联招物理·弦振动驻波法测线密度：f=n/(2L)·√(T/μ)

题目性质：自编仿真题——题目、材料、选项、数据与情境均为按课程标准与联招常见考点独立编写的原创仿真题，非真题原文，未取自任何题库、教辅或试卷；解析与采分点为教研整理，非官方评分标准。

一、考点定位与做题顺序

弦两端固定时形成驻波，弦长必须是半波长的整数倍：L = nλ/2。配合波速 v = √(T/μ)，就得到第 n 次谐波频率 fₙ = n/(2L)·√(T/μ)。测出基频，就能反解线密度。

示意弦：弦长 L=1.000 m，悬挂质量 M=0.500 kg（取 g=9.80 m/s²），张力 T=Mg=4.90 N，实测基频 f₁=35.0 Hz。器件参数与读数均为自编示意，非真实器材指标。

二、逐题精讲

题1

题1　求弦的线密度 μ（kg/m 与 g/m 两种单位），并求 n=3 时的谐波频率；写出由 f₁ 反解 μ 的链条并回代。

解析

由 f₁ = (1/2L)√(T/μ) 得 √(T/μ) = 2Lf₁ = 2×1.000×35.0 = 70.0 m/s，故 μ = T/(2Lf₁)² = 4.90/70.0² = 4.90/4900.0 = 0.001000 kg/m = 1.00 g/m。

n=3 时 f₃ = 3f₁ = 105.0 Hz（谐波与 n 成正比，与 T、μ 无关地成整数倍）。

回代：把 μ=0.001000 kg/m 代回 v=√(4.90/0.001000) = 70.0 m/s，f₁ = v/(2L) = 35.0 Hz，与题给 35.0 Hz 闭合；f₃ = 3×35.0 = 105.0 Hz ✓。

答案　μ = 0.001000 kg/m = 1.00 g/m；f₃ = 105.0 Hz

采分点　驻波条件 1 分；反解式 2 分；μ 数值与单位 2 分；f₃ 1 分；两路回代 2 分

易错点　把 2Lf₁ 平方时漏掉 L；另需避免把 f₃ 写成 f₁/3

题2

题2　(1) 张力加倍而 L、μ 不变，基频变为多少？(2) 若误把弦长加倍当作张力加倍处理，基频会变成多少、偏低百分之几？(3) 实测基频只有 34.3 Hz（比理论低 2.0%），按实测反算的 μ 是多少、偏高多少？应如何处置？

解析

(1) T′=9.80 N 时 f₁′ = (1/2L)√(T′/μ) = 49.497 Hz = 35.0×√2 ≈ 49.497 Hz ✓。

(2) L 加倍到 2.000 m 而张力不变时 f₁ = 17.5 Hz（f∝1/L），相对 35.0 Hz 偏低 50.0%；与 (1) 的 49.497 Hz 方向相反，不能混为一谈。

(3) 实测 f=34.3 Hz ⇒ μ测 = T/(2Lf)² = 4.90/68.6² = 0.001041 kg/m，相对 0.001000 kg/m 偏高 4.1%。偏低 2.0% 的频率经平方反比放大为约 4.1% 的 μ 偏差，属测量系统误差；应在正文注明「本组基频读数偏低 2.0%，不用于定值」，不能改 f 或改 T 凑回 1.00 g/m。

答案　(1) 49.497 Hz；(2) 17.5 Hz，偏低 50.0%；(3) μ测 = 0.001041 kg/m，偏高 4.1%，按读数偏低登记、不改数

采分点　(1) 2 分；(2) 方向与偏低比例 2 分；(3) 反算 2 分；平方放大说明 1 分；登记不抹平 2 分

易错点　把 f∝√T 与 f∝1/L 混用；另需避免把频率偏低 2.0% 直接说成 μ 偏高 2.0%

三、规律小结与对照表

小结：fₙ=n/(2L)√(T/μ) 一条式子管住基频、谐波、张力与长度。μ=1.00 g/m、f₃=105.0 Hz、T 加倍 49.497 Hz、L 加倍 17.5 Hz 四处闭合；实测组偏高 4.1% 单独登记。以上器材参数均为自编示意。

四、自测清单

• 能由驻波条件导出 fₙ=n/(2L)√(T/μ)
• 能由基频反解线密度并换算单位
• 能求 n=3 谐波频率
• 能区分张力加倍与长度加倍对频率的影响
• 能说明频率误差经平方放大到 μ
• 能说明实测组偏高 4.1% 应登记而不改数