联招数学·指数与对数不等式：底数分档、定义域优先

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

解对数不等式的固定顺序：先写真数 > 0（定义域），再按底数分档决定不等号方向，最后把解与定义域取交集。顺序反了会漏掉定义域或把不等号写反。

本讲三组题给参数均为自编：log₂(x−1)<3、log₁⸝₂(x+2)≥−1、2^(x²−3x)≤8；换底值 log₂3=1.58496 按题给数现算。

二、逐题精讲

题1

题1　解下列不等式，并写出定义域与取交集后的解集。

① log₂(x−1) < 3　② log₁⸝₂(x+2) ≥ −1

解析

① 定义域 x−1>0 ⇒ x>1；底数 2>1 单调增，保序得 x−1 < 2³ = 8 ⇒ x < 9；交集 1 < x < 9。端点回代：x→1⁺ 时真数→0⁺，log₂→−∞ < 3 ✓；x=9 时 log₂8 = 3，不满足严格小于，故 9 取开 ✓。

② 定义域 x+2>0 ⇒ x>−2；底数 1/2∈(0,1) 单调减，不等号反向：x+2 ≤ (1/2)^(−1) = 2 ⇒ x ≤ 0；交集 −2 < x ≤ 0。端点回代：x=0 时 log₁⸝₂2 = -1 ≥ −1 ✓（取等）；x→−2⁺ 时真数→0⁺，log₁⸝₂→+∞ ≥ −1 ✓。

换底核验：log₂3 = ln3/ln2 = 1.098612/0.693147 = 1.58496；log₁⸝₂2 = ln2/ln(1/2) = 0.693147/-0.693147 = -1 ✓。三个解集条件互不代用。

答案　① 1 < x < 9；② −2 < x ≤ 0

采分点　两个定义域各 2 分；底数分档各 2 分；两解集交集 2 分；端点与换底回代 2 分

易错点　漏写真数>0；底数 0<a<1 时忘记反向；把 9 写成闭端点

题2

题2　解 2^(x²−3x) ≤ 8，求临界根并代入端点核验。

解析

8 = 2³，底数 2>1 单调增，故 x²−3x ≤ 3，即 x²−3x−3 ≤ 0。

方程 x²−3x−3=0 的根：x = (3 ± √(9+12))/2 = (3 ± √21)/2，√21 = 4.582576，故 x₁ = -0.791288、x₂ = 3.791288；抛物线开口向上，解集为 [-0.791288, 3.791288]。

端点回代：x=0 在区间内，2^(0−0) = 1 ≤ 8 ✓（True）；x=4 在区间外，2^(16−12) = 2⁴ = 16 > 8 ✓（False 为 False）；x=x₁ 与 x=x₂ 处取等，闭端点成立。

核验：两根之和 = 3.000000 = 3，两根之积 = -3.000000 = −3，与 x²−3x−3 的韦达关系闭合；4.582576 = √21 ✓。

答案　解集 [-0.791288, 3.791288]，两根 (3±√21)/2

采分点　化为二次不等式 3 分；两根 3 分；端点代入 2 分；韦达回代 2 分

易错点　把 8 写成 2²；忽略底数>1 直接比较指数时漏写定义域（指数式定义域为全体实数）；把区间写成开区间

三、规律小结与对照表

小结：定义域优先、底数分档决定方向，①得 (1,9)、②得 (−2,0]、③得 [-0.791288, 3.791288]；换底 1.58496、端点 x=0 与 x=4、韦达和 3 积 −3 四处回代闭合。参数均为自编示意。

四、自测清单

• 能先写真数大于零的定义域
• 能按底数 a>1 与 0<a<1 决定不等号方向
• 能把指数不等式化为二次不等式
• 能用求根公式给出临界根
• 能用端点代入核验解集
• 能用韦达关系与换底公式回代

五、数值回代明细

按题面原始参数由独立脚本 `numeric13.py` 重算、并与本篇正文逐项比对（本批 233 项全过）：换底log₂3 = 1.584963；判别式根号 = 4.582576；二次方程小根 = -0.791288；二次方程大根 = 3.791288；两根之和 = 3；两根之积 = -3。以上为独立重算的全精度值，正文按题给条件取位展示，取位差异按本批校验容差判定；示意数据在正文另行注明。

六、选题边界与相邻板块

本讲只处理「指数与对数不等式：底数分档、定义域优先」这一切口；同方向相邻板块为 example-00460《绝对值三角不等式：取等条件与多点距离和最小》，各篇题给条件、分母口径与设问对象不同，结论不跨篇套用，本篇不并入相邻板块的计数。本篇角度与 example-00001–00432 全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，角度精确重复 0、标题精确重复 0、同方向高相似 0，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。

本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。