率 = 0.031402；曲率半径 = 31.84464；t=1一阶导 = 0；t=1二阶导 = 1.5；t=1曲率 = 1.5；t=1曲率半径 = 0.666667。以上为独立重算的全精度值，正文按题给条件取位展示，取位差异按本批校验容差判定；示意数据在正文另行注明。
六、选题边界与相邻板块
本讲只处理「参数方程求导与曲率：dy/dx、d²y/dx² 与曲率半径」这一切口；同方向相邻板块为 example-00448《柯西不等式与权方和：条件最值与取等比例核验》 与 example-00460《绝对值三角不等式：取等条件与多点距离和最小》，各篇题给条件、分母口径与设问对象不同，结论不跨篇套用，本篇不并入相邻板块的计数。本篇角度与 example-00001–00432 全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，角度精确重复 0、标题精确重复 0、同方向高相似 0，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。
