题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。
一、考点定位与做题顺序
三次多项式有三个待定系数，给三个函数值就能定死。关键不是硬解方程组，而是先用 f(0)=c 直接拿到常数项，再把 f(1)=0、f(−2)=0 转成两个一次方程。
设 f(x)=x³+ax²+bx+c，示意条件：f(0)=-6、f(1)=0、f(−2)=0。由 f(0) 得 c=-6；由 f(1)=0 得 1+a+b+c=0，即 a+b=5；由 f(−2)=0 得 −8+4a−2b+c=0，即 2a−b=7。以上系数为自编示意设定，非真题数据。
二、逐题精讲
题1
题1 求 a、b、c，把 f(x) 分解因式，并求 f(2) 与系数和 f(1)，用两种方式验证分解正确。
解析
由 f(0)=c=-6 得 c=-6。联立 a+b=5 与 2a−b=7，相加得 3a=12，故 a=4、b=1。
f(x)=x³+4x²+1x-6 = (x−1)(x+2)(x+3)。验一：展开 (x−1)(x+2)=x²+x−2，再乘 (x+3) 得 x³+4x²+x−6，与原式逐项一致。验二：三根之和 1+(−2)+(−3)=−4=−a，三根两两积之和 1×(−2)+1×(−3)+(−2)×(−3)=−2−3+6=1=b，三根积 1×(−2)×(−3)=6=−c，韦达三式全闭合。
于是第三根为 −3，f(−3)=0；f(2)=8+16+2−6=20；系数和 f(1)=1+4+1−6=0，与题给 f(1)=0 一致。
答案 a=4，b=1，c=-6；f(x)=(x−1)(x+2)(x+3)；第三根 −3；f(2)=20；f(1)=0
采分点 c 由 f(0) 直得 1 分；方程组与 a、b 各 1 分；因式分解 2 分；展开或韦达互验 2 分；f(2) 与 f(1) 各 1 分
易错点 把 f(1)=0 误写成「系数和为 0 所以 a+b+c=−1」却漏掉首项 1；另需避免分解后忘记验第三根
题2
题2 设 g(x)=f(x)+k。求 g(x) 在 x=1 处的切线方程；若该切线过原点，求 k，并回代验证切点在曲线上。
解析
f′(x)=3x²+8x+1，故 f′(1)=3+4×2+1=12。g(x)=f(x)+k 与 f(x) 只差常数，故 g′(1)=f′(1)=12，且 g(1)=f(1)+k=0+k=k。
切线：y − k = 12(x − 1)，即 y = 12x + (k − 12)。过原点要求 k − 12 = 0，故 k = 12。
回代：k=12 时切线为 y=12x；切点 (1, g(1))=(1, 12) 代入切线右端 = 12×1 = 12，等于 g(1)，切点确在曲线上。另验 g(x)=x³+4x²+x−6+12=x³+4x²+x+6，g(1)=1+4+1+6=12 ✓。
答案 切线 y = 12x + (k−12)；过原点时 k = 12，切线 y = 12x
采分点 f′(1) 计算 2 分；切线方程 2 分；过原点条件与 k 2 分；切点回代 2 分
易错点 把 g(1) 写成 f(1)=0 而漏掉 +k，会误得 k=0；另需避免用 f(x) 的切点 (1,0) 去代 g(x)
三、规律小结与对照表
| 条件 | 转化 | 所得 | 易错 |
|---|---|---|---|
| f(0)=−6 | 直接取常数 | c=−6 | 另列方程反而绕 |
| f(1)=0 | (x−1)|f(x) | a+b=5 | 漏掉首项 1 |
| f(−2)=0 | (x+2)|f(x) | 2a−b=7 | 符号代错 |
| 切线过原点 | 常数项为 0 | k=f′(1)=12 | 漏 g(1)=k |
小结：三个函数值定三个系数，根与系数用韦达互验，平移后切线只改常数项。a=4、b=1、c=-6、第三根 −3、k=12 五处闭合。以上系数为自编示意设定。
四、自测清单
- 能用 f(0) 直接取常数项
- 能把 f(a)=0 转成一次方程
- 能分解三次式并验第三根
- 能用韦达三式互验系数
- 能求 g(x) 在 x=1 处的切线
- 能由过原点条件得 k=12 并回代切点
