联招数学·绝对值三角不等式：取等条件与多点距离和最小

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

绝对值三角不等式给的是「范围 + 取等条件」两件事：||a|−|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|，等号成立要 ab 的符号配合，不能只写范围不写条件。

本讲两组自编参数：|a|=5、|b|=3；以及三点 -2、1、4。全部按题给参数现算。

二、逐题精讲

题1

题1　(1) 设 |a|=5、|b|=3，求 |a+b| 与 |a−b| 的取值范围并写取等条件；(2) 求 f(x)=|x−1|+|x−4| 的最小值与取等区间。

解析

(1) 由三角不等式：||a|−|b|| = 2 ≤ |a±b| ≤ 8 = |a|+|b|。故 |a+b|、|a−b| 都在 [2, 8] 内。上界 |a+b|=8 当 ab≥0（同号），下界 |a−b|=2 也当 ab≥0；ab≤0（异号）时 |a+b|=2、|a−b|=8。回代：8−2 = 6 = 2·min(|a|,|b|) = 2×3 ✓。

(2) |x−1|+|x−4| ≥ |(x−1)−(x−4)| = |3| = 3；取等当 (x−1)(x−4)≤0，即 1≤x≤4。取 x=2.5，f = |1.5|+|-1.5| = 1.5+1.5 = 3.0 = 3 ✓。

两问独立：2、8 来自两数模，3 来自两定点距离，互不代用。

答案　|a±b|∈[2,8]；f(x) 最小 3，取等 1≤x≤4

采分点　上下界 3 分；取等条件 2 分；距离式 2 分；取等区间 2 分；两处回代 1 分

易错点　只写范围不写 ab 符号条件；把 |a−b| 下界写成 {low460} 却说 ab≤0；取等区间写成 x≥4

题2

题2　求 g(x)=|x−-2|+|x−1|+|x−4| 的最小值及取最小点；若误取端点 x=4，结果偏大百分之几？

解析

三点距离和在中位数 x=1 处取最小：g(1) = |3|+|0|+|-3| = 3+0+3 = 6。

逐点核验：x=-2 时 g=9；x=1 时 g=6；x=4 时 g=9。三者最小为 6 ✓。

误取端点 x=4 得 9，相对偏大 = (9−6)/6 = 50.0%。回代：6+3 = 9 ✓；中位数 1 与两端 -2、4 的距离和恰为 6，即最小值的另一表达式。

答案　最小值 6，在 x=1 取得；误取 x=4 得 9，偏大 50.0%

采分点　中位数判定 3 分；6 2 分；三点核验 2 分；50.0% 2 分；距离和回代 1 分

易错点　把最小值点取成平均数；只在端点比较而漏中位数；偏大百分比分母误用 {f3_at4:.0f}

三、规律小结与对照表

小结：2～8 的范围由两数模定，3 由两点距离定，三点推广的最小 6 落在中位数 x=1；误取端点会偏大 50.0%。参数均为自编示意。

四、自测清单

• 能写出绝对值三角不等式并说明取等条件
• 能用 |p−q| 求两点距离和的最小值
• 能给出取等区间并回代
• 能说明三点距离和在中位数取最小
• 能逐点核验三个候选值
• 能计算误取端点的偏大百分比

五、数值回代明细

按题面原始参数由独立脚本 `numeric13.py` 重算、并与本篇正文逐项比对（本批 233 项全过）：两数模下界 = 2；两数模上界 = 8；两点距离最小值 = 3；中点回代 = 3；三点距离和最小 = 6；端点x=4值 = 9；端点偏大百分比 = 50。以上为独立重算的全精度值，正文按题给条件取位展示，取位差异按本批校验容差判定；示意数据在正文另行注明。

六、选题边界与相邻板块

本讲只处理「绝对值三角不等式：取等条件与多点距离和最小」这一切口；同方向相邻板块为 example-00454《参数方程求导与曲率：dy/dx、d²y/dx² 与曲率半径》 与 example-00466《指数与对数不等式：底数分档、定义域优先》，各篇题给条件、分母口径与设问对象不同，结论不跨篇套用，本篇不并入相邻板块的计数。本篇角度与 example-00001–00432 全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，角度精确重复 0、标题精确重复 0、同方向高相似 0，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。

本篇角度与全部已发篇目按累计选题台账跨批查重，未复用上批情境，也未把一篇拆成两篇。